备战2020年高考文数一轮复习第三章 导数及其应用

00xy00xy第章

导及应全卷5年情解

高命规把本内在考一为一一”约分．客观题主考导的算求法则导的何义难一；时考查数应，度大(2)解题般是问题，1问查求线切方、函的调间由函的值或曲的线程参，属基题第问用导证不式不式成、参的值围函的零问，查数思、化思及分讨的想难较.第节

导的念运一基知批——理深点．数概一地函＝f)在＝处的时化0

lim＝limxΔ0Δ0

f＋Δ－为数f()在＝处的数0记f′(x)或|＝，x)＝00

lim＝limΔ0Δx

f＋00f′()与′()的别联f′()是个数f′(x是函f′(x)在x处函值(常)，以[′)]′00．数几意函f()在＝x处导f的何义曲y()在点P，f())处的线斜(瞬速就位00移数)对间导．相应，线程y(x)＝f′(x－．001xnn*xxx22f2(1)′(x)与fx0xnn*xxx22f2(1)′(x)与fx0x曲y＝点P，的切是以为点斜为k＝′切线是一一切.00．数x)的导函称数f′(x)＝limx0

f＋为f)的函．．数运(1)几常函的数①C)′＝0(C常)；(′＝(∈)；③(sinx′＝x；④(cos)′＝－sin_；(e)′e；⑥a

x

)′

ln_(，≠；⑦x′＝；⑧(log)′＝a

(，≠1)．(2)导的则算则①[ux±vx′′(x)±′x)；②[uxvx′′())＋(x)v′()；③

u′′(v(x)≠0)．[v熟以结：′＝；1f′′＝()≠0)；[f[af)±(x]′afx)±′x；奇数导是函，函的数奇数周函的数还周函．二基小强——功牢点一判的打√，的“”]′表的意相．)0曲的线一与线有个共．()因x)′，所′＝x．()若个数导则它的、差积、商(分母为)必可导．若两函不导，它的差积、商一不导()答：(1)×

(2)√

(3)×

√(二选一．列数满fx＝′(x)的)A．fx＝3＋B．()＝－2x2212xx21xx222x2212xx21xx22222xx22xC．fx＝xD．)＝解：D若x＝，′)＝0从而f(x)＝′)．选D.．线y＝在(1m处的切方为)－A．－1C．－4

．＝－x＋1D．＝－2x＋解：D当x1时，＝

＋＝1.因为′＝－－

2，以′＝－－2－2

＝，所的线方为－＝2(x－，＝2x＋故选D.．列导算确是)＋′＋

．(log)′2

2C．(3)′e3

D．cosx)′－x解：B

＋′x＋′1；)′ln3cos)′x′cosx(cos)′＝xx－sin，选正确(三填一．全卷)曲＝ax＋1)e在点(0,1)的线斜为，a＝________.解：′＋＋，∴x0时，′a1，∴＋＝，得＝－答：3．黑江庆验学中设′)为数(x)的数fx)＝x－2x＋′(1)，则f(－＝解：条知′()＝－，则f′(1)＝0fx＝x－2x故f－1)＝1＋＝3.答：3考一

导的算[典]求列数导数(1)ylnx；(2)y(2x1)·e；32＋′x)′＋′＝－22222＋′x)′＋′＝－2222＋(3)y；(4)y－.2[解(1)′

1xx(2)y＝[2x＋e

x

]′＝(2x′·e＋x＋1)·(ex′＝＋x＋1)·ex＝(2＋3)·e.(3)∵

＋＝x

2＋

，＋∴＝＝

35

)′＋

25

)′＝x－

75

1(4)∵xsincos＝－，2∴＝－.[解技]．数算原先简析，利导的算则导．数算常形及解方连形分形对形根形三形

先开为项的式再导观函的构征先为式数较简的式数再求先为、的式再导先为数数的式再导先用角数式化和差形，求[提]当数析中含待系(例f′(x)a，等，求时把定数成数再据意出0即．[题训]．知数f)的函为′x)，满x)＝xf＋，′(1)＝()A．eC．解：B由f()＝xf＋ln，得f′x＝2f′＋.所f′＝2′＋1，′＝．下函的数(1)ycosxsin；

．1D．4223222＋1x·lnx222223222＋1x·lnx222222232322(2)y＋1)(x＋2)(＋3)；(3)y

x＋解(1)′(cos)′－(sinx′＝－－x(2)∵x＋＋x＝x＋3＋2)(x＋＝＋x＋11x＋6∴＝x＋x＋(3)y＝

x＋x＋1＝＋1＋1x＝＋考二

导的何义考(一)求曲线切方[典]全国Ⅰ设数fx)＝x3－1)x＋ax若)为奇数，曲＝()在处的线程)A．－2C．x

．＝－D．＝[解]∵()＝x＋(－1)x2＋，∴′x)＝3x＋－＋又(x为函，f(－)＝－f)恒成，即x

＋－x－＝

－－1)

－ax恒立∴＝，f′x)＝x＋1，f′＝1，∴线＝)在点0,0)处切方为y＝[答]D[解技]若知线y＝fx)过(x，)，曲过的线程方0(1)当(x，)切点，线程－＝′)·(－)．000(2)当(x，)是切时可以几完：00第步设切坐P′(x，fx))1第步写过′，f))的切方－f(x)＝′(x－x；111第步将的标x，代入线程出x；00第步将x的代方－x＝′(xx－x可得点(，)切线程11100考(二)求切点标[典]曲f()＝3－＋3点P处的线行直＝2x，点的坐为)52xxx2xxxA．(1,3)C．和(－1,3)

．－1,3)D．(1，[解]f′(x)＝x－，令′(x＝，3x

－＝2，得＝1＝1∴或－．经验点(1,3)，－1,3)不直y＝2－1，选C.[答]C[解技]求点标的路已切方或斜)求切点一思是求数导再导等切的率，而出点横标将坐代函解式出点纵标考(三)求参数值(范围[典]函f()＝ln＋ax的象存与直2x－平行的线则数a的值围________．[解]函f()＝ln＋ax的象存与直2x－平行的线即f′(x)＝在(，∞上解而f′()＝＋a，即＋a在，∞)上有解＝－在，∞)上解因x，所2－<2，以a的值围－∞．[答](－，[解技]．用数几意求数的本法利切的标切的率切的程得关参的程(组或参满的等(组，进而出参的或值围．解导的何义关问时注的点注曲上坐的值围谨切既切上在线．[口归]切问抓点斜导本关曲方和线利切方建[题训]口诀第句曲线＝在处的线直x－＋3＝0平，点的标()A．－，1C．，e)

．D．(0,2)解：B∵′e令e＝1得x＝0.当x＝0时＝1∴点的标．口诀第句设曲y＝(－1)lnx在点处切方为y＝－，a＝)6xxxxx2xxxxx222A．C．

．D．解：D∵＝(x－1)－lnx∴＝－，∴|＝－1.又曲在(处切方为＝x，∴－＝，得＝3.口诀第、2]已函(x＝x若线l过01)并与线y＝f()相则线l的方为)A．x＋－＝C．x＋＋＝

．－－＝0D．x－＋1＝解：因为(，1)不在曲＝f)上所设点标为(x，)．又为f′()＝1＋，所以00x0ln，1解＝lnx，＝－，－－1＝0.[课时跟检]

所切坐为，以′(1)＝1＋＝，所直线的程A级—保分练．()＝x导数f′(x，′(1)值()A．C．

．＋1D．＋解：C由题知)＝，以f′()＝＋xe，所f′(1)＝e＋＝．线y＝＋在x处切方是)A．x－＋＝C．x－y＋＝

．－y＋＝D．3－＋1解：C∵′＝cos＋，当x＝时y＝又∵x时y＝1，所切方为y－1，即2x＋＝0.．()＝x(2019ln)，若f′(x)＝，等)00A．C．2

．D．解：B′x＝2019＋＋＝＋，f′x)＝2，得2＋ln＝2，则x＝，0解＝0．知数f)＝＋bx的图象点P处的线直x＋＝垂直，的为)A．C．

．D．3解：D由已可P在数fx的图上所(1)＝1，即＋＝，得b，72xxx3222232003x22222xxx3222232003x2222所()＝aln＋，故′()＝＋2则数f)的象点处的线斜＝f′(1)＝＋，因切与线x－y＋＝垂，所a＝－，＝．合第次学量测已知直－＋＝0与曲＝＋相切(其中为自对的数)，则数a的值是)C．

．D．解：B由题知y＝，＋＝，a，x＝－a代曲线程＝－ln，以线程y－(1－a)＝2(x)，＝＋lna＝2xa1.．函f)＝＋ax，曲线＝(x在(x，f处的切线程＋＝，点P坐标为)0A．(0,0)C．－1,1)

．(1，D．(1，1)(－解：D因为f′(x)＝3x＋，所f′(＝3＋＝－1.又因切的坐为(x，)，以0000

＋2＝，＋＝－.联立式＋0＝x0

，－，解或＝－1＝1.

所点P的标(－或(1，．．知线y＝＋是数fx)＝－

图的线则数a＝解：切为，)，′＝－·e000

x0

＝1，∴

x0

＝，－

x0

＝x＋1，x＝2，＝0

答：．(2019·安徽校考)已函fx＝－ax的象在(－1，f(－处切斜是1，则此线程．解：为′(x)＝，以f′－＝－a＝所＝－，以f(x＝＋，以f(－1)＝5则求线方为y＋5＝＋1即－－＝0.答：x－＝．曲y

＋xπ在，1处切与线－ay＋1＝平，实＝________.sinx解：为y＝

－1－，sinx8222x3222xxxx2x3222222x3222xxxx2x3222所y′

|

x

2

＝1由件＝－，所a－答：1．点P是曲＝x－x上意点则P到直＝－的小离．解：y＝x－，′x－(x＞，设P，是线y＝－lnx上到直y＝－2的距最的点0则y′|＝＝x－＝，得x＝1＝舍去)．00020∴P的坐为．0－－2|∴求最距为＝2.答：211．求列数导．(1)y(1－)

＋

；(2)yx；(3)y

xe解(1)＝－＋

1＝－＝x2－2，∴＝x

)′－

)′＝－

2－

(2)y＝xx′xx＋(tanx′＝＋x·

sinxx

′tanx·

xsin＝＋

(3)y＝

xe

xex′

sin＋＝－.e．知M曲y＝－＋x上意点曲在M处的线l，求：斜最的线程切倾角α的值围解(1)′

－4＋3＝(－2)－1∴x2时，′＝－1，此＝，min3∴率小的点，，率＝1，∴线程＋－11＝0.9π3π34332π3π3433200322(2)由(得k≥－，tan≥1又α∈[0，π)∴α0，∪，.故取范为0，∪，B级——创高自1.如，＝f)是可函数直：＝＋是曲线y＝f(x)在x＝3处＝xfx，′()是()的函，g(3)＝()

的线令g)A．C．

．D．解：由题可切过(0,2)，(3,1)，则线yf(x在x＝处

的切1为，即′(3)＝－，又为()＝()，所以′)＝f()＋′)，g′(3)＝f＋f′，所′＝＋×＝．知线fx)＝＋＋在x＝0的线曲g()＝－x相，a值．解：f)＝

1＋ax＋，得f′()＝＋a，′(0)，＝，4∴线＝)在x＝0处切方为y－＝.设线－＝ax曲g)＝－相于(x，ln)，0g′)＝，∴

－－＝ax，①＝－②0将代①＝，0∴＝0

，a－

＝

e

答：

．知数f)＝＋－)－a＋＋(，R)．(1)若数fx的象原点且原处切斜为，a，的；(2)若线y＝f)存两垂于的线求a的值围解f′()＝x＋2(1－a－(＋2)．(1)由意得{＝，解b＝，＝3或a

f－＋－3，10222222(2)因曲＝(x存两垂于轴的线所关的程′x＝x＋2(1ax－＋2)＝有两个相的数，所＝－)＋aa＋＞，即4＋4a＋＞，所a－1所的取值围－∞，∪，＋.第节

导与数单性一基知批——理深点函的调与数关函y＝)区a，内导若f′x)>0，则f)在间(，b)内是单递函；若f′x)<0，则f)在间(，b)内是单递函；若有f′(x)＝0，f)在间(，b)内常函．讨函的调或函的调间实是不式求时，坚“义优”则二常结汇——规多点在区内′)>0(f′x)<0)函)在区上增(减)函数的分必条．可函f()在，上是(减)函数的要件对∈(，)，都′x≥0(f′(x)≤且′()在a，b上任子间都恒零三基小强——功牢点一判的打√，的“”若数fx在，内调增那一有f′()如函f()在个间恒f′)＝0，f(x在区内有调．()在，内′)≤且′(x)＝的有限，f(x在(，内是函．()答：(1)×

(2)√

(3)√(二选一．数f()＝cos－在(，π)上单调是)11xxx32221a2xxx32221a2A．增减C．函

．减增D．函解：D∵′(x)＝－sin－＜，∴()在0上减数故．数f()＝－lnx的单调减间()A．(0,1)C．，∞

．(0，∞D．(－∞0)，(1＋x－1解：A函的义域(0＋)，且′(x＝－＝，′x)<0，x，f()的调减区为．．函f)＝kx在间，∞)上调增则的取值围)A．－，C．，∞

．－，1]D．[1，∞解选D因为)＝－lnx以′(x)＝－因f(x在间1∞上单调增以>1时)11＝－≥恒成，即≥在间(1，∞上恒立因>1，以0<，所≥1.(三填一．数f()＝－3)e单递区为_______．解：f′x)＝[x－3e答：(2，∞

x

]′＝x＋(－3)exx－令f′)>0，解得>2.所单递区为2，∞)．．知数f)＝

＋ax

－－1R上调减则数的值围_______．解：题知′()＝3x＋2－≤0在R上恒成，以＝a－120，得≤a≤答：－，]

考一

利导研函的调[典]已函f()＝ln＋－(a∈且a≠0)，论数f)的单调．[解′(x＝

－1(>0)1222xxx222222xxx2222①<0时，f′x)>0恒成，∴数f)在(，∞上调增－1②>0时，f′)＝>0，>；a－11由f′x＝<0，<，∴数f)在，∞上单递，，上调减综所，<0时，数f)(0＋)上单递；当a时函f(x)在，∞上单递，，上调减[解技]讨函)单性步确函f()的义；求数f′(x)，求程′()＝的；利f′x＝的将数定域成干子间这些区上论′()的负符确fx)在区上单性[提]研含数数的调时需意据数值不式集影进分类论[题训]．数f()＝－在义内函(填增或减)．＋解：已得数f()的义为{x|x－．∵()＝－

1，f′)＝＋>0.＋1∴()在义内增数答：．知数f)＝＋(aR且a，讨论数f)的调．解函f(x的义为，∞．因()＝aln＋

2x＋a，以′()＝＋2x＝.①>0时，f′x，所函f)在0＋上单调增②<0时，f′)＝0，解得＝

－(负值去，当x<

－时f′(，所函f)在，

－上调减13kkkkkkkxαα2xx2xx2kkkkkkkxαα2xx2xx2当x

－时f′()>0，所函f)在

－，∞上单递．综所，>0时，数f)(0＋)上单递；当a时函f(x)在0，

－上调减在

－，＋∞上单递．考二

利导求数单区[典]湘东校考选)已函f(x＝(ln－－(k∈．当x时求f(x)的调间[解′(x＝

·x＋lnx－k－＝lnx－k，①k0时，为，以f′()＝ln－k，所函f)的调增间1＋)，单递区．②>0时，lnx－＝0，得＝，当x<e时f′)<0；时f′(x)>0.所函f)的调减间1e)，单递区间，＋∞)．综所，k≤时，数f(x)的调增间，∞，无单递区；>0，数(x的单调递区是(1，)，调增间(e，＋)．[解技]利导求函单区的法当函不式解，不式fx)>0或′x求出调间当程f′(x)＝可时解方的根依实把数定域分几个间确各间f′(的号从确单区．若函的程不式不解根′()结特，用象性确f()的号从确单调间[提]若求数单调间止个些间间能并集∪”及或”连只用“和”字隔．[题训]．幂数f)的象点

2，，函gx)＝ef)的调减间()A．－，0)C．－，

．－，2)D．(－212解：D设幂数x＝，为图过所＝22

，α＝，以f()＝

，(x)e

，令′)＝

＋

＝

(

＋2x，得－x<0，函数(x的调减间(－．a3．知数f)＝＋－ln－，其中∈，曲＝f)在(，(1))处切垂于线yx.x求a的；求数fx的单调区．1422232322222223232222a1解(1)fx)求导得f′)＝－－xx由f)在1(1))处切垂直直y＝，5知f′(1)＝－－＝－2解a.43(2)由(知f)＝＋－xx>0)，x－x－5则f′x＝，令f)，x解x－1或x，因x－1不f()的义，∞)内所舍．当x∈(0,5)时f′(，f()(0,5)内调减；当x∈(5＋∞时f′(x)>0，x)在(5，∞内单调增故f)的调减间0,5)，调增间(，∞．考三

函单性应[典]设数f)＝

－x

＋＋，曲线y＝f()在0(0))处的线程＝1.求，的值设数()＝()＋2x且x在间－2，内在调减间求数a的取范．[解(1)f′(x＝x－ax＋，，由意即，0.a(2)由(知f)＝－x＋，则′)＝x－ax，题，在x∈－2，－1)使等g′(x)＝－＋成立即x∈－，1)，a＋

＝－22max当仅x，即x＝时号立所满要的a的取值围(－，22)．[变练]变条件]本2)为若g()－，－内为函，他件变求数的值围解∵′(x)＝－＋，g()在(－2，－内为减数∴－ax＋≤0在(－，1)内恒成，∴

g′2，2a＋≤，即g′1，＋2≤，

解≤3.即数a的取值围(－，．变条件]本2)为若g()单递区间(－，－，他件变求数的值15eeeee2B.0eeeee2B.0解∵(x)的调减间(－，－1)，∴＝2x＝－是g′()＝的个，1∴－＋(－＝a，即a－变条件]本2)为若g()－，－内不调其条不，实a的值围解由1知g()在－2，－1)内为函时实a的取范是－，3]．若x在－2，－1)内为增数则a≥＋在(2－内恒立又y＝＋在－2，内单递，(－2，－1)内调递，∴x的值为(－3，－2，∴数a的取值围[－2，∞)，∴数(x)在(－2，－内单时，的取值围(∞，∪－2，∞，故x在－2，－1)上不单时实a的取范是(－3－2)．[解技]由数单性参的值围方由导数fx)在D上单递(或递减求数围题可转为f′)≥0(′(x)≤对∈D成问，参分，化求值题要意＝是取．可函在一间存单区，际就′()>0(或f′x在区上在集这就函数单性题化不式题若知fx在区间I上的调，间I中有数，先出fx)的调间令I其调间子集从可出数取范．[课时跟检]A级—保分练．数f()＝＋x的单递减间()，

B.0

－，

，∞解：选因为数)的定域为(，＋)，f′x)＝xx＝x＋1，f)＜0解得＜＜，e所()的调减间0，．知数f)＝(x－)，m∈R若′－＝－，则数f(x的调增间是)－0－，，，＋∞1622x3x4x2323x2x2－，上成，∵＋∈∴22x3x4x2323x2x2－，上成，∵＋∈∴sin＋∈－，∴＋∈－21)，≥，3－∞，－∪，＋解：C∵′(x)＝x－，∴′(－＝3＋m＝－1，得m＝，由f′x＝3＋4＞0，得＜或＞，即f)的调增间－∞，，，∞．．列数，(，∞上增数是)A．fx＝2

．f(x)＝C．fx＝

－

D．x)＝xxππ解：B对于A，x)＝2的调增间π－，＋kZ)；对于，′x＝

(x＋1)，∈，＋)，′(x，函fx＝xe0，＋∞)上增数对C，′x＝3x－1，′，得x

3或x－，函f()＝－在－∞－和，∞上单递对Df′(x＝＋＝－－，f′)>0，，∴函数f(x)＝－＋lnx区间上调增综所，选．知数f)＝＋x，f′(x是f(x)导数，函′(x)的象致)解：A设gx＝′)＝－2sinx′()＝2－≥，所以数′()在R上单递，选A.．知数f)＝＋ax，“a＞0”“(x在上单递”()A．分必条C．要件

．要充条D．不分不要件解：Af′)＝x＋a当af′x，a>0f()在上单递由f)在R上单递增可a故“＞0”是(x)在R上调增的分必条．ππ．百联联)若数f(x)＝(sin＋)在间－，上单递，实的值围(

)A．[2，＋∞C．－，∞

．(1，D．[1，∞ππ解：D由题知f′()＝＋＋a≥在区－，上恒立即≥x在区ππππ3ππ2π2444故D.．数f()＝－－x＋的调减间________173222222222xxπππ3222222222xxππππ22222解：f)＝x－x－＋，f′)＝3－30－33，令f′x＜，x－x1)＜0，得1＜＜11所函f)的单递区为(－1,11)．答：(－．数f()＝lnx－

在义内函数填增或减．＋x解：已得(x)的定义为0＋．∵()＝lnx，＋x1－2x4x＋＋∴′x)＝－＝.2x＋2∵，4＋3＋，x(1＋2)∴>0时，f′x)>0.∴()在0＋)内为函．答：．知数f)＝－＋，函f()的调增间．2－x＋22－5＋2x－解：fx)求可′)＝－＋＝>0)．f′()＝＝>0(x>0)，解>2或0<<.综所，数fx的调增间0，和(2＋∞．答：，和(2，∞)．()＝x＋，则f(－，f

，(2)的大关为用“表示．解：偶数定知数f)为偶数，因(－＝f(3)因f′x)＝xxxsinxcos，当x∈，π时，′()≤0.π所()在间，上是函，所

＞(2)＞f(3)＝f(－3)．答：(－＜f(2)＜f．知数fx)＝1－lnx＋a－(a∈R)，论数f(x的单性解函f(x的义为，∞，x－－ax1－f′()＝－＋ax－＝＝x①a，f′，)在0，∞)上调减②，当＝时f′(x＝，18a2aa22222a2aa22222当x<时f′(；当x时，f′1故f)在，上单调减在，∞上单递增③，当＝

时f′()＝0当x<－时′)<0；a当x>－时f′(a1故f)在，－上单递，－，＋单递增综所，＝0时，f)在，∞上单递；1当a时(x在0上单调减在，∞上单递；当a时(x在0－上单递，－，＋∞上单递．．知数x＝x＋x

2

＋a＋＋3.当a＝－时求数(x的单递区；若数fx在区间(，∞上增数求数的取范．解(1)＝1时，f(x＝－x＋＋，义为，＋∞，则f′x＝＋x＝

2

－由

f′0＞，

得＜x＜所函f)的调减间．(2)法：为数f(x)在(，∞上是函，所f′x)＝＋＋＋≥0，∞)上恒成，所＋(a＋1)＋≥，＋x＋a≥0在(0，∞上成．因x＞，以＋≥对∈(0，∞恒立所a，实的值围，∞．法：为数(x)在(0＋)上增数所f′x)＝＋＋＋≥0，∞)上恒成，即x

＋＋＋≥在(，∞)上恒成．令x＝x＋＋x＋a，因＝＋－4≥0恒成，19xxxx22xxxxxxxxxx22xxxxxx＋1－≤0，所即≥，g，所实的值围[，∞)．B级—创高自．广一)已函＝在定域上调减则数f)的图可是)e解：A∵函＝

f在定域单递，e∴

e

f′f′≤0在义上成，不为，x)≥′)成立结图知A正确．e．南摸)已函f(x)是义R上偶数，函fx)的函为f′x，对意x都f()＋′x成立则)A．f(－2)<9C．f(3)>3(－2)

．(－2)>9f(3)D．f(－f－解：A设g(x)＝f′(x＝2()＋f′＝x[2fx＋xf′x，则>0时，′x所()在(0，＋)是函，易)是函，4f－2)＝(－2)＝(2)<(3)＝f，选．知数f)＝－ax－1.求f)的调增间是存实，f()在－2,3)上调减若在求的取值围若存，说理．解f′()＝a(1)若a≤，f′()＝－a>0，即f)在R上单调增若a>0令a，得x≥a即f)在a，∞)上调增因当≤时)的调增间R，当a时(x的调增间[a，＋∞．(2)存实a足件因f′x)＝－≤在－2,3)恒立所ae

在(－上恒立2033x333333x3333又为2<，所以e<ex<e，需≥.当a＝

时在(－2,3)上′()＝－

<0即f)在－上单递减所a.故在数∈[e，＋)，x)在－上单递．第节

导与数极、值一基知批——理深点．数极(1)函的小：函y＝)点x＝的函数)比在x＝附近其点函值小f)＝；且点＝a近的侧f′(x)＜0，侧′(x)＞0，则点a叫函＝(x的小值，(a)叫函y＝f()的极值．(2)函的大：函y＝)点x＝的数b)比在xb附其点函值大，′()＝；且点＝b近的侧f′(x)＞0，侧′(x)＜0，则点叫做函y＝)的大点()叫做数y＝x的极值极值、大点称极点极值极值称极值①数fx处极的要充条是f′0，值是′的，′0的不是00极点如x

，′，x不极点②值映函在一附的小况刻的函的部性极点函在间部点不是点．数最在区ab连的数f)在[，b上必有大与小．若数fx在[ab单递，则fa为函的小，()为数最值若数x)在a，b上调递，f)为数最值(b)为数最值二常结汇——规多点若数fx的图象连不，f(x)在a，b]上定最．若数fx在[ab是调数，fx)一在间点取最．若数fx在区间(，b内只有个值，相的值一定函的值．三基小强——功牢点2132x2xxx322732x2xxx3227一判的打√，的“”函在区上定域的大是一．)在定间极可有个也能个没，大最有个()(3)函的大不定极值．)(4)函的大不定极值函的最值不定极值)答：(1)×

(2)√

(3)√

√(二选一．知数f)的义为区(a，，导数f′()在(a，内的图如所，函f)在区a，b内小点()A．个C．个

．个D．个解：A导函f′(x)的象轴交中左图在轴下方右图在轴上的有个所()在间(a，b)内一极值．．知a为数f)＝xA．C．

－12x的极值，a＝)．2D．解：D由题得f′()＝x

－12，令′(x)＝0得＝±2，当＜2或＞时，′)＞0；－＜＜2时，f′()＜，∴f()在(－，－上为函在－上减数在，＋)上增数．)在x＝2处取极值∴＝．数y＝在0,2]上最值()eeC．

B.e解：A易知′

－，∈[0,2]，′≥得0≤≤1令y′，x≤，所函＝在0,1]ee上调增在(1,2]上单递，以y＝在[上的大是ey＝.e(三填一．数f()＝x

－2

2

在间[－1,2]上最值________解：f′(x)＝x

－4，′x＝0，得x或＝.∵(1)＝－，f＝，f＝－，＝2232πππ32πππ23323223∴数f)＝2－2在区[1,2]上最值8.答：π．数f()＝＋x在间，上极大点_．解：f′x)＝－，x∈，令′x)＝，解＝，则∈，时f′)>0当∈，时πf′()<0，函f)＝＋的极大点.答：

π考一

利导解函的值题考(一)利用导求数极或值[典]天津考编设数()＝x－t)·(－)(x－)，其中，，∈，t，，是公为1123的差列(1)若t＝0，＝，曲＝f)在点(，f处切方；2(2)若＝，求f)的小点极值[解由知可f()＝(x－x＋＝x3－x，′)＝x－因f(0)，′＝－1.因曲y＝f)在点，处的切方为y－f(0)＝′(0)(x－0)，所切方为＋＝(2)由知得f(x＝(－＋3)(－)(－－3)22＝－)－9(－)22＝

－32

2

＋t2

－－＋t2故f′x＝3－6t＋t－9.2令f′x＝，得x＝－3x＝＋2当x变时f′x，f(x)的化况下：f′()

(－∞，－2＋

t32

t，＋3)2－

t＋32

t，∞)2＋f(x)

极值

极值所函f)的小点＝＋3，极值t－＝(－9×－＝22[解技]求数极值极点步求数f′(x)，要记数fx)的义；求程f′(x)＝的；检在程根左两′()的符号确极点函的值23[典]北京考选设数f()＝ax2x2x[典]北京考选设数f()＝ax2x2xx23222222考(二)已知函极点极求数值范－a＋1)x＋3a＋，f()在＝处得小，a取范．[解由f)＝2－(3a＋1)＋＋x得f′x＝ax－a＋x＋＝ax1)(x－若a>1则∈，时f′x)<0；当x∈(1＋∞时f′(x所()在x处得小．若a≤1则∈(0,1)时，ax－1－，所f′x)>0.所不是f)的小点综可，的值围，＋∞)．[解技]已函极点极求数个要领列验

根极点导为0和极值两条列程，用定数求因导值于不此为值的要件所利待系数求后须验根合性[题训]．函f)＝＋lnx，则()A．x＝为()的极大点．xf()的小点2C．x＝为f)的极值

D．x＝为fx的小点解：D∵(x＝＋ln(，∴′x)＝－＋，令′(x)＝，x当x<2，f′)<0；>2时，f′(x所x2为fx的小点．广高综测)已函fx＝x＋ax＋＋a在＝处的极为，数a，b)为)A．－3,3)C．，

．－11,4)D．(－3,3)，，＋，解：′)＝3x＋ax＋，依意得即＋＝，

消可－－－，，3，＝，得a＝－或＝，故或当3－11.

时′()＝x－6＋＝－≥，24322322322222xxxx322322322222xxxx这()无值不题，去故．函f)＝

－2

＋x＋(a>0)．(1)当a＝，函f(x)的象点0,1)，求数f)的小；(2)若f)在－，∞)上无值，a的取值围解f′()＝ax

－4＋1.(1)函()的象点时，(0)＝c＝当a＝1时，fx)＝x－2x＋＋1，′)＝x－4x，由f′x，得x<或；由f′x，得<1.所函f)在－∞和(，∞上调增在，1上调减所函f)的小是＝1－×＋＋＝1.(2)若f)在－，∞)上无值，则f)在－，∞)上单函，即f′x＝3－4x＋1≥0或′x)＝ax－＋≤恒成立因，以′)＝3－4x＋≥在－，∞上成，则＝－－4××≤，1612a≤0，解a.故a的值围，＋考二

利导解函的值题[典]北京考已函f)＝cos－(1)求线y＝f)在0，处的切方；π(2)求数fx在间，上最值最值[解因f(x)＝x

x－x，所f′x)＝(cosx－sin)－1，′＝又为f＝，所曲y＝f)在点，处的切方为y＝1.(2)设(x)＝(cosx－sinx)－1，则′()＝－－－)＝－sinxπ当x∈，时′(x)＜0，π所h(x)在间，上调减π所对意∈，，h(x)＜h＝，即f′x＜0.25π3233323322π3233323322π所函f)在间，上调减π因()在间，上的大为f＝1，最值f＝－[解技]导法给区上数最问的般骤求数fx的导数f′()；求f)在定间的调和值求f)在定间的点；将f)的极与f()的点进比，定f()的最大与小；(5)反回，看键，错和题规．[题训]珠摸)如图，一16×10的长形片下个等

小方，得剩部经折能成个盖长体盒则个盒最大积

解：剪的个正形边为，则经折以，成长

体盒一底面长(16x)，为10x)的长形其积(－2－2)cm，长体盒高x，则积V＝－2x－x×xx－52x＋x，以V′x2)·

－，V′>0，0<x<2，函Vx

－52x

＋160x<5)在上单调增由V，得x<5，函数V＝x

－52x

2＋160x在(上调减所当＝2时，＝144(cm)max答：144．知数f)＝lnx－.(1)若a，试断f)在义内单性(2)若f)在[，e]上最值，求数a的值．解(1)题意得fx)的义是(，∞，′()＝

＋，因，以′)>0，故f)在0＋)上调增(2)由(可得′x)＝

＋，因x[1，e]，①a－1，则xa≥，f′)≥在1，e]上恒立此()在，e]上调增所(＝f＝＝，min2263232所a－(舍去．②a－，＋a≤0，f′(x≤0在[，e]上成，此()在，e]上调减所(＝f(e)＝1－＝，mine所a－(舍去．③－－1，′(x)＝0，＝，当x<－时，′()<0，所()在1，a上调减当a<x时，f′)>0，所()在－，上调增所(＝f－)＝－)＋1＝，以a－min综，a－e.[课时跟检]A级—保分练．辽鞍一模)已函)＝－3x－1，区－上最值M最值N，M－＝()A．C．

．18D．解：A

∵′x＝3x

2

－＝－x，∴x)在－∞－1)1，＋∞上调增在－上单调减又f(－＝－，f－＝，f＝－，f(2)1∴M＝1，＝，M－N1－＝20.．梅期)函＝(x)的导函的象图示则列法误是)．(－为函y)的调增间．为数＝()的单调减间．数y＝f)在x＝0处取极值．数y＝f)在x＝5处取极值解：C由函＝f)的函的象知当<－或3<x<5时，′x，＝f(x)单递；>5或1<x<3时，′)>0，＝f)单递．以函＝f()的调减间为(－，1)，单递区为(－1,3)，(5，＋∞)．数y＝f)在＝－1,5处取得小，＝处取极大，选C错误．湖襄四联)函()＝x＋xx－3的极点定区间()273223222222232232222222A．内C．内

．(1,2)内D．(3,4)内解：B函数极点导数零，′()＝＋lnx＋－＝＋－，f′＝－，′(2)＝ln2>0，零存性理′(x)的零点(1,2)内故．知数f)＝＋x－＋，若f(x)在间k,]的大值28则实k的取范为()A．－，)C．－，

．－3，∞)D．(－∞－解：D由题知′)＝3＋6x－9，f′)＝，得＝1或＝，以f′(x)，f)随的变化情如表f′()

(－∞，＋

－

(－－

(1，∞＋f(x)

极值

极值又f－3)＝，f＝－，f＝3(x在间[上最值28所k≤4．皖八联)已函()＝＋bx＋cx＋bc在＝1处有值则b＝()A．C．或－

．D．1或解：Af′(x＝－x＋2＋，为fx)在＝处有值，f′＝－1＋2b＝，4所f－＋＋＋bc＝－，＝b＋4，

，解3

故．直＝函h()＝xA．

，gx)＝x的象别于M，N，当|最小的为)B.

解：D由已条可|＝－lnt，设f)＝－>0)，′()＝2－，t令f′)＝0，＝

，当t<

时f′)<0当＞时，′()＞0.2∴t＝

2时()取最值即|取得最值t＝．江阶性测)已知函＝ax－在x＝1处得值则＝________.2832222222323222222322222223232222221解：为y′＝＋所以当x＝－时，－20，以＝，验，得数＝－在x＝－处x取极，此a＝答：．)＝

x的小为________．＋＋2x＋－2＋1解：f′(x)＝＝＋22令f′x，x<或；令f′x，－2<<1.∴()在－，2)(1，∞)上减数在(－2,1)是函，∴(＝f－2)＝.极小值2答：．商的利(万与年产x(百件)的数系为＝－x＋＋123(>0)则得大润的产为_______百件解：′＝－x

＋27＝－3(＋x－，当x<3，′；x>3时y′<0.故x3时，商的利润大答：3．知数f()＝x＋3ax＋bxc在＝处有值其象在＝处的线行直＋2＋＝，则f)的大与小之为．解：为′()＝x

＋＋b3＋6×＋3b，－，所3＋6＋3b＝所y′x

－6，3x

－6＝，x或x＝2.当x或>2时，′>0；当x时y′故x0时，(x取得极值当x＝时，(x)取得小值所(－fx＝(0)－f(2)＝4.极大值极小值答：411．设数f)＝＋ba，bR)，知线y＝f)在(1,0)的线方为＝x－(1)求数a，的；(2)求f)的大．解(1)为f()的义为(，∞)，－lnf′()＝29所f′＝，又为切斜为，以＝由线＝)过点1,0)，f(1)＝b＝故a＝1b＝(2)由(知f)＝

x

，′)＝

－ln令f′x＝，＝当x<e时，f′()>0，()在0e)上增数当x>e时，f′，f()在(，＋上是减数故f)在x＝处取最值＝.e．知数x＝－axa∈．(1)当a＝时，f(x)的极值(2)讨函(x)在义内值的数111－x解(1)＝时)＝lnxx函f(x)的定域为(，＋∞，f′(x)＝－＝.222令f′x＝，＝，于当x变化时f′()，()的化况下：(0,2)2，＋f′()

＋

－f(x)ln－1故f)在义上极值f(2)＝－，极值(2)由(知，函f(x的义域0，∞，－axf′()＝－a＝>0)当a≤0时，′x在(，∞)上恒成，即数f)在(，∞上调增此函fx在义域无值；当a时令′(x)＝，＝当x∈，时′()>0，当x∈，＋时f′()<0，故数f)在x处有大．综所，≤0时，数fx)无值；当a时函f(x)有个大点3032333322221a32333322221a．知数f)＝

B级—创高自－3ax＋的调减间(－1,1)其小为，x)的大是．解：为(x)的单调减间(－，以a>0.由f′x＝3－3＝－)(＋)，可得＝，由f)＝－3x＋在x处取极值2，可1＋b＝，故＝所()＝－3x＋4的极值f(－1)－－3×(－1)＋＝6.答：t3．“级能”考国卷联)已函f(x)＝－＋x＋在区，∞)上有大值有小，的值围_______解：f′(x)＝－3＋2，题可′)＝在(0＋上有两不实，－＋2＝在(0，≠，>0，t∞有个等根所，＝－>0

解<.答：，．知数f)＝＋(a．求数fx的单调区和值是存实，得数fx)在1e]的小为？存，出的；不在请明由解由意知数定域(0，∞)，axf′()＝－＝a．(1)由f′(x)>0，得>，所函f)的调增间，＋；由f′x，得<，所函f)的调减间0，.所当＝时函f(x)有小f＝＋a＝a－alna无大．(2)不在数满足条．由(可知当x0，时，函fx单递；当x∈，＋时函f(x)单递．3111－2－211－2－22－－22－－22－－－①≤，a≥时函(x在，e]上为函，故数f)的小为f＝aln＋1＝，显1≠，不足件a≥②，即a，函(x在，上减数在，e

上增数故数f)的小为f()的小f＝aln＋a＝－＝a(1－a)＝，ln＝1，得＝，故不满条<<1.e11③≥，即≤时函(x在[，e]上为函，函x)的小为(e)＝e＋＝＋＝0，ee1即a＝－，故满条0<a≤.ee综所，存这的数，使得数fx)在，e]上最值0.第节

利导研不式明题方一

作法造数明等[典]广西州业摸)已函f)＝＋x在x＝(1)求数a的；(2)当x>1时求：(x)>3(－．[解因f(x)＝＋x，所f′x)＝＋ln＋，因函f)在x＝处取极值，所f′(e＝，＋lne＋＝，所a，以′)＝＋当f′x)>0时，当′(x时，0<<e，所()在0，)单调减在e，∞上调递，

(e为自对的数)处得小．所()在xe

2

处得小，合意所＝(2)证：(知＝1，以(x＝x＋xln令x＝fx)－3(x－1)，即x＝x－＋3(．g′)＝lnx－，g′(x)＝，x＝e.由′，>e；g′)<0，0<<e.所(x)在，上单递，(e＋∞上单递，所(x)在，∞上最值(e)＝3－e>0.于在，∞上都()≥g，所f(x)>3(－1)．[解技]32x2xxxxxlnx2x2x2x2xxxxxlnx2x2x2欲函不式f(x)(x>)，只证f)－()>0(x>)设()＝f(x－(x)，即证(xx)若(a＝，(ha)(a．下往用数得函(是增函数可欲函不式f(x)(x∈II是区间)，只需明fx)－x∈I)．设h(x)＝f(x)－)(x∈I，即(x)>0(x∈I，也即证hx)>0(∈I)(若(x)不存在则求数(x)的下minmin确)，而用数往容解．[对训](2019·广模)已知函f)＝ax自对的底，a为常数的象点0,1)处切斜为(1)求的及数(x)的极值(2)证：x时

解(1)fx)＝eax得′(x＝ea因f′＝－a＝－1，以＝，所()＝－，′(x)e令f′x＝，＝ln，当x时f′(，f(x在(－，ln上单调减当x时f′(，f(x在，∞上单递增所当＝ln2时，f()取极值且小为(ln2)＝－2－2ln2，f()无大．(2)证：(x)＝x

，g′(x＝－.由(得g′(x)＝f)≥(ln2)>0故x在R上调增所当x时gx)>(0)＝1>0即方二拆法造数明等

[典]郑州量测设数f()＝ax－(＋x，曲＝fx)在，f(1))处切的率(1)求的；(2)求：0<≤时，()>x[解(1)f′(x＝2－lnx－，由意可′(1)＝2－2＝，所＝(2)证：(得fx＝x－(＋1)ln，要当≤时x)>，只证0<≤时x

xlnx－lnx>，x－lnx>＋2令x＝－x，h(x)＝

x1＋，2令′)＝－＝0，得x＝1，易(x)在上调减在1,2]上调增332xxxx2xx22xxxx2xx2故x时gx＝(1)＝min－lnx因′()，当0<≤2时，h′(x)>0，所h()在(0,2]上调增故0<≤时h()＝＋ln＝<1，<(x.max故x时h(x)<(x)，即当≤时，x)>[解技]对一不式转为fx)≥x的形证f(xg()即可在转化中一定注合性把，min一以利导进最分为分准[对训](2018·福高期)已函fx)＝elnx－axa∈R)．讨(x的单性当a＝时，求：xf)－＋2e≤e解(1)f′x＝－(>0)，①a，f′，)在0，∞)上调增e②，f′)＝，＝，ee则x<时，f′(x)>0；当x时，′x)<0e故f)在，上单调增在，∞上单递减e(2)证：为，以需fx≤－，当a＝时，由(知，)在上调增在(1，∞上单调减所f(x)＝(1)＝e.maxe记x＝－2e(，g′x)＝，x当x<1，′()<0，()单递；>1时，g′(x)>0，(x单递增所(x＝＝－mine综，>0时(x)≤g)，()≤－2e，xf()－＋2e≤方三

换法造数明等[典]已函f()＝ln－ax(x，a为常，函f(x有个点

，(x≠x．求证x>e12[证]不设x

，1因x－ax＝，lnx－ax＝0，1234＝a，212112c22221122＝a，212112c22221122所x＋lnx＝a＋)x－ln＝(－x)，以122112欲x，证ln＋x>2.1212因x＋lnx＝a＋)122所即>，＋1x－ln所原题价证>，－x＋x1

x－ln12－x1即ln

－x>，＋11令c＝(c，则等变c>.＋令h(c)＝－

1，>1，c所′(c＝－＋

－＝>0c＋所h()在(，∞上调增所h(h(1)＝ln－＝，1即lnc－c，c＋因原等x>e得证12[解技]换法造数明等的本路直消参，结所问，妙入量c＝，从而造2相的数其题点：联消抓构用求

利方x＝fx)消解式的参a1令＝，掉量x，，造于c的函h(c)12利导求函h(c)的小，而证结[对训]已函f)＝lnx－ax

＋x，aR.(1)当a＝0时，求数f)的图象，f(1))处切方；(2)若a＝，实，满足f)＋f)＋x＝，证x＋x≥1122

－

解(1)＝0时)＝x，f(1)，以点(1,1)，因′＝＋，所切斜＝′＝2，故线程－＝x－，2－－＝0.(2)证：＝－2时，()＝ln＋＋x(x>0)35222tt22222tt22由f＋f)＋x＝，12得lnx＋x＋x＋x＋＋＋x＝0，1122从＋)＋)＝－ln(x)，1112令＝x(，令φ)＝－lnt，12t－1得φ′()＝1－＝，易φ()在间上单调减区(＋上单递所φ)φ(1)＝1以x＋x)＋(x＋)11212因，x，所以x＋x≥112

－成．[课时跟检]．函f)＝lnx－x(1)讨()的调；－(2)求：∈，∞时1<<x.x解(1)f′x＝－x．由f′x，得；′)<0，得>1.∴()在上单递，1，＋∞上调减－(2)证：证∈，∞时1<<，x即xx－由(得fx)＝ln－＋1在，∞)上调减∴x(1，∞时xf(1)＝，有lnxx－设Fx＝xx－x＋，则F′()＝1＋x－1＝当x∈(1＋∞时F)>0，F)单递．∴F)>F＝，有xx－∴不式立．武调)已函f()＝x＋，∈R(1)讨函(x)的调；(2)当a>0时求：(x≥

－1ax－a解(1)f′x＝－＝(．xx当≤时f′，)在(0＋)上调增当a时若，′，函数f)在，∞上单递；若x<，f′)<0，数fx在(，)上调减36222x22xeee222x22xeee综所，≤0时，f)在，∞上单递；当a时(x在(0，a上单递，(，∞上单调增(2)证：(知，a>0时，fx＝f＝lnamin2a－要()≥，需a≥

－1即a＋－≥0.1－1令数(a)＝ln＋－1(a，则′)＝－＝，当a<1，′()<0；>1时，g′(a，所(a)在上调减在，∞上调增所(a＝＝0.min所a＋－≥恒立2a－所()≥成．．知f()＝x，(x)＝－＋ax－(1)若一∈，∞，f()≥(x)恒立求数a的值围(2)求：一∈，∞)，＞－恒立eex解(1)题意知2≥＋ax对切∈，∞)恒立则a≤2lnxx.设h(x)＝2ln＋＋(x＞，＋1则′()＝当x∈(0,1)时′()＜，h(x)单递；当x∈(1＋∞时′()＞0，(x)单调增．所h(x＝(1)＝4min因对切∈(0，＋)，f()≥()恒立所a)＝，实的值围(∞，4]．min(2)证：题价证x＞－x＞．e因()＝xlnx(＞，′()＝ln＋，当x∈，时′()＜0，fx)单递；当x∈，＋时f′()＞，(x)单递，所(＝fmin

＝e37xxxx－2x－－x－－xxx－－exeexxee－－x－xex[)exxxx－2x－－x－－xxx－－exeexxee－－x－xex[)e2设m(x)＝－＞，ee－则m′x＝，e当x∈(0,1)时′()＞，(x)单调递；当x∈(1＋∞时′x)＜，()调减，所()＝＝，maxe从对切∈(0，＋)，f(x)＞m()恒立2即xlnx＞－恒成．ee2所对切∈(0，＋)，lnx－恒成．eex．黄模)已函f()＝λln－

x

(∈R．(1)若数fx是调数，的取范；(2)求：0<x<x时e1－x－－x－111

解(1)数f()的义为(，∞)，∵()＝－，λ∴′x)＝＋

λ＋x＝，∵数f)是调数∴′x)≤0或′)≥在，∞)上成，①函f)是调减数，f′)≤，∴

λxe

≤0，λ＋xe≤，λ≤－xe＝－x－1令φ)＝，则φ′)＝，当x<1，φ′x)<0当x>1时，φ′，则φ)在上单递，1，＋∞上单递，∴>0时，(x)＝φ(1)＝，∴λ≤－min②函f)是调增数，f′)≥，∴

λxe

x≥0，λ＋xe

≥0，≥xe

＝，e由得φ)＝－在(0,1)上调减在(，∞上单递，又φ＝，―＋时φ，∴λ≥0.综，λ的取范为－∞，∪，∞.3822>1.1tt2txxxx2x22>1.1tt2txxxx2x1(2)证：(可知当＝－时，f)＝－ln－x在(，∞)上调减ee∵0<x<x，∴f)>(x)，12即－－－lnx－－，ee2∴－－e1x>lnx－ln.211要e1－e1x－211只证ln－ln－，证ln12x1

1221令＝，∈(0,1)，则需ln>1－2－1令h(＝lnt＋－1，则′(＝－＝，ttt当t<1时，′(，∴()在0,1)上调减又h(1)＝0，∴h()>0即t－，不式证第节

利导研不式成问方一

分参法决等恒立题[典]石家质检)已函f)＝axe－a＋－1)．(1)若a＝，函f(x)的象点0，处切方；(2)当x>0时函f(x)≥0恒成，实a的取范．[解若＝，(x＝－－1)．即f′x＝xee4则′＝－，(0)＝，所所切方为3x－＝0.(2)由f(1)≥0，得a≥

，e－则f)≥对意>0恒成可化≥对任的x>0恒立＋－1设数F()＝(>0)，x＋则F′()＝.当x<1，F′(；>1时，F′)<0，所函F)在0,1)上调递，(1，∞)上调减所Fx＝F＝.maxe于

1≥，得≥＋e

e39－x22xx22x2x2xx222x－x22xx22x2x2xx222x故数a的取值围，＋

[解技]．离数解参等恒成问的路用离数解参等恒立题指能判出数系数负情下可根不式性将数离来得一一是数另端变表式不等，要究量达的值可解问．．解参等恒立题的键过“关”转关求值[对训]

通分参法先化fa≥g(x)(f(a)≤(x))对∈成立再化为f)≥(x)(或f)≤x))max求数)在间上最值或小)问已函f)＝，对意x∈，有fx)<e＋－

成，k的取范．解由意f(x＝<对任的∈(0,2)都成立由，知＋2x，e＋2－即k>x－x对任的∈都立从≥0，e故等可化<＋x－x.e令x＝＋－2，e－e＋，所g′(x＝＋－＝－令′)＝，x＝1，显函()在1,2)上单递，(0,1)上调减所gx＝＝e－min综所，数k的取值围[0，－1)．方二等转法决等恒立题[典]合肥校考已函fx＝(＋a－1)ex，g(x＝x

＋ax其

常．当a＝2时，函f()在，f(0))处切方；若任的∈[0，＋)，不式f(x≥gx恒成，实a的取范．[解因a2所)＝＋x所(0)＝1，f′()＝x＋2)e，所′(0)＝2，所所切方为2x＋＝0.(2)令(x)＝f()－x，题得h(x)≥0在x，＋∞)上成，min40x2x2x2xx2x2x2xx2x2x2xx2x2x2x因h(x)＝x＋－－x－，所′()x＋a－．①a，当∈，∞时′(x)≥0，所以数h()在[0，＋)上调增所h(x＝(0)＝a1则a－≥，得≥min②，当∈，a)时′(x)≤0；当x∈－，∞时′x，所函h)在0，－a上单递减在(－a，∞上调增所h(x＝(－a，min又为(－h(0)＝a－1<0，以合意综，数a的取值围，∞．[解技]等转法解等恒立题思遇()≥x)型的等式成问时一采作法构“减”函)＝()－()或右左的数(x＝g(x－()，进而需足hx或u(x)≤0，将比法思融函中转为min解数值问，用围广但往需对数行类讨．[对训]设数f)＝(1－

)e

讨(x的单性当x≥0时，fx)≤＋，实的值围解(1)f′x＝(1－2x－

)e

，令f′x＝，＝2，当x∈－∞－－2)时f′x)<0当x∈－－，12)时f′x)>0当x∈－＋，∞时f′x)<0.所()在－，1，－1＋2，∞上调减在(－12，－＋上单调增(2)令g(x)＝f()－ax－1＝(1－x

2

)e－(＋1)令x＝0可(0)＝0.g′)＝－－2－，令h(x)＝－x

－2－，′x＝(x＋4＋

，当x≥0时，h′(x，()在，∞)上调减故h(x)≤(0)＝1－a，即g′()≤1－，要()－ax－1≤0在x≥0时成，要－≤，即a≥1此()≤(0)＝0，a综所，数a的取值围[1，＋)．41，，∞2x2x22，，∞2x2x22[课时跟检]．西质)已函f()＝x，gx＝x－求数＝)的图在＝1处的线程若等f()≤ag(x)对意x∈(1，＋均成立求数a的值围解(1)f′x)＝，∴f′(1)＝1.又(1)＝0，∴求线方为y－(1)f′－1)，即x－＝0.(2)易对意∈，∞，，gx)>0.当≥时()<g)≤(x；当≤时(，ag)≤0，满不式f(x)≤(x；③a时设φ()＝x－(x＝ln－a(－1)，则φ′x)＝－>1)，令φ′()＝，＝，当x变时φ′)，φ(x)的化况下：∴φ(x)＝φmax

＋φ′φ(xφ＝，满不式

极值

－综所，数a的值围[1，＋)．－x．知数f)＝(aR)．e(1)求数fx的调间；(2)若

∈，＋∞，等x－1恒立求数的值围－x－2解(1)f′x＝，e当a≤－时，－2x－≥，f′(x)≥，∴数f)在－，∞)上调增当a>－时，x

－2－2＝，解＝－＋，＝＋＋1.1∴数f的单递区为(－，－2a＋1)和＋2a＋，＋∞)单递区为－2a＋，1a1)．422x2x2x2xxxxxx2x2xx2>x－fx]>(x1212x2x2x2xxxxxx2x2xx2>x－fx]>(x1212xx>x－fx]>(x1212x2xxx2xxx－x(2)－1⇔>－⇔2a>e

－，由件，a>x－对≥1恒成．令x＝x－，hx)＝′(x)＝x－，′(x)＝2－当x∈[1＋∞时′()＝2－≤－e<0，∴h(x)＝′()＝－在1，∞)上调减∴h(x)＝－≤－e<0，g′x，∴g(x)＝x－在，∞)上调减∴g(x)＝x－≤g＝－，故()>－1在1，∞上成，则a>(x＝－，max－∴>，即数的值围，＋．()＝x(x)＝＋令F()＝fx＋g)，F)的小；若意x，∈－，∞，且x，mfx12解(1)Fx)＝)＋(x＝xex＋，∴′()＝＋＋1)，令F′(，得x－1，令Fx，解x，∴F)在－，1)上调减在(－，∞上单递．1故Fx)＝F－1)＝－－.min2(2)∵意x，x∈[－1＋，且x，有mfx12∴mfx)－g(x)>mf(－x)成．112

)－(x)恒立求数的取范．1)－(x)恒立1令h(x)＝()－(x)＝mx

－x

－x，x∈－，∞)，即需)－，∞)上调增可故′()＝(＋1)(m－≥在[－，∞)上恒成，故m≥，≤，≥，ee即数m的值围，∞)．．开高定考)已函fx＝a＋x－xlna(a>0，a．求数fx的极小值若在x，∈－1,1]使得f(x)－fx≥－1(e是然数底)，实的值围1212解(1)f′x＝ln＋2－lna＋a－1)ln.∵>1时，ln，函＝a－1)ln在R上是增数43x222e2x222e2当a<1，a<0，数＝(a－1)lna在上是增数∴>1或0<<1，′x)在上是增数又f′＝，∴f′x)>0的解为(，＋f)<0的集(∞，函f(x)单递增间(，＋)，单递区间(－∞，0)，∴数f)在x处得小1.(2)∵在x，x∈[－，得fx)－fx≥－1，1212∴需f－f(x－即．max由(可知当x[－时)在－1,0]上是函，0,1]上是函，∴x[－1,1]时，x＝，f()为f(－和f(1)中较者minf(1)－(－1)＝(a＋1－ln)－＋＋lna＝－－2ln，令a＝－－(>0)，∵g′(a)＝＋－＝－>0∴g(a)＝－－a在(，∞)上增数而(1)＝0，当>1时，(，即f(1)>(－1)；当a<1，()<0，(1)<f(1)．∴>1时，(1)－(0)≥e－，alna≥－由数＝－lna在(，∞上增数解a；当a<1，(－－f(0)e－1，即＋a－1，由数＝＋ln在(0,1)上减数，得a≤.e综可，求数a的取值围0，∪，＋．第节

利导研函零问考一

研函零个[典]全国Ⅱ已函f)＝3－ax＋＋1)．若a＝3求f)的单调间证：)只有个点．[解当＝时x＝x3－x－3－，f′()＝x－6－3.442233222212222332222122令f′x＝，得x＝3或＝＋3.当x∈－∞－∪＋，∞)时′()>0；当x∈(323＋2时，f′()<0.故f)的调增间(－，－，(3＋3＋)，单递减间(3，＋．(2)证：为＋＋，所()＝等价于

－a＝0.＋x＋1设x＝

－，＋＋则′)＝

＋＋3≥0，＋x＋1仅x0时，′()＝，所(x)在(－，∞上调增故x至多有一零，而(x)至有个点又fa－1)＝a

＋2－6a

2

－，f(3a＋1)，故f)有个点综，x只有个点[解技]判函零点数3种法直法画法定法

令f()＝0，方解个即零的数转为个画图的数看交的数可利零存性理定可合值极去决[对训]设数f)＝＋，∈(1)当＝为自对的数时求f(x)的小；(2)讨函(x)＝′)－零的个．e解(1)题意知当me时()＝lnx＋(x>0)xe则f′x＝，∴x(0，时f′()<0，(x)在0，上单递；当x∈(e，＋∞)时f′(，f)在，∞上单递，e∴xe时，f()取得极值f(e)＝ln＋＝2，e∴()的小为2.4523322233221(2)由意(x)＝′)－＝－－(>0)，xx3令x＝，＝－x＋(．设φ)＝x＋(x≥，则φ′()＝x＋＝－