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第四讲函数的极值与最值内容提要

1.掌握求函数的极大值和极小值方法；2.掌握求函数的最大值和最小值方法。教学要求

掌握求函数的最大值和最小值方法并会熟练求解较简单的最大值和最小值的应用问题.

一、极值的定义与必要条件同样地,定义1则称则称使函数取得极值的点称为为了描述这种点的性质,引进函数极值的概念.从图上还可以看出，函数在极值点处，曲线上的切线是水平的，一般地，有下面的定理.定理1注意：定理1的逆定理不成立.例如证明则说明：对于连续函数,导数不存在的点也可能是函数例如，函数在定义域中的驻点及不可导点统称为极值可疑点.指出：连续函数仅在极值可疑点上可能取得极值.练习求下列函数的极值可疑点：的极值点.

二、极值的充分条件由单调性与导数符号的关系，可得下面的定理.如图所示：定理2(第一充分条件)符号相同,

求极值的步骤:是极大值还是极小值.例6解列表讨论极大值极小值解列表讨论不存在例8解故定理3(第二充分条件)注意：解此时，不能用第二充分条件.仍用第一充分条件判定：三、函数的最大值和最小值1、闭区间上连续函数的最大值和最小值的求法由闭区间上连续函数的性质可知：必能取得最大最大值和最小值统称为最值.值和最小值.处取得最大值由(1)(2)可知：只要算出极值可疑点及端点处的函数值，比较这些值的大小，即可求出函数的最值.（最小值).解解2.实际问题的最值解例3向工厂修一条公路，已知铁路每千米货运的运费与公路上每千米的运费之比为3：5，为了使货物从供应站B运到工厂C的费用最小，问D点应选在何处？则指出：就可以断定目标函数在某个开区间内必有最即可判定在该点处目标函数一定在很多实际问题中，根据问题的性质，往往大值或最小值.若目标函数是可导函数，且在该区间内只有一个驻点，此时，取得最大值或最小值.例4解表面积最小，例5解此时，容器中水的体积为例6解课堂练习1.某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每套每月180元时，公寓会全部租出去．当租金每套每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费．试问房租定为每套每月多少元可获得最大收入？解设房租为每月元，租出去的房子有套，每月总收入为故每月每套租金为350元时收入最高.2.问如何安装，如图，做成一个横截面为水槽的横截面面积最大.解如图,时),水槽的横截面面积最大?用三块长度一样，等腰梯形的水槽,3.敌人乘汽车从河的北岸A处以2千米/分钟的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸B处向正东追击，速度为1千米/分钟．问我军摩托车何时射击最好（相距最近射击最好）？解敌我相距函数得唯一驻点4.解如图,解得解5.横截面为矩形的梁，它的强度与矩形的宽及高的平方的乘积成正比（设比例系数为），现要把直径为的圆柱形木材（如图）的梁，若要使梁有最大的强度，比是多少？加工成横截面为矩形问矩形的高与宽之小结:极值是函数的局部性概念:驻点和不可导点统称为极值可疑点.函数的极值必在极值可疑点取得.判别法第一充分条件;第二充分条件;极大值可能小于极小值.如图所示:第一充

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