拉普拉斯变换的定义

第十三章拉普拉斯变换内容提要:本章介绍拉普拉斯变换法在线性电路分析中的应用。

主要内容有：拉普拉斯变换的定义，拉普拉斯变换与电路分析有关的一些基本性质，求拉普拉斯反变换的部分分式法(分解定理)，还将介绍KCL和KVL的运算形式，运算阻抗，运算导纳及运算电路模型．并通过实例说明它们在电路分析中的应用。

§13-1拉普拉斯变换的定义

§13-2拉普拉斯变换的基本性质

§13-3拉普拉斯反变换的部分分式绽开

§13-4运算电路

§13-5应用拉普拉斯变换法分析线性电路

重点1、电路的运算(复频域)模型2、拉普拉斯反变换的部分分式绽开3、应用拉氏变换分析线性电路难点 部分分式绽开序∶1、变换----电路分析的桥梁和杠杆2、拉普拉斯变换的优点∶（1）微分方程代数方程（2）运算法相量法（3）直接求得暂态响应和稳态响应（4）面对一切解析激励对于具有多个动态元件的困难电路，用干脆求解微分方程的方法比较困难。例如对于一个n阶方程，干脆求解时须要知道变量及其各阶导数[直至(n-1)价导数]在t=0+时刻的值，而电路中给定的初始状态是各电感电流和电容电压t=0+时刻的值，从这些值求得所需初始条件的工作量很大。

积分变换法是通过积分变换，把已知的时域函数变换为频域函数，从而把时域的微分方程化为频域函数的代数方程。求出频域函数后，再作反变换，返回时域，可以求得满足电路初始条件的原微分方程的解答，而不须要确定积分常数。

拉普拉斯变换和傅里叶变换都是积分变换，但拉普拉斯变换比傅里叶变换有更广泛的适用性，所以拉普拉斯变换法是求解高阶困难动态电路的有效而重要的方法之一。

13-1拉普拉斯变换的定义1、拉氏变换定义∶名词∶F(s)为f(t)的象函数象函数f(t)为F(s)的原函数原函数S=+j为复频率复频率2、常用的拉氏变换对∶正变换∶反变换∶§13-2拉普拉斯变换的基本性质1、线性性质基本性质:唯一性：原函数f(t)与象函数F(s)一一对应线性性：，，则：L

时域导数特性：时域积分特性：LLL线性动态电路方程的拉氏变换解反变换的概念∶§13-3拉普拉斯反变换的部分分式绽开一、关于象函数F(s)∶一般为实系数有理分式∶要求∶,否则,先化为真分数(用分式除法)n>m求其反变换f(t)的基本思路是∶作部分分式展开查表得之二、部分分式法求反拉氏变换1、当D(s)=0有n个不同的实根时其中：i=1,2,3,……n有:即有当求反拉氏变换例题已知求其中：所以2、当D(s)=0有q个相同实根时其中：……………………例题求其中：已知所以3、当D(s)=0有共轭复根时其中：反变换:例题求已知其中：所以§13-4运算电路干脆列写关于象函数的电路方程建立电路元件的运算模型建立运算形式的KCL,KVL关系建立运算电路模型求解基本思路：一、运算形式的KCL、KVL：二、元件的运算模型1、电阻2、电容3、电感当动态元件初始储能为零时：++U1(s)U2(s)SL1SL2sMI1(s)I2(s)++++L1i1(0_)L2i2(0_)Mi2(0_)Mi1(0_)(b)4、互感L1L2++u1u2Mi1i2(a)三、电路的运算模型实例:运算电路§13—5应用拉普拉斯变换法分析线性电路运算法与相量法的基本思想类似。

相量法把正弦量变换为相量(复数)，从而把求解线性电路的正弦稳态问题归结为以相量为变量的线性代数方程。

运算法把时间函数变换为对应的象函数，从而把问题归结为求解以象函数为变量的线性代数方程。当电路的全部独立初始条件为零时，电路元件VAR的相量形式与运算形式是类似的，加之KCL和KVL的相量形式与运算形式也是类似的，所以对于同一电路列出的相量方程和零状态下的运算形式的方程在形式上相像，但这两种方程具有不同的意义。在非零状态条件下，电路方程的运算形式中还应考虑附加电源的作用。当电路中的非零独立初始条件考虑成附加电源之后，电路方程的运算形式与相量方程类似。

可见相量法中各种计算方法和定理在形式上完全可以移用于运算法。在运算法中求得象函数之后，利用拉氏反变换就可以求得对应的时间函数。

一、运算法的基本思想:二、具体步骤∶1、作电路的运算模型，注意、仍在时域电路求取；2、接受相量法中的各种方法，列出待求象函数的电路方程；3、解出象函数，然后作部分分式绽开，查表求得待求量时域值。三、例题1、求电路的零状态响应运算电路其中2、求uR、iC2

运算电路所以3、已知：