高中数学第1章三角函数阶段综合提升第2课三角函数的图象与性质其应用数学教案

第1章三角函数第二课三角函数的图象与性质及其应用[稳固层·知识整合][提高层·题型研究]三角函数的图象及分析式确实定1π【例1】(1)函数y＝tan2x－3在一个周期内的图象是( )(2)如下图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)图象的一部分，则其函数分析式是( )A．y＝sinx＋πB．y＝sinx－π33C．y＝sin2x＋πD．y＝sin2x－π66(3)已知f(x)＝1＋2sin2x－πππ上的图象．，画出f(x)在x∈－，2421ππ(1)A(2)A的周期T＝＝2π，清除B，D.[(1)y＝tan2x－312π当x＝0时，tan－3＝－3.应选A.ππ2ππππ(2)由图象易看出A＝1，由46＋3＝ω得ω＝1，再由6＋φ＝2得φ＝3，应选A.](3)[解]∵x∈ππ，－，22π53∴2x－∈－π，π.444列表：xπ3ππ3π－2－8π－888π2π5－πππ32x－4－4π－2024πf(x)211－211＋22描点连线如下图：1．用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的步骤：第一步：列表，由π3πωx＋φ＝0，，π，，2π先求出x，再由ωx＋φ的值求出y的值．22φπφπφ3πφ2πφx－ω2ω－ωω－ω2ω－ωω－ωωx＋φ0π32π2π2πy0A0－A0第二步：在同一坐标系中描出各点．第三步：用圆滑曲线连结这些点，从而成图象．2．由已知条件确立函数y＝Asin(ωx＋φ)的分析式，需要确立A，ω，φ，此中A，ω易求，下边介绍求φ的几种方法．①均衡点法由y＝Asin(ωx＋φ)＝Asin

φωx＋ω知它的均衡点的横坐标为－

φω，所以我们能够找与原点相邻的且处于递加部分的均衡点，令其横坐标为

φx1＝－ω，则可求

φ.②确立最值法这类方法避开了“伸缩变换”且不用切记很多结论，只要解一个特别的三角方程．③利用单一性将函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与y＝sinx的图象比较，选用它们的某一个单一区间获得一个等式，解答即可求出φ.[跟进训练]π1．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0)的振幅为4，周期为6π，初相为－3.写出这个函数的分析式；用“五点法”在所给坐标系中作出这个函数在一个周期内的图象．2π1π[解](1)由已知得A＝4，ω＝T＝3，φ＝－3，π所以这个函数的分析式为y＝4sin3x－3.列表：xπ5π4π11π227π1x－π0ππ3π33222πy＝4sin1π040－40x－33描点绘图，其图象如下图：三角函数的图象变换问题π【例2】(1)将函数f(x)＝2sin2x－6的图象向右平移m个单位(m＞0)，若所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值是________．π已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜2)的图象上的一个最低点为2πM，－2，周期为π.3①求f(x)的分析式；②将y＝f(x)的图象上的全部点的横坐标伸长到本来的2倍(纵坐标不变)，而后再将所得π的图象沿x轴向右平移6个单位，获得函数y＝g(x)的图象，写出函数y＝g(x)的分析式；π③当x∈0，12时，求函数f(x)的最大值和最小值．π思路点拨：(1)使平移后的初相位为kπ＋2(k∈Z)即可．确立分析式→图象变换→研究函数的性质π

π

π(1)6

[f(x)＝2sin2x－6

向右平移

m个单位得

y＝2sin2x－2m－6

为偶函数，所以

2mπππkπ＋6＝2＋kπ(k∈Z)?m＝6＋2(k∈Z)，由于

m＞0，所以

πmmin＝6.]2π[解]①由题可知T＝ω＝π，∴ω＝2.又f(x)min＝－2，∴A＝2.由f(x)的最低点为4πM，得sin＋φ＝－1.3π∵0＜φ＜2，4π4π11π∴3＜3＋φ＜6.∴4π3ππ3＋φ＝2.∴φ＝6.π∴f(x)＝2sin2x＋6.π横坐标伸长到本来②y＝2sin2x＋6―――――――――→的2倍纵坐标不变πy＝2sin2×2x＋6＝2sinx＋π沿x轴向右6――――――→y＝2sinπ平移6个单位＝2sinx，∴g(x)＝2sinx.ππππ③∵0≤x≤12，∴6≤2x＋6≤3.

ππx－6＋6∴当2x＋ππ时，f(x)min＝2sinπ6＝6，即x＝06＝1，ππππ当2x＋6＝3，即x＝12时，f(x)max＝2sin3＝3.1．函数y＝sinx的图象变换到y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R图象的两种方法．2．对称变换．对于y＝f(x)的图象――――→y＝－f(x)的图象；x轴对称对于y轴y＝f(x)的图象――――→y＝f(－x)的图象；对称对于0，0y＝f(x)的图象――――→y＝－f(－x)的图象．对称[跟进训练]2．将函数y＝sin2x－ππ的图象先沿x轴向右平移个单位长度，再把所得图象上各点341的横坐标缩短到本来的倍，求与最后的图象对应的函数的分析式．π[解]将原函数的图象沿x轴向右平移4个单位长度后，与其对应的函数的分析式为yππ5π1＝sin2x－4－3＝sin2x－6，再将所得图象上全部点的横坐标缩短到本来的2倍，则与y＝sin5π其对应的函数的分析式为4x－6.三角函数的性质【例3】(1)若函数f(x)＝3sin(2x＋θ)(0＜θ＜π)是偶函数，则f(x)在[0，π]上的单一递加区间是( )ππA.0，2B.，π2ππ3πC.，D.，π424π(2)已知函数f(x)＝2sin2x＋6＋a＋1(此中a为常数)．①求f(x)的单一区间；π②若x∈0，时，f(x)的最大值为4，求a的值．思路点拨：(1)先依据函数f(x)是偶函数，求θ，再依照单一性求增区间，最后与[0，π]求交集．πππ(2)①由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z求增区间，262ππ3π由2kπ＋2≤2x＋6≤2kπ＋2，k∈Z求减区间；②先求f(x)的最大值，得对于a的方程，再求a的值．B[由于函数f(x)＝3sin(2x＋θ)(0＜θ＜π)是偶函数，所以

ππφ＝2，f(x)＝3sin2x＋2

＝3cos2x，π令2kπ－π≤2x≤2kπ，得kπ－≤x≤kπ，2π可得函数f(x)的递加区间为kπ－2，kπ，k∈Z，所以f(x)在[0，π]上的单一递加区间为π，π.]2πππππ(2)①由－2＋2kπ≤≤2＋2kπ，k∈Z，解得－3＋kπ≤x≤6＋kπ，k∈Z，2x＋6∴函数f(x)的单一增区间为ππππ3π－＋kπ，＋kπ(k∈Z)，由2＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，3662k∈Z，π2π解得6＋kπ≤x≤3＋kπ，k∈Z，∴函数f(x)的单一减区间为π2π6＋kπ，3＋kπ(k∈Z)．②∵0≤x≤π2，ππ7π∴6≤2x＋6≤6，1≤sinπ≤1，∴－22x＋6f(x)的最大值为2＋a＋1＝4，a＝1.1．求本例(2)中函数y＝f(x)，x∈R取最大值时x的取值会合．ππ[解]当f(x)取最大值时，2x＋6＝2＋2kπ，∴2x＝ππ3＋2kπ，∴x＝6＋kπ，k∈Z.∴当f(x)取最大值时，x的取值会合是πxx＝6＋kπ，k∈Z.2．在本例(2)的条件下，求不等式f(x)＜1的解集．π[解]由f(x)＜1得2sin2x＋6＋2＜1，1所以sin2x＋6＜－2，5πππ所以2kπ－6＜2x＋6＜2kπ－6，k∈Z.ππ解得kπ－2＜x＜kπ－6，k∈Z.所以不等式f(x)＜1的解集为ππxkπ－2＜x＜kπ－6，k∈Z.三角函数性质的理解与记忆函数y＝sinx和y＝cosx的周期是2π，y＝tanx的周期是π；函数y＝Asin(ωx＋φ)和2π的周期是π，y＝Atan(ωx＋φ)|ω|.y＝Acos(ωx＋φ)的周期是|ω|(2)函数y＝sinx和y＝cosx的有界性为：－1≤sinx≤1，－1≤cosx≤1，函数y＝tanx没有最值．有界性可用来解决三角函数的最值问题．ππ上递加，在π3π(3)函数y＝sinx在－＋2kπ，＋2kπ＋2kπ，＋2kπ上递减；函数y2222ππ＝cosx在[－π＋2kπ，2kπ]上递加，在[2kπ，2kπ＋π]上递减；函数y＝tanx在－＋kπ，＋kπ22上递加，以上k∈Z.利用函数的单一性比较同名三角函数值的大小时，注意利用引诱公式将角化到同一单一区间内；求形如f(ωx＋φ)的单一区间时，采纳整体代换的方法将ωx＋φ视为整体求解相应x的范围即可，注意ω的符号及A对单一性的影响．三角函数的实质应用【例4】(1)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似知足函数y＝π3sin6x＋φ＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________．(2)如图，点P是半径为rcm的砂轮边沿上的一个质点，它从初始地点P0开始，按逆时针方向以角速度ωrad/s做圆周运动，求点P的纵坐标y对于时间t的函数关系，并求点的运动周期和频次．8[依据图象得函数最小值为2，有－3＋k＝2，k＝5，最大值为3＋k＝8.]当质点P从点P0转到点P地点时，点P转过的角度为ωt，则∠POx＝ωt＋φ.由随意角的三角函数得点P的纵坐标为y＝rsin(ωt＋φ)，即为所求的函数关系式．2π点P的运动周期为T＝ω，1ω频次为f＝＝.T2π三角函数模型建立的步骤：采集数据，察看数据，发现能否拥有周期性的重复现象．制作散点图，选择函数模型进行拟合．利用三角函数模型解决实质问题．依据问题的实质意义，对答案的合理性进行查验．[跟进训练]3．某地昆虫种群数目在七月份1～13日的变化如下图，且知足y＝Asin(ωx＋φ)＋b(ω0，－π＜φ＜0)．依据图中数据求函数分析式．[解