上海中考数学压轴题专题复习-直角三角形的边角关系的综合

上海中考数学压轴题专题复习一一直角三角形的边角关系的综合一、直角三角形的边角关系 _1.如图，山坡上有一棵树AB,树底部B点到山脚C点的距离BC为6M米，山坡的坡角为30°.小宁在山脚的平地F处测量这棵树的高，点C到测角仪EF的水平距离CF=1米，从E处测得树顶部A的仰角为45°,树底部B的仰角为20°,求树AB的高度.(参考数………0,一t] ID cF【答案】6.4米【解析】解：:底部B点到山脚C点的距离BC为63米，山坡的坡角为30°.・•.DC=BC・cos30°==6<3义①=9米，2;CF=1米，「.DC=9+1=10米，・•.GE=10米，「乙AEG=45°,AG=EG=10米，在直角三角形BGF中，BG=GF・tan20°=10x0.36=3.6米，「.AB=AG-BG=10-3.6=6.4米，答：树高约为6.4米首先在直角三角形BDC中求得DC的长，然后求得DF的长，进而求得GF的长，然后在直角三角形BGF中即可求得BG的长，从而求得树高2.如图，某无人机于空中A处探测到目标B、D的俯角分别是30。、60。，此时无人机的飞行高度AC为60m,随后无人机从A处继续水平飞行30v3m到达A'处.(1)求A、B之间的距离(2)求从无人机A'上看目标口的俯角的正切值.

【答案】（1）120米；（2）253【解析】【分析】（1）解直角三角形即可得到结论；（2）过A'作A'E1BC交BC的延长线于E，连接A'D，于是得到A'E=AC=60，CE=AA'=30V3，在RtAABC中，求得DC=3AC=20x.-3，然后根据三角函数的定义即可得到结论.【详解】解：(1)由题意得：ZABD=30°,ZADC=60°,在RtAABC中，AC=60m,60AC-r~ ,、「.AB= =1=120(m)sin30。(2)过A'作A'E1BC交BC的延长线于E,连接A'D,则A'E=AC=60,CE=AA'=30<3,在RtAABC中，AC=60m，ZADC=60°，•••DC=—AC=20333・••DE=50<3•二tanZAA•二tanZAA'D=tanZA'DC=_=2,/3DE50%35答：从无人机A'上看目标D的俯角的正切值是2V3.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线建立直角三角形是解题的关键3.在正方形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,点P在线段BC上（不含点B）,1ZBPE=-ZACB,PE交BO于点E,过点B作BF^PE,垂足为F,交AC于点G.（1）当点P与点C重合时（如图1）.求证：△BOGM△POE；

（2）通过观察、测量、猜想:BFPE，并结合图2证明你的猜想;BF⑶把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图3）,若NACB=a，求p的值.（用含a的式子表示）图（2）通过观察、测量、猜想:BFPE，并结合图2证明你的猜想;BF⑶把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图3）,若NACB=a，求p的值.（用含a的式子表示）图I 图上 图3BF1 BF1【答案】（1）证明见解析（2） =-（3） =-tanaPE2 PE2【解析】解：（1）证明：:四边形ABCD是正方形，P与C重合，「.OB="OP"，NBOC=NBOG=90°.;PF±BG,NPFB=90°,「.NGBO=90°—NBGO,NEPO=90°—NBGO.「.NGBO=NEPO.「.△BOG^△POE(AAS).(2)BF1证明如下:A 门「•NPNE=NBOC=900,nBPN=NOCB.■:NOBC=NOCB=450,:.nNBP=NNPB.「.NB=NP.丁Nmbn=900-nBMN,NNPE=900—NBMN,「.NMBN=NNPE.△BMN^△PEN(ASA).「.BM=PE..:NBPE=1NACB,NBPN=NACB,「.NBPF=NMPF.2;PF±BM,「.NBFP=NMFP=900.又「PF=PF,「.△BP碎△MPF(ASA).「.BF="MF",即BF=1BM.BF即——PE(3)(3)如图，过P作PM//AC交BG于点M,交BO于点N,...NBPN=NACB=a,NPNE=NBOC=90o.1由（2）同理可得BF=-BM,NMBN=NEPN.丁NBNM=NPNE=90o, △BMN-△PEN.BMBNPEPNBM =tanBM =tanaPE2BF,即 =tanaPE在RSBNP中，tana=一PNBF1——=—tana.PE2POE.通过ASA证明△BM心△PENPOE.通过ASA证明△BM心△PEN得到BF1(2)过P作PM//AC交BG于M,交BO于N,BM=PE,通过ASA证明△BPF^△MPF得到BF=MF,即可得出不7=-的结论.PE21(3)过P作PM//AC交BG于点M,交BO于点N,同(2)证得BF=-BM,NMBN=NEPN,从而可证得△BMN-△PEN,由^^二史1和rqbnP中tana二更1即PEPN PN可求得BF1=—tana.可求得PE24.如图，在△ABC中，AB=7.5,AC=9,S=—.动点P从A点出发，沿AB方向以每秒△ABC^45个单位长度的速度向B点匀速运动，动点Q从C点同时出发，以相同的速度沿CA方向向A点匀速运动，当点P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动，以PQ为边作正^PQM(P、Q、M按逆时针排序)，以QC为边在AC上方作正^QCN,设点P运动时间为t秒.(1)求cosA的值；(2)当4PQM与^QCN的面积满足S&PQM=|S&QCN时，求t的值；(3)当t为何值时，△PQM的某个顶点(Q点除外)落在△QCN的边上.

, 4 3. .. 9 rrd【答案】（1）coaA=5；（2）当t=5时，满足S&pqm=5S&qcn；（3）当t=巴产s或J J J N/U27；3ms时，△PQM的某个顶点（Q点除外）落在△QCN的边上.26【解析】分析：（1）如图1中，作BE±AC于E.利用三角形的面积公式求出BE,利用勾股定理求出AE即可解决问题；（2）如图2中，作PH±AC于H.利用S&PQM=5S&QCN构建方程即可解决问题；（3（3）分两种情形①如图3中，当点M落在QN上时，作PH±AC于H.②如图4中，当点M在CQ上时，作PH±AC于H.分别构建方程求解即可；1 81△ABC=2*AC*BE= ，9BE=-2在《△ABE中，AE八:AB2—BE2=6，coaA=AEABcoaA=AEAB7.5（2）如图2中，作PH±AC于H.M图2;PA=5t,PH=3t,AH=4t,HQ=AC-AH-CQ=9-9t,・二PQ2=PH2+HQ2=9t2+(9-9t)2,八9•S=—S△PQM5。&QCN，.<3 9<3一一•PQ2=—义——・CQ2,4 549-9t2+(9-9t)2=5X(5t)2,整理得：5t2-18t+9=0,解得t=3(舍弃)或5.w3 9•当t=5时，满足、△pqm=5、△qcn-(3)①如图3中，当点M落在QN上时，作PH±AC于H.图3易知：PMIIAC，乙MPQ=NPQH=60°，PH=SHQ，3t=%3(9-9t)，t=27-3於26 .②如图4中，当点M在CQ上时，作PH±AC于H.图4同法可得PH=<3QH,•••3t=<3(9t-9),飞27+3百26，综上所述，当t=27/二s或27+3亘s时，△PQM的某个顶点(Q点除外)落在△QCN26 26的边上.点睛：本题考查三角形综合题、等边三角形的性质、勾股定理锐角三角函数、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型.5.如图，将一副直角三角形拼放在一起得到四边形ABCD,其中NBAC=45°,NACD=30°,点E为CD边上的中点，连接八£,将4ADE沿AE所在直线翻折得到△AD,E,D’E交AC于F点.若AB=6'.cm.AE的长为—cm；(2)试在线段AC上确定一点P,使得DP+EP的值最小，并求出这个最小值；(3)求点D'到BC的距离.【答案】(1)匕工；(2)12cm；(3)〈'-「cm.【解析】试题分析：(1)首先利用勾股定理得出AC的长，进而求出CD的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进而得出答案：丁NBAC=45°,NB=90°,「.AB=BC=6\"cm,「.AC=12cm.AC12丁NACD=30°,NDAC=90°,AC=12cm,「. ： (cm).•・•点E为CD边上的中点，「.AE=DC=F『cm.(2)首先得出^ADE为等边三角形，进而求出点E,D'关于直线AC对称，连接DD'交AC于点P,根据轴对称的性质，此时DP+EP值为最小，进而得出答案.(3)连接CD,,BD',过点D'作DZG±BC于点G,进而得出^ABD竺△CBD'(SSS),贝UND,BG=45°,D'G=GB,进而利用勾股定理求出点D,至UBC边的距离.试题解析：解：(1)「.:RtAADC中，NACD=30°,「.NADC=60°,丁E为CD边上的中点，「.DE=AE.，△ADE为等边三角形.••将△ADE沿AE所在直线翻折得^AD,E,，△AD’E为等边三角形，NAED‘=60°.丁NEAC=NDAC-NEAD=30°,「.NEFA=90°,即AC所在的直线垂直平分线段ED,.・•点E,D，关于直线AC对称.如答图1,连接DD,交AC于点P,,此时DP+EP值为最小，且DP+EP=DD'.「△ADE是等边三角形，AD=AE」\'：,DO1=2•皿-2•4.2--12- ' -，即DP+EP最小值为12cm.答图1(3)如答图2,连接CD，,BD',过点D，作D'G^BC于点G,「AC垂直平分线ED，,•AE=AD，,CE=CD，,;AE=EC,•AD'=CD'=I\'1AB=BC

BD'-BDr在^ABD殂ACBD，中，: ，•△ABD竺△CBD，(SSS).•ND，BG=ND，BC=45°.•D，G=GB.设D，G长为xcm,贝UCG长为八二-cm,在RSGD，C中，由勾股定理得：1: L-,：：,解得：'I：’、・二.•,・「(不合题意舍去).•••点D，到BC边的距离为飞：cm.

普图2考点：1.翻折和单动点问题；2.勾股定理；3.直角三角形斜边上的中线性质；4.等边三角形三角形的判定和性质；5.轴对称的应用（最短线路问题）；6.全等三角形的判定和性质；7.方程思想的应用.6.如图，某校数学兴趣小组为测量校园主教学楼AB的高度，由于教学楼底部不能直接到达，故兴趣小组在平地上选择一点C,用测角器测得主教学楼顶端A的仰角为30°,再向主教学楼的方向前进24米，到达点E处（C,E,B三点在同一直线上），又测得主教学楼顶端A的仰角为60°,已知测角器CD的高度为1.6米，请计算主教学楼AB的高度.（v3，1.73,结果精确到0.1米）【答案】22.4m【解析】【分析】首先分析图形，根据题意构造直角三角形.本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造等量关系，进而求解.【详解】解：在RtAAFG中，tanNAFG=<3,_AG_AG「-tanZAFG―3'AG在RtAACG中，tanNACG=——,CGCG= AGtanZCG= AGtanZACG=<3AG.AG谓=24m，・•.AG=12$3m,・•・AB=12v3+I.6,22.4m.AD EAD E月7.许昌芙蓉湖位于许昌市水系建设总体规划中部，上游接纳清泥河来水，下游为鹿鸣湖等水系供水，承担着承上启下的重要作用，是利用有限的水资源、形成良好的水生态环境打造生态宜居城市的重要部分.某校课外兴趣小组想测量位于芙蓉湖两端的A,B两点之间的距离他沿着与直线AB平行的道路EF行走，走到点C处，测得NACF=45°,再向前走300米到点D处，测得NBDF=60°.若直线AB与EF之间的距离为200米，求A,B两点之间的距离（结果保留一位小数）EC 0EC 0尸【答案】215.6米.【解析】【分析】过A点做EF的垂线，交EF于M点，过B点做EF的垂线，交EF于N点，根据RtAACM和三角函数tan/BDF求出cm、DN,然后根据MN=MD+DN=AB即可求出a、B两点间的距离.【详解】解：过A点做EF的垂线，交EF于M点，过B点做EF的垂线，交EF于N点ECMD”在RtAACM中，:ZACF=45°,AM=CM=200米，又「CD=300米，所以MD=CD—CM=100米,在RtABDN中，NBDF=60°,BN=200米「.DN=BN氏115匕米，tan60oMN=MD+DN=ABx215.6米即A,B两点之间的距离约为215.6米.【点睛】本题主要考查三角函数，正确做辅助线是解题的关键.8.在^ABC中，NB=45°,NC=30°,点D是边BC上一点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°,得到线段AE,连接DE.(1)如图①，当点E落在边BA的延长线上时，NEDC= 度(直接填空)；1(2)如图②，当点E落在边AC上时，求证：BD=-EC；(3)当AB=2%：2，且点E到AC的距离等于J3-1时，直接写出tanNCAE的值.图②图②【答案】(1)90；(2)详见解析；(3)tanZEAC=6一乳311【解析】【分析】(1)利用三角形的外角的性质即可解决问题；(2)如图2中，作PA±AB交BC于P,连接PE.只要证明^BADM△PAE(SAS),提出BD=PE,再证明EC=2PE即可；(3)如图3,作EF±AC于F,延长FE交BC于1~1,作AG±BC于G,PA±AB交BC于P,连接PE.设PH=x，在RtAEPH中，可得EP=<3x,EH=2PH=2x,由此FH=2x+<3-1,CF=2<3x+3-33，由△BAD^△PAE,得BD=EP=33x,AE=AD,在Rt△ABG中，AG=GB=2,在R3AGC中，AC=2AG=4,故AE2=AD2=AF2+EF2,由勾股定理得AF=1+；3，由此tanNEAF=2-<3，根据对称性可得tanNEAC=6-3V3.11【详解】(1)如图1中，

丁NEDC=ZB+NBED,NB=ZBED=45°,「.NEDC=90°,故答案为90；(2)如图2中，作PA±AB交BC于P,连接PE.丁NDAE=NBAP=90°,「.NBAD=NPAE,;NB=45°,「.NB=NAPB=45°,「.AB=AP,;AD=AE,△BAD^△PAE(SAS),「.BD=PE,NAPE=NB=45°,「.NEPD=NEPC=90°,;NC=30°,「.EC=2PE=2BD；(3)如图3,作EF±AC于F,延长FE交BC于1~1,作AG±BC于G,PA±AB交BC于P,连接PE.设PH=x,在RtAEPH中，TNEPH=90°,NEHP=60°,「•EP=<3x,EH=2PH=2x,・•.FH=2x+73-1,CF=33FH=233x+3-33,△BAD^△PAE,「•BD=Ep=产x,AE=AD,在RtAABG中，•AB=2五,AG=GB=2,在RtAAGC中，AC=2AG=4,•AE2=AD2=AF2+EF2,・二22+(2-v3x)2=(33-1)2+(4-233x-3+,；3)2,整理得：9x2-12x=0,解得x=3(舍弃)或0・•.PH=0,此时E,P,H共点，「•AF=1+ ,.•・tan/EAF=生=4=2-6AF耳+12%3根据对称性可知当点E在AC的上方时，同法可得tan/EAC="W.11【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题..超速行驶是引发交通事故的主要原因.上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在到万丰路(直线八。)的距离为120米的点P处.这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为5秒且/APO=60°,/BPO=45°.(1)求A、B之间的路程；(2)请判断此车是否超过了万丰路每小时65千米的限制速度？请说明理由.(参考数据：22H1.414,<3H1.73).【答案】【小题1】73.2【小题2】超过限制速度.【解析】解：(1)AB=100(<3—1)；=73.2(米).…6分13.2⑵此车制速度v=——=18.3米/秒4.如图，AB为eO的直径，C、D为eO上异于a、b的两点，连接CD，过点C作CE1DB，交CD的延长线于点E，垂足为点E，直径AB与CE的延长线相交于点F.(1)连接AC、AD,求证：/DAC+AACF=180°.⑵若ZABD=2/BDC.①求证：CF是eO的切线.3②当BD=6,tanF=4时，求CF的长.20【答案】(1)详见解析；(2)①详见解析；②CF=—【解析】【分析】(1)根据圆周角定理证得NADB=90°,即ADLBD,由CE±DB证得ADIICF,根据平行线的性质即可证得结论；(2)①连接OC.先根据等边对等角及三角形外角的性质得出N3=2N1,由已知N4=2N1,得到N4=N3,则OCIIDB,再由CELDB,得到OCLCF,根据切线的判定即可证明CF为。O的切线;BD3 4②由CFIIAD,证出NBAD=NF,得出tanNBAD=tanNF= =，求出AD=-BD=8,利AD4 3OC3用勾股定理求得AB=10,得出OB=OC=,5,再由tanF=--=，即可求出CF.CF4【详解】解：(1)AB是eO的直径，且D为eO上一点，:"ADB=90°,QCE1DB,.♦./DEC=90°,:.CF//AD,.♦./DAC+ZACF=180°.(2)①如图，连接OC.QOA=OC,，/1=Z2.QZ3=/1+Z2,,\Z3=2/1.Q/4=2/BDC,/BDC=/1,・•・/4=2/1,.•./4=/3,:.OC//DB.QCE1DB,:.OC1CF.又QOC为eO的半径，:.CF为eO的切线.I）②由（1）知CF//AD,・•./BAD=/F,—3.tan/BAD=tanF=—,4BD_3…AD~4QBD=64...AD=—BD=8,3AB=<62^8?=10,OB=OC=5.QOC1CF,.../OCF=90。，.tanF二吧二1CF4“20解得CF=-【点睛】本题考查了切线的判定、解直角三角形、圆周角定理等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）中，需要运用三角函数、勾股定理和由平行线得出比例式才能得出结果.11.现有一个“Z“型的工件（工件厚度忽略不计），如图所示，其中AB为20cm,BC为60cm,NABC=90,NBCD=60°,求该工件如图摆放时的高度（即A到CD的距离）.（结果精确到0.1m,参考数据：1.73）AC D【答案】工件如图摆放时的高度约为61.9cm.【解析】【分析】过点A作AP±CD于点P,交BC于点Q,由NCQP=NAQB.NCPQ=NB=90°知NA=NC=60°,在4ABQ中求得分别求得AQ、BQ的长，结合BC知CQ的长，在△CPQ中可得PQ,根据AP=AQ+PQ得出答案.【详解】解：如图，过点A作AP±CD于点P,交BC于点Q,iCpD丁NCQP=NAQB,NCPQ=NB=90°,•.NANC^60°,AB20 40在^ABQ中，:AQ=C',J1 (cm),BQ=ABtanA=20tan60°=20\1(cm),.CQ=BC-BQ=60-20..."(cm),在^CPQ中，=PQ=CQsinC=(60-20「)sin60°=30(J-1)cm,.AP=AQ+PQ=40+30(、二-1)=61.9(cm),答：工件如图摆放时的高度约为61.9cm.【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义求得相关线段的长度是解题的关键.12.已知：如图，直线y=-x+12分别交x轴