2022考研数学一真题及答案解析

2022考研真题解析暨复试备考策略

2022考研数学一真题(完整版)

一.选择题

1.设函数〃X)满足=则().

Inx

(A)/(1)=O(B)hm/(x)=0(C)/*(l)=l(D)bm/F(x)=l

2.设函数二=其中/⑼可导,若逐+疼二月iny-lnx).则(

M沙ar/

(A)/(1)=；，,(1)=0<B)y(i)=o,r(i)=；,

(C)/(i)=i.r(i)=i(D)/(1)=O,/*(1)=I

3.已知数列KJ,其中一1则().

(A)当limcos(smx“)存在时，lim.、存在

(B)当limsin(cosjr)存在时，limx存在

当存在时,生存在，但工不一定存在

(C)limcoslsinxjlimsin—liin

(D)当limsin(cos5)存在时，hmcosA；存在，但limx,不一定存在

'・TXAMD

4已知六丽此"J；初0=k备产则().

(A)11</2<J3<B)I2<1,<1,<C)IX<I,<I2(D)"v/2V'

5.下列四个条件中，3阶矩阵W可对危化的一个充分但不必要条件是().

(A)A有3个互不相等的特征值

(B)A有3个线性无关的特征向地

(C)A有3个两两线性无关的特征向量

(D)A的属于不同特征值的特征向量正交

6.没48为〃阶矩阵.E为单位矩阵，若方程组与8厂0同解,则().

(A)方程组，卜，=0只有零解

(B)方程组：］y=0只有零解

j=0与gAy=0同解

(C)方程组

kOAt

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(D)方程组呼"二。与M:b=O同解

.oA\OB

T

1，若向量组4a2。,与因•勺等价,则入的取值

入

范围是()

(A){0,1}(B)

(C)(川AwR/If-L2/—2}(D)(兄人€&,2f-1}

8.设随机变星X~U(0,3),随机变量Y服从参数为2的泊松分布,且X与Y的方差为4.

则。(2*-丫+1)=().

(A)1(B)5

(C)9(D)12

9.设随机变甲乂.乂•…,X”独立同分布，旦乂的4阶矩阵存在，记必=£(X；)(*=1.234).

*

则由切比雪夫不等式，对任意£>0,有尸4fx-内之££().

\n4-1

(A)(B)HyHl(C)CD)

WEWEVME

10.设防机变量X~N(0,l),在X=x条件F.随机变量y~N(X.l).则X与Y的相关系数为

()

(A)；(B)|(C)*(D)孝

二.埴空鹿

11.函数/(xj)=/+2/在点(0.1)处的最大方向导致是

13.当时，/+/<人""恒成立.则A的取值范围是.

14.已知级数£与-肛的收敛域为(4+S)，则a=.

”1n

15.已知用阵/和E-/1可逆，其中E为单位矩阵，若矩阵3满足［E-(E-.4)T,=人则

2

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B-A=.

16.设48.C为随机事件，且力与B互不相容，力与C互不相容，6与C相互独立，

P(/i)=P(B)=P(C)=iji|P(SUC|JU5UC)=.

三.解答题

1

17设函数y(工)是微分方程了十J，=2+NG满足条件)，(1)=3的解,求曲线y=y(x)的渐

2-77

近线.

计算/二的台州.

18.已知平加区域D二{(厂小一2。J4一广0”42}

DA干y

19.已知Z为曲面4*、)，、工:1.。70.］，之0之之0)的上侧，「是Z的边界曲线，其正向与Z

的正法向呈满足右手法则，计算曲线积分，=J(产2-8§二)&+2比孙+(2#+xsm:)d::.

r

20设函数/(x)在(9・+8)上有二阶连续导数，证明:/・(x)NQ的充要条件是:对不同的实

数《竽卜右门⑴小

13

21.已知二次型/(小。，与)=工£冉乃,

M

(1)求二次型/(4与用)的矩阵；

(2)求正交变换*=0将/(不占多)化为标准型:

(3)求/(孙超，勺)=0的解.

22.设乂,占，…，尤是来白均值为6的指数分布总体的简单随机样本,,…，匚是来自均值

为2。的指数分布总体的简单随机样本,旦两样本相互独立.其中，(6＞。)是未知参数，利

用样本乂，乂，…，工,m…工.求。的极大似然估计鼠讥并求。回.

3

22年硕士研究生入学考研数学一真题

一、选择颇1-10小康保小趣5分，共50分,下列每毯给出的四个选项中，只有一个选项是符合题n

要求的，请将所选选项前的字母填在答题卡指定位置.

(1)设函数f(x)满足lim典=1,则()

H\nx

(A)/(1)=0(B)lim/(x)=0

(0/'⑴=I(D)lim//(j：)=)

【答案】(B)

【解析】limlimlnx-0.

IInx

故选(B).

(2)设函数£=xrf|2,其中/(〃)可导，若工三十?=二/(Iny-lnx),则()

yx)'uxdy

(A)/(1)=:,/'(D=0(B)/(l)=04/r(D=1

(。八1)=；/。)=1(D)/(D=o，AD=i

【答案】i：B)

2

i解析】v二w(马十町八与G)r(-),

orxxxxxx

合=巾4=M、(£)+WY马，

C\rXXXXX

则X?+y==2x}/(2),故2可/(上)=y2(Inv-lnx),

uxdyxx

则f(—)=--In—.令上=〃,所以f(〃)=!"ln〃，

x2xxx2

牧/3=oj'⑴=；.

故选(B).

⑶已知数列｛乙｝,其中一gajwg・则()

(A)当!吧a双sin与)存在时，!iT为存在.

1

22年硕士研究生入学考研数学一真题

⑻当limsin(cosx〃)存在时，「mx”存在.

(C)当limcolsinx,)存在时，"msin5存在，但仙】】七不一定存在.

(D)当limsin(cwiL)存在时,limccs^存隹.但limx”.不•定存在.

'「，1乃"TS，1W

【答案】(D)

【解析】举反例，令兀=(-1)”可排除ABC.

故逸(D).

(4)已知4=J:不」----,人=［：,人=，Z：&，则()

2(l+cos,v)-J(,1+cosxJo1+sinx

(A)U</3.(B|Z2</,</v

(C)I,<L<!2.

r答案】(A)

【解析"NTT七"/寸：瞿/八力高女

2

先比较.，/,大小

令/(J)=A-|n{]+x),.r€(0J)Jl/(0)=(J,则

r(^=I-T77=:;i777)<(),即/(“)单调通减‘则‘⑴<"0)=0,

即5clMI+x),工w(0.1)♦则/(</2.

中比较小/工大小

因(一小号。」)、则旧芸X

m"+3”(__:-,从而4＞，2・

I+smx

2

综上所述，故选/1.

⑸卜述匹个条件中，3阶知阡力可对加化的一个充分但不必要条件是()

(A)4有3个互不相等的等征值

(B)A有3个找性无关的特征向量

(C)A有3个两两线性无关的特征向量

(0)4的属于不同价征值的特征向量正交

【答案】⑶

■2

22年硕士研究生入学考研数学一真题

【解析】对于选项(A),因为4有三个不同的特征值，所以4营三个无关的特征向量.即，可相似

对用化，但是/1可相似对用化，不一定有三个不同的特征值，可以有也特征值.故选|A).

(6)设48为M阶矩区,E为单位矩阵.若方程组4丫三0与乐・二0同解，顺)

A

闻方程组丁二0只有奉蟀.

ER)

、

出)方程组(E、A卜=。只仃零解.

dB)

一口仍八J8八八

(C)方程组八,,「=°勺1，=0同解.

()3(Z)1A

(ABB>(BAA

①)方程凯，、/y二0与y二0同蟀.

I。A)I。B

【答案】(C)

【解析】令J'=(:

尸。九78A8丫(BAVU

“1J7=0同解等价于=0与=0同解.

Ax)

〃=。与卜q

(力/=Au+Bx=即+4丫=0~

即4同解.

以=04t=0

Ait=0=0

所以霁价于八同解.

Bx=qAx=0

Au=0Bu=0

因为〃=0勺/%=0同解，所以与t同解.所以C正确.

Bx=0Ax=U

⑴zI'

⑺设％=1•a.=A]A，若向量"%.生•生与等价.则之

a

的取伯;电田是(

闻{0,1}(B)

(0口|/is火/7谷-2}(D)|A；Z€K/=-1}

【答案】©

22年硕士研究生入学考研数学一真题

ZII「F।A万

【解机】因为(q,%,&,c)=IAI4-0乂-1l-AA-A2

JIA1J[o1-A1一储l一万

rI1zA2

—>02-11—2九一

J0(2+2)(1—⑷U+l)七一刈/

①,当4工1且乂w—2且4w—l时.

I%,。2・。4）二3

故41,/,&与4。2，%等价.

②.当;1=1时

I1II、

(«,生,％9%)—>0000

X0000/；

可得r(％,%,以J二尸I%,%,4)二1

故ai,a”a,与因:&力。4等价.

③,当4=—2时

II-24、

—0-33-6

0003,

可得厂（。]«2，4）二2工〃（口】•%.4）=3

故a”%,%与4,%，%不等价.

④.当％=-1时

1]-11s

（小a”a、，M）->0-22-2

0020）

可得Ma'%，％）=3#r（佝,％9aJ=2

故风,见.%与4・巴・4不等价•

综上,（C）正确.

⑻设随机变量x~u（o,3）,随机变量y服从参数为2的泊松分布，且x与y的协方差为一i.则

。（2万-了+1卜（）

22年硕士研究生入学考研数学一真题

(A)1(B)5⑼12

【答案】(C)

(3-0f

【解析】不~以0.3),二=|；y~0(2),D(y)=2,

12

因此。(2Xy+!)=4D(X)+D(r)2Cpv(2Xr)^4--+24・(1卜9,故选(C),

w4

⑼设随机变量M.占，…，天独立同分仙.tig的4阶矩存在，记4="片)代=1,2,3,4),

则由切比雪夫不等太，对任意6>0〃。)口£*，一必>6^<()

(A)

汽6sins"

<，7匚

【答案】(A)

【睇机】E［含叼样片(用=£(用).，

D二£。(明似*：卜四叼丫卜加一用，

"M/n(.1，7i.i'/fi

D

根据切比雪夫不等式，尸«一至3二守.故选⑹.

(10)设的机变般X-N(0.1)・&X=x条件卜，随机殳髭丫一。(・11)•则X与丫的相关系数为

(A)：

(B)-(q(。)—

T2

【答案】(D)

q

［解析］法•：由双m，Y的概率密度为八(1)二“2•当犬二工时,y的条件概率密度为

、⑵T

I11F：I±"/Irz

fv..(y\x)=-=e~.所以(X,>')的概承您应为〃x.y)=—e^~=—c〜丁.

。2灯,2不2不

5■

22年硕士研究生入学考研数学一真题

Ir2ML牝Ia]

由二雒止态分布的概率密度〃刈)，)=------1----re"处"；।可知,

2wJ]”？

(X,y)-N(0,012；T).故选(D).

2

广,比,4c、rf

法二：EY=LL.17(乂)')"寸=1/(K)aq一如入(用#)公

rMCIr2X

=I-7=-e2E{Y\X=x^=I-7=eJcZr=0

JsVZTJ"J2况

yjxyj\x.y)dxdy二J：xj\(x)dxjJx]dx

=[T-4=xe^E(Y\X=x)dx=dx=EX?=1

JT42TTJa缶

£尸=J：]二/7(My)&fy=匚八⑶肛〉/》。I》)小

=[2以yrX=K)心=f2〃=£(X-+D=2

Jr72%Jy<27

故Coi(X,y)=L)=2

所以°=溪常=9’故送⑼­

二、境空整小题,摊小题5分，共30分.

(II)函数〃MJ)=K?+2/在点(0,1)的最大方向导数是

【答案】4

【解析】•(cosa,sin«)-(2x,4v)Lri-(cosa,sina)

=4sina04,其中方响丁=(cosa,sina),故最大伯为4.

⑴)I5Inx,

【答案】4

'竿2力=4/lnr|；一4,八/=4e—4/|；=4.

【解析)弓二Zv

yfx

(13)当XN。，j)0时户2+/4心门-怛成立，则4的取位范匝是

■6

22年硕士研究生入学考研数学一真题

【答案】[々a）十引

【解析】悚式等价为+/%3叼式力

令1/（Xv）-（x2+y~

f'—2xe""—（『+]/）《M二（2工一工？一y，■'"=0

/；=2”《小一，十J"七+＞）=（2）-—/『"刁=0

,[2x-x2-y2=0

*|2y-x2-/=0

得_r=y=1或x=y=0

2

/(0.0)=0,./(Ll)-2f-

：.k>2e".

（14）已知级数

故X>—1,(1=—1.

（15）一知即阵4和E-4可逆，其中£为单位矩阵，若雨阵8满足（K—（E—片厂）/?=/,则

B-A=.

【答案】-E

【解析口由散可得.

8-(£一4'3=4n8-A=(E-A)'8=(£一力)(4一/)=3

=>(E-A)(R—A)—A+A=>[E-A—E)(R-A)-AB—A--E.

（16）设48,C为通机挤K，nMOBU不相容,/JOU不相容,84c相4：独汇

P(A)=P(B)=P(C)=-,则P(HUCAUB(JC)=

p(^uc)

【解析】P（BUC|』U“UC）—

。(/U/?Ur)

7■

22年硕士研究生入学考研数学一真题

因为尸（力Uc）二尸（〃）+P（C）-尸（，。）二产（。）+P（C）-P（。）尸（。）二:

p（/<UfiUc）=p（/i）+P（z?Uc）-p（/in（z?Uc））=p（j）+P（fiUc）=-

■

所以P（AUCMU3UC）=±.

三、解答牌:17~22小题，共加分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（17）（本题满分10分）

设函数乎卜）是微分方程+满足条件y（））=3的解，求两战y=y（x）的渐

2\x

近线.

［解析】

jl乩.（1濡-___

火灯=/2小卜2+石冒茄dx+C=夕a［J（2+4）£5出+0］二?&（加忑+，：）

一—

=2x+a?T"其中。为任意常数，又MD=3,则C=e,故y（x）=2x+¥7工

v)犬主£-Jx

lim^=lim------------=2,b=lim(y-2x)=limeK^r=O,贝]y二2人为曲线y=乎(刈的

XK-2XX->+ocK-K

斜渐近线.

(18)(本题满分12分)

已知平面区域D={(二,)|v-2<^<V4-.r.0<,v<2；,计算/="("：心如

(解析]/=JJI；dxify=j2(c(w0-sindoRjdr+J：(cos/?-sin"d叱•<8。汨/

Dx+y2

=2^(]-2sincos9)d0+2dO-2(^-sin?9*+笈=2(^-1)+^=2^-2.

(19)(本题满分12分)

已知£为曲面4工？+y+z?=l[x>0.>>0.z>0)的卜侧.Z为Z的边界曲线,其正向与Z的

止法向吊满足右手法则，计算曲线枳分

/=j(jxz:-coszJcZv+2皿：心，+(2町北十工$汕2)出.

【解析】由斯托克斯公式/=J(〉N'-COSZ)小十2人？-力+(2砂Txsine)应

■8

22年硕士研究生入学考研数学一真题

dvdzdzdxdxch：

J•r

aa

jj一x2zdyd二+二]dxcfy

不

E

Jvr2-cos-2E2xi二+xsin-

JJ|_2jvJ]_4/_y2+]_41二一产四苗,

Jjl-12/一j.2dMi=£—]J]2x2+y2M

令X=2xJ=匕趾式化为

2:

---ffSY+r^\w=--i3rcos^+rsiirOd0=O.

°乙.“Wimzu0乙

201本网满分12分)

设函数/(》)在(F,+8)内只有2阶连续步数.证明：20的充分必要条件是：对不同实

数a,b,/(£±^)^―!—C/(xk&.

2卜一。」“

I解析】必耍卷令F(x)=(工—。)/(管)-[f⑺丸产⑷=0，

/⑴=/(审)+3・4)“彳>f(x)=；(¥-〃)/,(—)-1/(r)-/(审)

NL乙乙—乙一

2*>22L*•」4•

I月为/・(x)20n/'a)单科说增=F'(x)W0=F(x)单胆通战，F(b)£F(G=0,4不等式成

立：

充分性：(反证法〉假设3Ao，使褥/"(凡)<0，山./"(X)的范续性以及极限的同部保号性可得；

我的小邻域(j4)使得CMv0.时FVx£(cM,从而-CM>5

令。(幻=1/⑺M-(x-c)八一)，G(c)=0,

.

G(r)二〃/"⑷)一八\^),其中”

=(a-e)(ij-^-Yf*(/)<0,共中丁亡.77).

——‘

9■

22年硕士研究生入学考研数学一真题

故仅工）单调递减，所以G'm）v（j（c）=On」一「〃力c〃v/（士1，这个与题设条件

d-c2

〃小）4—!—「“*皿矛盾,故对于版x,有f”（x）NO,证毕.

28一小

（21）（本题满分12分）

aA

已知一次型/（工”三，心）=ZZ>j/・

i-lj=l

（1）写出/（』,上,XJ对应的矩防：

⑵求止交变换X=0将/（X,m,.0）化为标准形；

⑶求/住1，三.々）二0的胞

33

【解析】（1）二次型/（3,巧,=办'=*：+4工；+9工：+4*6+6为工3+12可工，

，工।

j23'

则二次生矩阵为A=246.

136刃

Z-1-2-3

（2）\AE-A\=-2A-4-6=*（4-14）=0,特征值为4=14,4=4=0.

-36"9

4=14时,—力卜=0的息咄解系为因=（1,2.3）‘：

/=4=0时.由（久我一力）工=0的域础解系为%=（一210）‘，?=（-3,—6,5）1

%,%，%已经正交，将它们单位化得到

幺=2（123）/,4=312.1.0），氏二」（一3,-6.5），

，令正交矩阵0=（方.旦.左）,

x/5弋70

弃过正交变换x=Qy,二次鞭化为/（M，）wJ=I4y；.

⑶/（不芍，-）=°时，则/（+%，%）=1"；=0故必=0.

22年硕士研究生入学考研数学一真题

1赤

2

则

6

6必

=%一

《占

所以

.

实数

任意

尤为

y＞

2

J

Z

3

二5%

、七

0

VM

）

17分

淌分

（本题

（〃）

为

均值

乐门

，匕为

九…

本.小

机样

单随

的简

总体