高考数学第1部分重点强化专题专题3概率与统计第7讲回归分析独立性检验教学案理

第7讲回归剖析、独立性查验题型1回归剖析(对应学生用书第23页)■核心知识贮备·1．变量的有关性正有关：在散点图中，点分布在从左下角到右上角的地区．负有关：在散点图中，点分布在从左上角到右下角的地区．(3)有关系数r：当r>0时，两变量正有关；当r<0时，两变量负有关；当|r|≤1且|r|越靠近于1，有关程度越高，当|r|≤1且|r|越靠近于0，有关程度越低．2．线性回归方程n－－xiyi－nxy^^^^i＝1^－^－－－方程y＝bx＋a称为线性回归方程，此中b＝n，a＝y－bx.(x，y)称为2－nx2xii＝1样本中心点．■典题试解寻法·【典题】(2015·全国Ⅰ卷)某企业为确立下一年度投入某种产品的宣传费，需认识年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年收益z(单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1,2，，8)数据作了初步办理，获取下边的散点图及一些统计量的值．图7-1表中wi＝xi，w]＝.(1)依据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋dx哪一个适合作为年销售量y对于年宣传费x的回归方程种类？(给出判断即可，不用说明原因)(2)依据(1)的判断结果及表中数据，成立y对于x的回归方程；(3)已知这类产品的年收益z与，y的关系为z＝0.2y－.依据(2)的结果回答以下xx问题：①年宣传费x＝49时，年销售量及年收益的预告值是多少？②年宣传费x为什么值时，年收益的预告值最大？【导学号：07804047】附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，，(un，vn)，其回归直线v＝α＋βu的斜率^^和截距的最小二乘预计分别为，α＝v－βu.[解](1)由散点图能够判断，y＝c＋dx适合作为年销售量y对于年宣传费x的回归方程种类．(2)令w＝x，先成立y对于w的线性回归方程．8w－wy－y^iii＝1108.8因为d＝8＝1.6＝68，2wi－wi＝1^^c＝y－dw＝563－68×6.8＝100.6，所以y对于w的线性回归方程为^y＝100.6＋68w，^所以y对于x的回归方程为y＝100.6＋68x.①由(2)知，当x＝49时，^年销售量y的预告值y＝100.6＋6849＝576.6，^年收益z的预告值z＝576.6×0.2－49＝66.32.②依据(2)的结果知，年收益z的预告值^x)－x＝－x＋13.6x＋20.12.z＝0.2(100.6＋68^所以当x＝13.6＝6.8，即x＝46.24时，z获得最大值．2故年宣传费为46.24千元时，年收益的预告值最大．[类题通法]求线性回归方程的步骤：■对点即时训练·某品牌2017款汽车马上上市，为了对这款汽车进行合理订价，某企业在某市五家4S店分别进行了两天试销售，获取以下数据：4S店甲乙丙丁戊单价x/18.7万元销量y/88788575826682788076辆分别以五家4S店的均匀单价与均匀销量为散点，求出单价与销量的回归直线方程^^^y＝bx＋a；(2)在大批投入市场后，销量与单价仍听从(1)中的关系，且该款汽车的成本为12万元/辆，为使该款汽车获取最大收益，则该款汽车的单价约为多少万元(保存一位小数)?n^∑xi－xyi－y^^i＝1，a＝y－bx.附：b＝n∑xi－x2i＝1[解](1)五家4S店的均匀单价和均匀销量分别为(18.3,83)，(18.5,80)，(18.7,74)，(18.4,80)，(18.6,78)，18.3＋18.5＋18.7＋18.4＋18.6∴x＝5＝18.5，83＋80＋74＋80＋78y＝5＝79，^－0.2×4＋0×1＋0.2×－5＋－0.1×1＋0.1×－1－2∴b＝＝－20.0.04＋0＋0.04＋0.01＋0.01＝0.1^^a＝y－bx＝79－(－20)×18.5＝79＋370＝449，^y＝－20x＋449.设该款汽车的单价应为x万元，设收益f(x)＝(x－12)(－20x＋449)＝－20x2＋689x－5388，f′(x)＝－40x＋689，令－40x＋689＝0，解得x≈17.2，故当x≈17.2时，f(x)获得最大值．∴要使该款汽车获取最大收益，该款汽车的单价约为17.2万元．■题型加强集训·(见专题限时集训T1、T3、T5、T6、T7、T9、T10、T11、T12、T14)题型2独立性查验(对应学生用书第24页)■核心知识贮备·独立性查验的步骤确立分类变量，获取样本频数，获取列联表．(2)求观察值：k＝nad－bc2.c＋da＋ca＋bb＋d依据临界值表，作出正确判断．假如k≥kα，就推测“X与Y有关系”，这类推测出错误的概率不超出α，不然就以为在出错误的概率不超出α的前提下不可以推测“X与Y有关系”．■典题试解寻法·【典题】(2017·郑州第一次质量展望)人机大战也引起全民对围棋的关注，某学校社团为检查学生学习围棋的状况，随机抽取了100名学生进行检查．依据检查结果绘制的学生日均学习围棋时间的频次分布直方图如图7-2所示，将日均学习围棋时间不低于40分钟的学生称为“围棋迷”．图7-2(1)依据已知条件达成下边的列联表，并据此资料判断能否有95%的掌握以为“围棋迷”与性别有关？非围棋迷围棋迷共计男女1055共计将上述检查所获取的频次视为概率．此刻从该地域大批学生中，采纳随机抽样方法每次抽取1名学生，抽取3次，记被抽取的3名学生中的“围棋迷”人数为.若X每次抽取的结果是互相独立的，求X的分布列，希望( )和方差( )．EXDX2nad－bc2b＋d，此中n＝a＋b＋c＋d.附：K＝a＋bc＋da＋c(2≥k0)0.050.01PKk03.8416.635信息提取K2计算[思路剖析](1)频次分布直方图――→2×2列联表――→下结论；概率模型求分布列(2)频次计算――→二项分布――→计算E(X)、D(X)．[解](1)由频次分布直方图可知，在抽取的100人中，“围棋迷”有25人，进而2×2列联表以下：非围棋迷围棋迷共计男301545女451055共计7525100将2×2列联表中的数据代入公式计算，得nad－bc2100×30×10－15×4522K＝a＋bc＋da＋cb＋d＝45×55×75×25100＝≈3.030，33因为3.030＜3.841，所以没有95%的掌握以为“围棋迷”与性别有关．(2)由频次分布直方图知抽到“围棋迷”的频次为0.25，将频次视为概率，即从该地11区学生中抽取一名“围棋迷”的概率为4.由题意知，X～B3，，进而X的分布列为4X0123P2727916464646413139( )＝3×＝，()＝3××＝.416444[类题通法]独立性查验的方法(1)在2×2列联表中，假如两个变量没有关系，则应知足ad－bc≈0.|ad－bc|越小，说明两个变量之间关系越弱；|ad－bc|越大，说明两个变量之间关系越强．解决独立性查验的应用问题，必定要依据独立性查验的步骤进行求解．■对点即时训练·某课题组对全班45名同学的饮食习惯进行了一次检查，并用如图7-3所示的茎叶图表示45名同学的饮食指数．说明：饮食指数低于70的人被以为喜食蔬菜，饮食指数不低于70的人被以为喜食肉类．图7-3依据茎叶图，达成下边2×2列联表，并判断能否有90%的掌握以为“喜食蔬菜仍是喜食肉类与性别有关”，说明原因；喜食蔬菜喜食肉类共计男同学女同学共计(2)用分层抽样的方法依据喜食蔬菜、

喜食肉类从全班同学中随机抽取

15名同学进行进一步检查，记抽到的喜食肉类的女同学的人数为

ξ，求

ξ

的分布列和数学希望E(ξ).【导学号：07804048】2nad－bc2.附：K＝c＋da＋ca＋bb＋dP(K2≥k0)0.100.050.01k02.7063.8416.635[解](1)依据茎叶图，达成的2×2列联表以下：喜食蔬菜喜食肉类共计男同学19625女同学17320共计369452计算得K2＝45×19×3－6×17＝0.5625＜2.706，36×9×20×25比较临界值得出，没有90%的掌握以为“喜食蔬菜仍是喜食肉类与性别有关”．15(2)因为从喜食肉类的同学中抽取的人数为9×45＝3，所以ξ的可能取值有0,1,2,3.35C6P(ξ＝0)＝3＝，C9212115C6C3＝，P(ξ＝1)＝328C9123P(ξ＝2)＝C6C3＝，314C931C33＝84.P(ξ＝3)＝C9所以ξ的分布列为ξ0123P5153121281484所以ξ的数学希望E(ξ)＝0×5＋1×15＋2×3＋3×1＝1.21281484■题型加强集训·(见专题限时集训T2、T4、T8、T13)1．(2015·全国Ⅱ卷

)依据下边给出的

三年真题|查光复习成效(对应学生用书第26页)2004年至2013年我国二氧化硫年排放量

(单位：万吨)柱形图，以下结论中不正确的选项是( )图7-4A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的成效最明显B．2007年我国治理二氧化硫排放展现收效C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋向D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正有关D[对于A选项，由图知从2007年到2008年二氧化硫排放量降落得最多，故A正确．对于B选项，由图知，由2006年到2007年矩形高度显然降落，所以B正确．对于C选项，由图知从2006年此后除2011年稍有上涨外，其他年份都是逐年降落的，所以C正确．由图知2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份负有关，应选D.]2．(2016·全国Ⅲ卷)如图7-5所示，是我国2008年至2014年生活垃圾无害化办理量(单位：亿吨)的折线图．图

7-5注：年份代码1－7分别对应年份2008－2014.(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用有关系数加以说明；成立y对于t的回归方程(系数精准到0.01)，展望2016年我国生活垃圾无害化办理量.【导学号：07804049】参照数据：yi＝9.32，tiyi＝40.17，＝0.55，7≈2.646.r^^^参照公式：有关系数＝，回归方程y＝a＋b中斜率和t截距的最小二乘预计公式分别为

^b＝

^－^，a＝y－b

t

.[解](1)由折线图中的数据和附注中的参照数据得t

＝4，

(

ti－

t

)

2＝28，

＝0.55，(

ti－

t

)(

yi－

y

)＝

tiyi－

t

yi＝40.17－4×9.32＝

2.89，2.89所以r≈0.55×2×2.646≈0.99.因为y与t的有关系数近似为0.99，说明y与t的线性有关程度相当大，进而能够用线性回归模型拟合y与t的关系．(2)由y＝9.327≈1.331及(1)得^2.89b＝＝28≈0.103.^^a＝y－bt≈1.331－0.103×4≈0.92.^所以y对于t的回归方程为y＝0.92＋0.10t.^将2016年对应的t＝9代入回归方程得y＝0.92＋0.10×9＝1.82.所以展望2016年我国生活垃圾无害化办理量约为1.82亿吨．3．(2017·全国Ⅱ卷)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对照，收获时各随机抽取了100个网箱，丈量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频次分布直方图如7-6所示：图7-6(1)设两种养殖方法的箱产量互相独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg”，预计A的概率；(2)填写下边列联表，并依据列联表判断能否有99%的掌握以为箱产量与养殖方法有关；箱产量＜50kg箱产量≥50kg旧养殖法新养殖法(3)依据箱产量的频次分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的预计值(精准到0.01)．附：nad－bc2K2＝a＋bb＋d.c＋da＋c[解](1)记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg”．由题意知P(A)＝P(BC)＝P(B)P(C)．旧养殖法的箱产量低于50kg的频次为(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62，故P(B)的预计值为0.62.新养殖法的箱产量不低于50kg的频次为(0.068＋0.046＋0.010＋0.008)×5＝0.66，故P(C)的预计值为0.66.所以，事件A的概率预计值为0.62×0.66＝0.4092.依据箱产量的频次分布直方图得列联表箱产量＜50