北师大版选择性必修第一册6.3.1离散型随机变量的均值作业

§3离散型随机变量的均值与方差3.1离散型随机变量的均值选题明细表知识点、方法题号离散型随机变量的均值1离散型随机变量均值的简单应用2,3,7,9离散型随机变量的均值的综合应用4,5,6,8,10,11,12基础巩固1.设随机变量X的分布列如表,X012P1a3则EX的值为(C)A.910 B.710 C.11解析:由题意知a=1-15-310=所以EX=0×15+1×12+2×3102.已知随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=13A.6 B.8 C.3 D.4解析:随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=13,k=0,1,2,可得Eξ=(0+1+2)×13.已知随机变量X的取值为1,2,3,若P(X=1)=13A.13 B.12 C.23 解析:设P(X=2)=p,P(X=3)=q,因为随机变量X的取值为1,2,3,P(X=1)=13所以1解得p=13,q=14.有10张卡片,其中8张标有数字2,2张标有数字5,从中任意抽出3张卡片,设3张卡片上的数字之和为X,则X的数学期望是(A)A.7.8 B.8 C.16 D.15.6解析:X的可能取值为6,9,12,且P(X=6)=C83C103=7P(X=12)=C81·EX=6×715+9×715+12×5.一个盒子中有红、绿颜色的小球各2个,黄色小球1个,这5个小球除颜色不同,其他完全相同,每次从中取出一个,取出后不放回,当取出第二种颜色时即停止.设停止取球时,取球的次数为ξ,则P(ξ=2)=,Eξ=.?解析:由题可知ξ的所有可能取值为2,3,P(ξ=2)=15+25×34×P(ξ=3)=25×14×2=则Eξ=45×2+15×3=答案:456.(2021·浙江杭州月考)某线上平台新开通一项“争上游答题”栏目,其规则是比赛两局,首局胜利积3分,第二局胜利积2分,失败均积1分,某人每局比赛胜利的概率为14,设他参加一次答题活动得分为ξ,则Eξ=解析:根据题意,某人参加一次答题活动得分为ξ,则ξ可取的值为2,3,4,5,若ξ=2,即他两局都失败了,则P(ξ=2)=(1-14)×(1-14)=若ξ=3,即他第一局失败了,而第二局胜利,则P(ξ=3)=(1-14)×14=若ξ=4,即他第一局胜利,而第二局失败,则P(ξ=4)=14×(1-14)=若ξ=5,即他两局都胜利了,则P(ξ=5)=14×14=故Eξ=2×916+3×316+4×316+5×116=答案:11能力提升7.(多选题)(2021·湖北孝感高二期末)某校招生考试科目中,数学引入多选题后增加了区分度,突出了选拔性.四个选项中有多个选项符合题目要求.全部选对得5分,有选错的得0分,部分选对得2分.若选项中有i(i=2,3,4)个选项是符合题目要求的.随机作答该题时(至少选择一个选项)所得的分数为随机变量ξi(i=2,3,4),则有(ABC)A.Eξ2=3B.Eξ3=17C.2Eξ2+Eξ4=3Eξ3D.Eξ2+2Eξ4<3Eξ3解析:由于随机作答,故各选项被选中的概率相同,故选一项的可能为C41=4,选两项的可能为C42=6,选三项的可能为C43=4,选四项的可能为C44=1,共有15种可能.当i=2时,即选项中有两项符合题目要求,则Eξ2=C2115×2+C2215×5=35,故A正确;当i=3时,Eξ3=C31+C3215×2+C3315×5=178.(多选题)设0<p<1,随机变量ξ的分布列如下,则下列结论正确的有(BC)ξ012Pp-p2p21-pA.Eξ随着p的增大而增大B.Eξ随着p的增大而减小C.P(ξ=0)<P(ξ=2)D.P(ξ=2)的值最大解析:因为Eξ=p2+2-2p=(p-1)2+1,0<p<1,所以Eξ随着p的增大而减小,故A错误,B正确;因为0<p<1,所以P(ξ=0)-P(ξ=2)=p-p2-1+p=-p2+2p-1<0,所以P(ξ=0)<P(ξ=2),故C正确;因为0<p<1,所以当-1+52故当-1+9.(2021·浙江丽水期末)一质点从△ABC的顶点A出发,每次随机沿一条边运动至另一个顶点时终止,则质点3次运动结束后恰好位于顶点A的概率P=,记质点4次运动过程中经过顶点B(包括第4次运动结束)的次数是X,则EX=.?解析:由题意可知,质点3次运动,共有2×2×2=8种情况,其中质点3次运动结束后恰好位于顶点A,有A→C→B→A,A→B→C→A,2种情况,所以质点3次运动结束后恰好位于顶点A的概率P=28=1记质点4次运动过程中经过顶点B(包括第4次运动结束)的次数是X,X的所有可能取值为0,1,2.质点4次运动,共有2×2×2×2=16种情况,当X=0时,A→C→A→C→A,共有1种情况,故P(X=0)=116当X=1时,A→B→A→C→A,A→B→C→A→C,A→C→A→B→A,A→C→A→B→C,A→C→A→C→B,A→C→B→A→C,A→C→B→C→A,共有7种情况,故P(X=1)=716,故P(X=2)=1-116-716所以X的分布列为X012P171EX=0×116+1×716+2×12答案:1410.某人计划到某城市出差,准备随机选择7月1日至7月13日中的一天到达该市,并停留3天.他查询了该城市7月1日至15日的天气预报(假设天气预报是准确的),如表所示.日期天气最高气温(℃)1日多云292日晴323日多云334日小雨335日中雨286日小雨297日晴318日多云349日阴3510日多云3411日小雨3212日阴3013日大雨2714日小雨2915日晴35(1)求此人到达当日最高气温低于30℃的概率;(2)设此人停留期间下雨的天数为X,求X的分布列和数学期望.解:(1)设事件Ai表示“此人于7月i日到达该市”(i=1,2,…,13).根据题意,P(Ai)=113,且Ai∩Aj=(i≠j,且i,j=1,2,…,13),设事件B为“此人到达当日最高气温低于30℃”,则B=A1∪A5∪A6∪A13,所以P(B)=P(A1∪A5∪A6∪A13)=413(2)由题意可知,X的所有可能取值为0,1,2,3,且P(X=0)=P(A1∪A7∪A8)=313P(X=1)=P(A2∪A6∪A9∪A10)=413P(X=2)=P(A3∪A5∪A11∪A12∪A13)=513P(X=3)=P(A4)=113所以X的分布列为X0123P3451故X的期望EX=0×313+1×413+2×513+3×111.某厂接受了一项加工业务,加工出来的产品(单位:件)按标准分为A,B,C,D四个等级.厂家按等级每件分别收取加工费(单位:元)如表:等级ABCD加工费/(元/件)905020-50该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件,乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务,在两个分厂各试加工了100件这种产品,并统计了这些产品的等级,整理得到如图.(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率;(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润,以平均利润为依据,厂家应选哪个分厂承接加工业务?解:(1)由题图可得,甲分厂加工出来的产品为A级品的频数为40,故频率为40100乙分厂加工出来的产品为A级品的频数为28,故频率为28100故甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率估计值分别是0.4,0.28.(2)由题图可知甲分厂加工四个等级品的频率分别为0.4,0.2,0.2,0.2,故其平均利润为(90-25)×0.4+(50-25)×0.2+(20-25)×0.2+(-50-25)×0.2=15(元/件);同理,乙分厂加工四个等级品的频率分别为0.28,0.17,0.34,0.21,故其平均利润为(90-20)×0.28+(50-20)×0.17+(20-20)×0.34+(-50-20)×0.21=10(元/件).因为15>10,所以厂家应选择甲分厂承接加工业务.应用创新12.(2021·湖南郴州月考)某蔬菜种植基地有一批蔬菜需要两天内采摘完毕,天气预报显示这两天每天是否有雨相互独立,无雨的概率都为0.8.现有两种方案可以选择:方案一:基地人员自己采摘,不额外聘请工人,需要两天完成,两天都无雨收益为2万元,只有一天有雨收益为1万元,两天都有雨收益为0.75万元.方案二:基地额外聘请工人,只要一天就可以完成采摘.当天无雨收益为2万元,有雨收益为1万元,额外聘请工人的成本为a万元.问:(1)若不额外聘请工人,写出基地收益X的分布列及基地的预期收益;(2)该基地是否应该外聘工人?请说明理由.解:(1)基地收益X的可能值为2,1,0.75,P(X=2)=0.8×0.8=0.64,P(X=1)=C21×0.8P(X=0.75)=0.2×0.2=0.04.所以X的分布列为X210.75P0.640.320.04则基地的