2023中考数学复习资料（全国通用）分项专题21 三角形中位线定理的应用（练透）-【讲通练透】中考数学一轮（全国通用）（教师版）

专题21三角形中位线定理的应用一、单选题1．如图，在△ABC中，E，F分别为AC，BC中点，若AB＝6，BC＝7，AC＝8，则EF＝（）A．3 B．3.5 C．4 D．4.5【答案】A【分析】根据三角形中位线定理解答即可．【详解】解：∵E，F分别为AC，BC中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF＝AB＝×6＝3，故选：A．2．（2022·辽宁抚顺·九年级开学考试）如图，在中，、分别为、的中点，平分，交于点，若，则的长为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据三角形中位线定理得到，进而证明，根据角平分线的定义、等腰三角形的判定定理解答即可．【详解】解：∵、分别为、的中点，∴，，∴，∵平分，∴，∴，∴，故选：B．3．（2022·重庆市天星桥中学九年级开学考试）如图，在▱ABCD中，AC与BD相交与O点，E为AD的中点，连接OE．若OE=2，则CD的长度为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】首先根据平行四边形的性质可得AO=CO，再根据三角形的中位线定理可得EO=CD，进而可得答案．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，∵点E是边CD的中点，∴EO=CD，∵OE=2，∴CD=2OE=4，故选：D．4．（2022·合肥市五十中学东校九年级）如图，G是△ABC的中位线MN的中点，CG的延长线交AB于点F，则AF：FB等于（）A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．3：4【答案】A【分析】由得出的值，再由为的中点，即可求得．【详解】MN是△ABC的中位线,,G是MN的中点即又即：AF：FB．故选A．5．（2022·广西梧州·）如图，在Rt△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，AC＝8，BC＝6，则四边形CEDF的面积是（）A．6 B．12 C．24 D．48【答案】B【分析】利用三角形的中位线定理，先证明四边形是矩形，再利用矩形的面积公式进行计算即可.【详解】解：点D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，AC＝8，BC＝6，四边形是平行四边形，四边形是矩形，故选：6．（2022·河南）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12．若D，E分别为边AC，BC的中点，则DE的长为（）A．5 B．5.5 C．6 D．6.5【答案】D【分析】利用勾股定理求出AB，再利用三角形的中位线定理求出DE即可．【详解】解：∵∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，∴AB＝＝＝13，∵AD＝DC，CE＝EB，∴DE＝AB＝6.5，故选：D．7．（2022·江苏省锡山高级中学实验学校九年级期中）如图，在△ABC中，点E是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，EF∥AD，若AB＝7，AC＝11，则FC的长为（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】设点N是AC的中点，连接EN，构造△ABC的中位线．根据三角形的中位线定理，得EN∥AB，ENAB；根据平行线的性质和等腰三角形的判定，得FN＝EN，从而求解．【详解】解：如图，设点N是AC的中点，连接EN，则EN∥AB，ENAB，∴∠CNE＝∠BAC．∵EF∥AD，∴∠DAC＝∠EFN．∵AD是∠BAC的平分线，∠CNE＝∠EFN+∠FEN，∴∠EFN＝∠FEN．∴FN＝ENAB，∴FC＝FN+NCABAC＝9．故选：C．8．（2022·山东）如图，在△ABC中，BC＝4，将△ABC平移7个单位长度得到△A1B1C1，点P、Q分别是AB、A1C1的中点，PQ的最小值等于（）A．9 B．4 C．2 D．5【答案】D【分析】取A1B1的中点P′，连接QP′、PP′，如图，根据平移的性质得到PP′＝7，B1C1＝BC＝4，再利用P′Q为△A1B1C1的中位线得到P′Q=2，利用三角形三边的关系得到

∴PP′﹣P′Q≤PQ≤PP′+P′Q（当且仅当P、P′、Q三点共线时取等号），从而得到PQ的最小值．【详解】解：取A1B1的中点P′，连接QP′、PP′，如图，∵△ABC平移7个单位长度得到△A1B1C1，∴PP′＝7，B1C1＝BC＝4，∵Q是A1C1的中点，P′为A1B1的中点，∴P′Q为△A1B1C1的中位线，∴P′Q＝B1C1＝2，∴PP′﹣P′Q≤PQ≤PP′+P′Q（当且仅当P、P′、Q三点共线时取等号），即7﹣2≤PQ≤7+2，∴PQ的最小值为5．故选：D．9．（2020·渝中·重庆巴蜀中学）已知中，点为斜边的中点，连接，将沿直线翻折，使点落在点的位置，连接、、，交于点，若，，则的值为（）．A． B． C． D．【答案】B【分析】过点D作DM⊥BC，DN⊥AE，垂足为M、N，连接BE交CD于点G，由折叠得CD是BE的中垂线，借助三角形的面积公式，可以求出BG，进而求出BE，由等腰三角形的性质，可得DN是三角形的中位线，得到DN等于BE的一半，求出DN，在根据勾股定理，求出AN，进而求出AE．【详解】解：过点D作DM⊥BC，DN⊥AE，垂足为M、N，连接BE交CD于点G，∵Rt△ACB中，AB=，∵点D为斜边AB的中点，∴CD=AD=BD=AB=10，在△DBC中，DC=DB，DM⊥BC，∴MB=MC=BC=6，∴DM=，由折叠得，CD垂直平分BE，∠BDC=∠EDC，在△ADE中，DA=DE，DN⊥AE，∴AN=NE=AE，∴DN是△ABE的中位线，∴DN∥BE，DN=BE，在△DBC中，由三角形的面积公式得：BC•DM=DC•BG，即：12×8=10×BG，∴BG==DN，在Rt△ADN中，AN=，∴AE=2AN=，故选：B．10．（2022·江苏扬州市·）如图，已知点D是的边AC的中点，点O为内部上的一点，已知，，，则AB的最小值为（）A．2.5 B．3 C．3.5 D．4【答案】B【分析】由BC=5，可得点B在以点C为圆心以5为半径的圆上运动，由D是的边AC的中点，，可得点O在以点D为圆心，以1为半径的圆上运动，由，取AB中点为E，以点E为圆心AB为直径的圆与半圆D的交点为O，连结OE，当点D、O、E三点在一直线上时，AB最短，可证ED为△ABC的中位线，可求DE=，求出OE=DE-OD=1.5即可．【详解】解：∵BC=5，∴点B在以点C为圆心以5为半径的圆上运动，∵D是的边AC的中点，，∴点O在以点D为圆心，以1为半径的圆上运动，∵，取AB中点为E，以点E为圆心AB为直径的圆与半圆D的交点为O，连结OE，当点D、O、E三点在一直线上时，AB最短，∵AD=CD，AE=BE，∴ED为△ABC的中位线，∴DE=，∵OD=1，∴OE=DE-OD=2.5-1=1.5，∴AB=2OE=3．故选择：B．二、填空题11．（2022·常德市第十一中学）D、E、F分别是△ABC三条边的中点，则S△DCF：S△ABC＝___．【答案】【分析】根据中位线定理得到平行线，判定平行四边形，根据平行四边形的性质求解．【详解】解：∵D、E、F分别是△ABC三边的中点，∴EF∥BC，DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF，四边形CDEF，四边形BDFE是平行四边形，∴△AEF，△BED，△DEF和△CDF的面积相等，∴S△DCF：S△ABC＝，故答案为：．12．（2022·西城·北京八中）如图，，两点被池塘隔开，在外选一点，连接和．分别取，的中点，，测得，两点间的距离为，则、两点间的距离为__________．【答案】60【分析】根据三角形中位线定理解答即可．【详解】解：∵点D，E分别为AC，BC的中点，∴DE是ABC的中位线，∴AB＝2DE，∵DE＝30m，∴AB＝60m，故答案为：60．13．（2022·东莞市东华初级中学）如图，在中，平分，，垂足为，为的中点．若，，则的长为_______________________．【答案】【分析】如图，延长CD交AB于F，再证明△BDC≌△BDF，根据全等三角形的性质可得BF=BC=6，CD=DF，然后可求出AF，最后根据三角形中位线定理计算即可．【详解】解：如图：延长CD交AB于F在△BDC和△BDF中∴△BDC≌△BDF（ASA）∴BF=BC=6，CD=DF∴AF=AB-BF=4.∵CD=DF，CE=EA∴DE=AF=2．故填2．14．（2022·湖南九年级期末）如图，相交于点，∥，是∆的中位线，且，则的长为_____．【答案】【分析】由三角形中位线性质得出DB=2EF=8，再证明，根据相似三角形的性质可求得结论．【详解】解：∵是∆的中位线，且，∴DB=2EF=8，∵AC//BD∴∴又CO=6，DO=10，BD=8∴∴故答案为：15．（2022·福建厦门双十中学思明分校九年级期末）如图，ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E是AC中点，若DE＝3，则AB的长为_____．【答案】6【分析】根据垂线的性质推知△ADC是直角三角形；然后在直角三角形ADC中，利用直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，求得AC=6；最后由等腰三角形ABC的两腰AB=AC，求得AB=6．【详解】解：∵在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∴△ADC是直角三角形；∵E是AC的中点．∴DE=AC（直角三角形的斜边上的中线是斜边的一半），又∵DE=3，AB=AC，∴AB=6，故答案为：6．三、解答题16．（2022·上海九年级专题练习）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，延长BA到点D，使AD＝AB，点E、F分别为边BC、AC的中点．（1）求证：DF＝BE；（2）过点A作AGBC，交DF于点G，求证：AG＝DG．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）过点F作FH∥BC，交AB于点H，则四边形HBEF是平行四边形，有HF＝BE，证得AC是HD的中垂线后得到HF＝FD，故问题得证；（2）由于四边形DBEF是等腰梯形，有∠B＝∠D，而AG∥BC有∠B＝∠DAG，故有∠D＝∠DAG，然后问题可得解．【详解】证明：（1）如图，过点F作FH∥BC，交AB于点H，∵FH∥BC，点F是AC的中点，点E是BC的中点，∴AH＝BH＝AB，EF∥AB．∵AD＝AB，∴AD＝AH．∵CA⊥AB，∴CA是DH的中垂线．∴DF＝FH．∵FH∥BC，EF∥AB，∴四边形HFEB是平行四边形．∴FH＝BE．∴BE＝FD．（2）由（1）知BE＝FD，又∵EF∥AD，∵EF＜BD，∴四边形DBEF是等腰梯形．∴∠B＝∠D．∵AG∥BC，∠B＝∠DAG，∴∠D＝∠DAG．∴AG＝DG．17．（2020·黑龙江大庆市·）如图，等边三角形的边长是2，，分别为，的中点，延长至点，使，连接，，．（1）求证：；（2）求的长．【答案】（1）见解析；（2）．【分析】（1）根据三角形中位线的性质解得，结合已知条件即可解题；（2）由等边三角形三线合一的性质，可得，在中，由勾股定理解得，继而由（1）中结论，证明四边形是平行四边形，由平行四边形的对应边相等解题即可．【详解】（1）在等边三角形中，，分别为，的中点，，；（2）在等边三角形中，为的中点，在中，四边形是平行四边形，．18．（2022·河南九年级期末）如图，在中，，，、分别是其角平分线和中线，过点C作于点F，交于点G，连接，求线段的长．【答案】2cm【分析】首先证明△AGF≌△ACF，则AG=AC=4，GF=CF，证明EF是△BCG的中位线，利用三角形的中位线定理即可求解．【详解】解：在和中，，∴，∴，∴，则（）．又∵，∴是的中位线，∴．答：的长为．19．（2022·安徽）如图，已知四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB、CD、AC、BD的中点，并且点E、F、G、H不在同一条直线上．求证：EF和GH互相平分．【答案】见解析【分析】连接EG、GF、FH、HE，根据三角形的中位线的性质，得出EG=HF，EH=GF，然后根据平行四边形的判定：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，证明即可【详解】证明：连接EG、GF、FH、HE，点E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点．在△ABC中，EG=BC；在△DBC中，HF=BC，∴EG=HF．同理EH=GF．∴四边形EGFH为平行四边形．∴EF与GH互相平分20．（2022·浙江绍兴市·）如图，在△ABC中，∠A＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E．（1）若∠B＝40°，求∠CDE的度数．（2）若DE＝4，试添加一个条件，并求出BC的长度．【答案】（1）∠CDE=25°；（2）添加的条件为DE是△ABC的中位线，．【分析】（1）由题意易得∠BCD=∠ACD，∠ACB=50°，则有∠BCD=∠CDE，进而问题可求解；（2）根据题意可添加DE是△ABC的中位线这个条件，然后问题可求解．【详解】解：（1）∵CD平分∠ACB交AB于点D，∴∠BCD=∠ACD，∵∠A＝90°，∠B＝40°，∴∠ACB=50°，∴∠BCD=∠ACD=25°，∵DE∥BC，∴∠BCD=∠CDE=25°；（2）添加的条件DE是△ABC的中位线，∵DE＝4，∴．21．（2022·安庆市第四中学九年级期中）三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心．如图G是的重心．（1）求证：；（2）若的面积是1，求的面积．【答案】（1）见解析；（2）6．【分析】（1）连接DE，则DE是△ABC的中位线，从而可得DE∥AC且AC=2DE，即可得△DEG∽△ACG，即可求得AG=2DG，从而可得结论；（2）利用底高的两个三角形面积比等于底的边、三角形中线平分三角形面积的性质即可求得结果．【详解】如图，连接DE∵AD、CE是△ABC的中线∴DE是△ABC的中位线∴DE∥AC且AC=2DE∴△DEG∽△ACG∴∴AG=2DG∴AD=AG+DG=3DG（2）∵△ACG、△DCG的底边AG、DG上的高相等∴∵∴∴∵AD是△ABC的边BC上的中线∴∴即△ABC的面积为622．（2022·全国九年级课时练习）如图，中，D为边的中点，延长至E，延长交于P，若，求证：．【答案】见详解【分析】过点B作BF∥AE交PC于点F，可证DE为△BFC的中位线，进而可得到B