2023年高考数学压轴题-圆锥曲线专题第07讲：轨迹问题（解析版）

第七讲：轨迹方程【学习目标】基础目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的简单定义，及简单的几何性质；应用目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的几何性质，并能够熟练利用直译法和相关点法求解轨迹方程；拓展目标：能够熟练应用椭圆，双曲线，抛物线的定义，并数形结合找到动点的轨迹形式，通过定义求解动点的轨迹方程.素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能力，提升学生的数学运算和数学抽象的核心素养.【基础知识】1、曲线方程的定义一般地，如果曲线与方程之间有以下两个关系：①曲线上的点的坐标都是方程的解；②以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．此时，把方程叫做曲线的方程，曲线叫做方程的曲线．2、求曲线方程的一般步骤：（1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）；（2）设曲线上任意一点的坐标为；（3）根据曲线上点所适合的条件写出等式；（4）用坐标表示这个等式，并化简；（5）确定化简后的式子中点的范围．上述五个步骤可简记为：求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围．3、求轨迹方程的方法：（1）直译法：如果动点的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点所满足的几何上的等量关系，再用点的坐标表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。（2）相关点法：如果动点的运动是由另外某一点的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出，用表示出相关点的坐标，然后把的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点的轨迹方程。（1）定义法：如果动点的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。【考点剖析】考点一：直译法例1．在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，是动点，且直线与的斜率之积等于；求动点的轨迹方程，并注明的范围；【答案】解析：因为点B与点关于原点O对称，所以点B的坐标为设点P的坐标为，由题意得，化简得故动点P的轨迹方程为；变式训练1：已知，，动点满足与的斜率之积为，记的轨迹为曲线；求点的轨迹方程；【答案】解析：直线AM的斜率为，直线BM的斜率为，由题意可知：，故曲线的方程为：.变式训练2：在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，是动点，且直线与的斜率之积等于．(1)求动点的轨迹方程；【答案】解析：设，依题意有，，即，整理得：或；变式训练3：在平面直角坐标系中，已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且它们的斜率之积为；求点的轨迹方程；【答案】；解析：设，因为直线相交于点，且它们的斜率之积为，所以，整理可得，所以点的轨迹方程为.例2．已知平面上动点到的距离比到直线的距离小，记动点的轨迹为曲线；求曲线的方程．【答案】；解析：，由题意，得，当时，，平方可得，当时，，平方可得，由可知，不合题意，舍去.综上可得，所以的轨迹方程为．变式训练1：已知点，动点到直线的距离为，且，记的轨迹为曲线；求的方程；【答案】解析：由题意知，两边平方整即得，所以，曲线的方程为.变式训练2：已知点，平面上的动点到的距离是到直线的距离的倍，记点的轨迹为曲线；求曲线的方程；【答案】解析：设是所求轨迹上的任意一点，由题意知动点到的距离是到直线的距离的倍，可得，整理得，即曲线C的方程为.变式训练3：在平面直角坐标系中，已知定点，动点满足：以为直径的圆与轴相切，记动点的轨迹为曲线；求曲线的方程；【答案】解析：设，则线段的中点坐标为，因为以为直径的圆与轴相切，所以，整理得．故曲线的方程为．例3．在平面直角坐标系中，已知点，是一动点，直线，，的斜率分别为，，，且，记点的轨迹为；求的方程；【答案】；解析：设，所以，，，因为，所以，化简得．所以曲线的方程为．变式训练1：在平面直角坐标系中，已知点，是动点，且直线的斜率与直线的斜率之和等于直线的斜率；求动点的轨迹的方程；【答案】（且）；解析：设点的坐标为，由题意可得，即，则且.整理可得（且）.因此，动点的轨迹的方程为（且）；变式训练2：设动点在直线和上的射影分别为点和，已知，其中为坐标原点；求动点的轨迹的方程；【答案】；解析：设，则，所以，由条件可得，整理可得点的轨方程为；变式训练3：在平面直角坐标系中，已知点、，动点关于直线的对称点为，且，动点的轨迹为曲线；求曲线的方程；【答案】解析：由点关于直线的对称点为，则则，所以，即所以曲线的方程为：考点二：相关点法例1．圆：与轴的两个交点分别为，，点为圆上一动点，过作轴的垂线，垂足为，点满足；求点的轨迹方程；【答案】解析：设点在圆上，故有，设，又，可得，，即，代入可得，化简得：，故点的轨迹方程为：.变式训练1：圆的方程为：，为圆上任意一点，过作轴的垂线，垂足为，点在上，且；求点的轨迹的方程；【答案】解析：设，则，设，，，因为，所以，把代入圆的方程得，所以的轨迹的方程为.变式训练2：已知圆：与轴交于点，过圆上一动点作轴的垂线，垂足为，是的中点，记的轨迹为曲线；求曲线的方程；【答案】；解析：设，则，∵是的中点，∴，又∵在圆上，，即；∴曲线的方程为：；变式训练3：圆上的动点在轴、轴上的射影分别是，点满足；求点的轨迹的方程；【答案】；解析：设，，则，，由．得代入，所以点的轨迹的方程为.例2．已知两直线方程与，点在上运动，点在上运动，且线段的长为定值；求线段的中点的轨迹方程；【答案】解析：∵点在上运动，点在上运动，∴设，，线段的中点，则有，∴，∵线段的长为定值，∴+=8，即+=8，化简得.∴线段的中点的轨迹方程为.变式训练1：如图，分别在轴､轴上运动，点满足点的轨迹为曲线；求曲线的方程；【答案】解析：设由已知，即，又，即，所以曲线的方程为；变式训练2：已知点D为圆O：上一动点，过点D分别作轴、轴的垂线，垂足分别为A、B，连接BA并延长至点P，使得，点P的轨迹记为曲线C；求曲线C的方程；【答案】解析：设点P（x，y），D，则A、B，由题意的，因为，所以

而，，所以代入圆O：得曲线C的方程为.变式训练3：已知圆的圆心在坐标原点，且恰好与直线相切，设点A为圆上一动点，轴于点，且动点满足，设动点的轨迹为曲线；求曲线的方程，【答案】；解析：设动点，，因为轴于，所以，设圆的方程为，则，所以圆的方程为，由题意，，所以，所以，即，将代入圆，得动点的轨迹方程.考点三：定义法例1．已知平面内的两个定点，，，平面内的动点满足.记的轨迹为曲线；请建立适当的平面直角坐标系，求的方程；【答案】；解析：以，的中点为原点，，所在直线为轴建立直角坐标系，由椭圆定义可知的轨迹为为椭圆，即：变式训练1：动点满足；求点的轨迹并给出标准方程；【答案】点的轨迹是以，为焦点，长轴长为6的椭圆，其标准方程为.解析：由动点满足，可得动点到点，，，的距离之和为常数，且，故点的轨迹为椭圆，且，，则，，则，故椭圆的方程为．变式训练2：已知，曲线上任意一点满足；曲线上的点在轴的右边且到的距离与它到轴的距离的差为；求的方程；【答案】的方程为，的方程为．解析：由题意可知点的轨迹是以为焦点，为实轴长的双曲线的左支，故有，∴的方程为，设，则有，化简得，即的方程为．变式训练3：已知两定点，点是平面内的动点，且,记的轨迹是；求曲线的方程；【答案】；解析：设，，，则，，由于，即，设，，则，点的轨迹是以，为焦点的椭圆，故，，，所以，动点的轨迹的方程为：．例2．如图，点是圆上的动点，点，线段的垂直平分线交半径于点；求点的轨迹的方程；【答案】解析：连结，由题意有所以所以点的轨迹是以为焦点，长轴长为，焦距为的椭圆所以点的轨迹的方程为变式训练1：已知点为圆，，是圆上的动点，线段的垂直平分线交于点；求点的轨迹的方程；【答案】解析：由题意.∴点的轨迹是以点为焦点，焦距为，长轴为的椭圆，所以，所以点的轨迹方程是变式训练2：已知点是圆上任意一点，点与点关于原点对称，线段的垂直平分线分别与，交于，两点；求点的轨迹的方程；【答案】解析：由题意得点的轨迹为以为焦点的椭圆点的轨迹的方程为变式训练3：设圆的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.（I）证明为定值，并写出点E的轨迹方程；【答案】（）.因为，，故，所以，故.又圆的标准方程为，从而，所以.由题设得，，，由椭圆定义可得点的轨迹方程为：（）.例3．如图，已知圆的方程为，圆的方程为，若动圆与圆内切与圆外切；求动圆圆心的轨迹的方程；【答案】解析：设动圆的半径为，∵动圆与圆内切，与圆外切，∴，且.于是，，所以动圆圆心的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆.从而，，所以.故动圆圆心的轨迹的方程为．变式训练1：已知圆与圆：外切，同时与圆：内切；说明动点的轨迹是何种曲线，并求其轨迹方程；【答案】;解析：设圆的半径为，由圆与圆:外切，得:,由圆与圆：内切，得:，故，则动点的轨迹是，为焦点，长轴长为的椭圆，故椭圆的短半轴长为，故椭圆的方程为.变式训练2：在直角坐标系中，动圆与圆：外切，且圆与直线相切，记动圆圆心的轨迹为曲线；求曲线的轨迹方程；【答案】；设圆心，圆的半径为，因为动圆与圆外切,所以①，又动圆与直线相切.所以②，联立①②消去，可得．所以曲线的轨迹方程为.变式训练3：已知圆的圆心为，圆的圆心为，一动圆与圆内切，与圆外切，动圆的圆心的轨迹为曲线；求曲线的方程；【答案】，解析：如图，设圆的圆心，半径为，则，，所以．由双曲线定义可知，的轨迹是为焦点，实轴长为的双曲线右支，所以曲线的方程为，．考点四：交轨法例1．已知点，，，，动点S，T满足，，直线MS与NT交于一点P．设动点P的轨迹为曲线C；求曲线C的方程；【答案】；解析：由题意，知，从而，则.设，则，.由M，P，S三点共线，得.由，得，从而.由N，P，T三点共线，得，消去得，整理得，即曲线C的方程为.【当堂小结】1、知识清单：（1）椭圆，双曲线，抛物线的定义和简单性质；（2）直译法，相关点法求解轨迹方程；（3）定义法求解椭圆的轨迹方程；2、易错点：通过定义，性质进行对应的分析，找寻关系求解；3、考查方法：数形结合思想，数与形的转化；4、核心素养：数学运算，数学抽象.【过关检测】1．在平面直角坐标系中，已知，，是一个动点，分别为线段的中点，且直线的斜率之积是，记的轨迹为；求的方程；【答案】解析：由题意可知，直线OC，OD的斜率存在，且，．所以直线BM，AM的斜率之积也等于，设，则直线的斜率为，直线的斜率为，所以，整理得，故的方程为2．点P与定点的距离和它到定直线的距离之比为；求点P的轨迹方程；【答案】解析：设点，则，P到直线的距离为，由题意得：，解得：.3．已知圆与x轴交于A，B两点，动点P满足直线与直线的斜率之乘积为；求动点P的轨迹E的方程；【答案】，；解析：令得：，不妨设，，则，整理得：，；动点P的轨迹方程E为，；4．已知点，点，点M与y轴的距离记为d，且点M满足：，记点M的轨迹为曲线W；求曲线W的方程；【答案】解析：设，由题意得，，由,∴∴．∴，即M的轨迹方程为；5．已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴、轴分别交于点，两个动点，记点的轨迹为曲线；求曲线的方程；【答案】解析：设动圆的圆心为，则，半径为，，化简得：，即的方程为；6．在平面直角坐标系xOy中，一动圆经过点F（2，0）且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线；求曲线的方程；【答案】解析：设圆心为，由题意得：，两边平方，整理得：，故曲线的方程为.7．设点为圆上的动点，点在轴上的投影为，动点满足，动点的轨迹为；求的方程；【答案】解析：设点，，由题意可知∵，∴，即，又点在圆上∴代入得即轨迹的方程为8．线段的长等于3，两端点，分别在轴和轴上滑动，点在线段上，且，点的轨迹为曲线；求曲线的方程；【答案】；解析：设，，，由于，则①∵，∴，可得到，代入①式得点的轨迹方程为.9．已知，两点分别在轴和轴上运动，且，若动点满足，动点的轨迹为；求的方程；【答案】；解析：设，∵，∴，∴，.则，，又，∴，即为的方程.10．已知是轴上的动点（异于原点），点在圆：上，且.设线段的中点为；当点移动时，求点的轨迹方程.【答案】.解析：设,由,为等腰三角形.设,则.又为的中点,故,解得.得,则,把代入,整理得,所以点的轨迹方程为.11．已知：如图，两同心圆：和．为大圆上一动点，连结（为坐标原点）交小圆于点，过点作轴垂线（垂足为），再过点作直线的垂线，垂足为；当点在大圆上运动时，求垂足的轨迹方程；【答案】；解析：设垂足，则，因为在上，所以，即，故垂足的轨迹方程为；12．半圆的直径的两端点为,点在半圆及直径上运动,若将点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到点,记点的轨迹为曲线；求曲线的方程;【答案】或.解析：设,则,由题意可知当在直径上时,显然;当在半圆上时,,曲线的方程为或.13．已知点M是圆与x轴负半轴的交点，过点M作圆C的弦，并使弦的中点恰好落在y轴上；求点N的轨迹E的方程；【答案】；解析：解法一：由题意知，，设是上的任意点，弦的中点恰好落在轴上，，，，整理得，，，点的轨迹方程为．解法二：设，弦的中点为，，因为在轴的负半轴上，故．，由垂径定理得，故．14．在平面直角坐标系中，点是圆：上的动点，定点，线段的垂直平分线交于，记点的轨迹为；求轨迹的方程；【答案】解析：由题意：，∴根据椭圆的定义，点的轨迹是以、为焦点的椭圆，其中，.∴，，，∴轨迹的方程为：；15．已知圆：，点，P是圆C上任意一点，线段AP的垂直平分线交CP于点Q；求点Q的轨迹方程；【答案】解析：∵点Q在线段AP的垂直平分线上，∴.又，∴.∴点Q的轨迹是以坐标原点为中心，和为焦点，长轴长为4的椭圆.可设方程为，则，∴，∴点Q的轨迹方程为.16．在平面直角坐标系中，点，圆，以动点为圆心的圆经过点，且圆与圆内切；求动点的轨迹的方程；【答案】解析：圆的方程可化为：，故圆心，半径，而，所以点在圆内.又由已知得圆的半径，由圆与圆内切可得，圆内切于圆，即，所以，故点的轨迹，即曲线是以为焦点，长轴长为的椭圆.显然，