圆中知识结构图

6/6圆中知识结构图关于《圆》的知识结构整理

一．主要定理及其作用：

1．圆心角,弧,弦,弦心距之间的关系定理:

在同圆或等圆中,如果①两个圆心角②两条弧,③两条弦④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等：（等弧等角等弦……）

用的最多的依据：

①在同圆或等圆中,如果两个圆心角相等,那么它们所对的两条弧相等

②等弧所对的圆心角相等：

③在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的两条弧相等

④等弧所对的两条弦相等

2．垂径定理:

如果一条直线①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分劣弧；⑤平分优弧.只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.（直角三角形等弧……）用的最多的依据：

①垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧

②平分弦(非直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.

③一条弦的垂直平分线||经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧

④平分弧的直径过圆心的直线垂直平分这条弧所对的弦.

3．圆周角定理:

(1)直径所对的圆周角是直角；

(2)90°的圆周角所对的弦是直径。

(3)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；

(4)同弧所对的圆周角相等；

(5)等弧所对的圆周角相等；

(6)在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等；

（等弧等角直角三角形）

4．切线的性质定理：

圆的切线垂直于经过切点的半径（直径）。(垂直关系)

5．切线的判定定理：

经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

6．切线长定理：

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。（等弦等弧等角）

7．相切和相交两圆的性质定理：

如果两圆相切，连心线必过切点。如果两圆相交，连心线垂直平分公共弦

二．主要辅助线及其作用：

1．作弦心距：弦的中点．弧的中点。

2．过某一点作弦：构造相等的圆周角。

3．作直径：构造直角三角形和同弧所对的圆周角。

4．连结过切点的半径：“题中若有圆切线圆心切点连一连”。

5．两圆相切和两圆相交时，作连心线和公共弦。

三．基本图形和基本结论：

1．等边三角形的内切圆半径．外接圆的半径和高的比为。

2．△ABC中，点O．I分别为外心和内心，那么∠A与∠BOC．∠BIC之间的关系。

3．如果三角形的内切圆的半径为r，周长为c，试用r．c的代数式表示这个三角形的面积.4．圆的外切四边形的两组对边的和相等．

5．直角三角形的两直角边和斜边分别是a，b，c则其内切圆的半径为______6.圆的内接四边形的对角互补.

7．圆的外切四边形的两组对边的和相等．

8．圆的内接平行四边形一定是矩形;圆的外切平行四边形一定是菱形．9．圆的内接梯形一定是等腰梯形．

10．弧长的计算公式和扇形面积的计算公式.11．圆柱和圆锥的侧面展开计算.

四．与圆有关的两解问题集中训练题：

1、圆中同弦（或等弦）所对圆周角是两个.

2、已知弦长、半径，求弓高.

3、同圆内，两平行弦间的距离.

4、已知圆外一点为圆心，作与已知圆相切的圆.

5、已知圆内一点为圆心，作与已知圆内切的圆.

6、两圆相交，求圆心距．

上述内容的练习题：

1．如果圆O的弦AB将圆分成1:3两部分，则该弦所对的圆心角是度。

2．已知一弓形半径为5，弓形的弦长6，则弓形高为。3．在半径为5cm的⊙O中，两条平行弦长分别为6cm、8cm，两条平行弦之间距离是。4．⊙O的半径为6，点Ｍ是⊙O内一点，OM＝４，若以点Ｍ为圆心的⊙M与⊙O内切，则⊙M的半径为．

5．⊙O的半径为6，点Ｍ是⊙O外一点，ＯM＝10，若以点Ｍ为圆心的⊙M与⊙O相切，则⊙M的半径是.

6．若两圆半径分别为R、r（R＞r），圆心距为d，且R2+d2=r2+2Rd，则两圆的位置关系是.

7.已知相交两圆的半径分别是5和4，公共弦长为6，则它们的圆心距是.8.若两个同心圆半径分别为6、2，那么与它们都相切的圆的半径是.

9.已知相交两圆的半径分别是5和4，公共弦长为6，则它们重合部分的面积是.五．作图题：

1．如图,M为⊙O内的一点,利用尺规作一条过点M的最短弦AB.2．平分已知弧.

3．找出残破车轮的圆心

4.作出△ABC的内切圆。

5.作出△ABC的外接圆。

B

CB

A

六、解答题：

1．AB为圆O的直径，C为圆O上一点，AD和过C的切线互相垂直，垂足为D.

求证:AC平分∠DAB.

求证：OC//AD

4．已知:OA是⊙O的半径,OC⊥OA,且交弦AB于D,BC=DC.

求证:BC是⊙O的切线.

求证：DE是⊙O的切线

6．已知：A．B．C三点在圆O上，AD是△ABC的高，AE是圆O的直径．求证：AB·AC=AE·AD

C

基础知识练习01

1．所示，已知：AB和CE为圆O的两条直径，弦CD//AB,∠COD=0

30,则

∠BOE=.

2．已知⊙O的半径为R，则长度为

5

1

πR的弧所对的圆周角是.3．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则某外接圆的半径为.

4．如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM长的最小值为．

5．已知：⊙1O和⊙2O的半径分别为5cm和3cm，两圆的圆心距是9cm，则两圆的位置关系是．

6．如图，OAB是以6cm为半径的扇形，AC切弧AB于点A交OB的延长线于点C,如果弧AB的长等于3cm,AC=4cm,则图中阴影部分的面积为cm２

．

7．圆锥的母线长5cm,底面半径长3cm,那么它的侧面展开图的圆心角是度．8．已知圆中一弦将圆分为1：2的两条弧，则这条弦所对的圆周角为度．9．一条弦有弦心距的长等于它所在圆的直径的

4

1

,则这条弦所对劣弧的度数是度．10．弓形的弦长为43cm，高为2cm，则它的弧所在圆的半径为cm．11．如图,正方形ABCD内接于⊙O,点E在?

AD上,则∠BEC=_______°

12．在直径为10cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如右图所示，如果油面AB＝8cm，那么油的最大深度是cm.

13．如图，在△ABC中，∠A=68°，点I是△ABC的内心，则∠BIC的度数为

D

13题

(5)

14．如图(5),A是半径为2的⊙O外一点,OA=4,AB是⊙O的切线,点B是切点,弦BC∥OA,连结AC,则图中阴影部分的面积为_________15．如图，点AB，是⊙O上两点，10AB=，点P是⊙O上的动点（P与AB，不重合），连结APPB，，过点O分别作OEAP⊥于E，

OFPB⊥于F，则EF=

16．如图，点P的坐标为（4,0),OP的半径为5，且OP与x轴交于点A,B，与y轴交于点C,D,试求出点A,B,C,D的坐标．

基础知识练习02

1．弓形的弦长为43cm，高为2cm，则它的弧所在圆的半径为cm．

2．若面积为54π2

cm的扇形的半径为18cm，则该扇形的圆心角的度数是．

3．相切两圆圆心距为7．5cm,一个圆的半径为4cm,则另一个圆的半径是cm．．4．在半径为12cm的圆中，一条弧长为π6cm，此弧所对的圆周角是．

5．如图,⊙O的半径是5cm,P是⊙O外一点,PO=8cm,∠P=30o,则AB=cm,PB=cm．6．如图,⊙O中弦AB⊥AC,D,E分别是AB,AC的中点．⑴若AB=AC,则四边形OEAD是形;

⑵若OD=3,半径5=r,则AB=cm，AC=cm．7．如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=50o,⊙A与BC相切于点D,与AB相交于点E,则∠AED=o

（5题）（6题）（7题）

8．两同心圆中，大圆的弦AB切小圆于C点，且AB=20cm,则夹在两圆间的圆环面积是

2cm________．

9．如图，AB是半圆O的直径，AC=AD,OC=2,∠CAB=300，则点O到CD的距离OE=．10．如图,在同心圆⊙O中,AB是大圆的直径,AC是大圆的弦,AC与小圆相切于点D,若小圆的半径为3cm,则BC=cm．

P

（第15题）

AED

BOC

BED

CA

PB

AO

AB

11．如图,⊙1O与⊙2O相交于点A．B,且AO1是⊙2O的切线,AO2是⊙1O的切线,A是切点．若⊙1O与⊙2O的半径分别为3和4,则公共弦AB的长为cm．

（9题）（10题）（11题）12．如图(4),⊙O是△ABC的外接圆,AD是BC边上的高,已知BD=8,CD=3,AD=6,则直径AM的长为_