逻辑代数基础M

逻辑代数基础M第一页，共三十七页，2022年，8月28日2.3逻辑代数的公式一、基本公式二、异或、同或逻辑的公式

三、常用公式

2.4逻辑代数的基本规则一、代入规则二、反演规则三、对偶规则作业第二页，共三十七页，2022年，8月28日

第2章逻辑代数基础

2.1概述

事件（结果）是否发生与条件（原因）是否具备有关。逻辑就是指条件和结果之间的因果关系。一、三种基本逻辑关系：

1.与逻辑：2.或逻辑：3.非逻辑：节目录标题区第三页，共三十七页，2022年，8月28日ABELABELAELR(a)与逻辑的电路(b)或逻辑的电路(c)非逻辑的电路图2.1.1说明三种基本逻辑的电路开关闭合：条件（原因）灯亮：事件（结果）节目录标题区第四页，共三十七页，2022年，8月28日二、逻辑代数和逻辑变量：

逻辑变量：逻辑代数中的变量。在数字电路中用来描述具有两种对立状态的对象，常用器件名称命名，如开关S，灯L，只有两种取值

“0”和“1”

，例如：开关闭合S=1，开关断开S=0;灯亮L=1，灯灭L=0逻辑代数是描述和研究客观世界中事物之间逻辑关系的数学，是数字电路的理论基础。节目录标题区第五页，共三十七页，2022年，8月28日2.常用表示方法:1）真值表列真值表方法：输入变量从全0开始到全1结束，顺序递增避免遗漏或重复。输入（自变量）输出（函数）ABF001010100111真值表相同则逻辑函数相同。表三、逻辑函数及其表示方法：

1.逻辑函数概念：由逻辑自变量决定的逻辑应变量节目录标题区第六页，共三十七页，2022年，8月28日例：如下图所示，用两个“单刀双掷”开关A和B控制楼道灯L，试列出该电路的真值表。解：用逻辑变量A、B、L分别表示两个开关和灯。设开关A（或B）的“刀”位于上触点a(或b)时，A、B为1，位于下触点时，A、B为0；灯L亮为1，灯L灭为0。可列出真值表如下：节目录标题区第七页，共三十七页，2022年，8月28日输入输出ABL0010101001112).逻辑表达式：由逻辑输入变量和逻辑运算符号.+－（乘、加、非）构成的代数式。例如：节目录标题区第八页，共三十七页，2022年，8月28日2.2逻辑代数中的运算一、三种基本逻辑运算：

1.与运算：(1)算符“·”（或者“×”、“∧”、“∩”、“AND”)(2)运算规则

0·0=0

1·0=0

0·1=0

1·1=1(3)与逻辑表达式：F=A·B节目录标题区第九页，共三十七页，2022年，8月28日(4)与逻辑电路符号2.或运算：(1)算符“＋”（或者“∨”、“∪”、“OR”)(2)运算规则

0＋0=0

1＋0=1

0＋1=1

1＋1=1节目录标题区第十页，共三十七页，2022年，8月28日(3)或逻辑表达式：F=A＋B(4)或逻辑电路符号3.非运算：(1)算符“—”(2)运算规则

0=1

1=0节目录标题区第十一页，共三十七页，2022年，8月28日(3)非逻辑表达式：(4)非逻辑电路符号F=A节目录标题区第十二页，共三十七页，2022年，8月28日4.实现电路：①二极管与门电路(1)与门②电路状态表输入输出

uA(V)uB(V)uF(V)00

003

030

033

3节目录标题区第十三页，共三十七页，2022年，8月28日③真值表输入输出

AB

F

00

0

01

0

10

0

11

1④逻辑符号国标曾用美国节目录标题区第十四页，共三十七页，2022年，8月28日①二极管或门电路(2)或门②电路状态表输入输出uA(V)uB(V)uF(V)00

003

330

333

3节目录标题区第十五页，共三十七页，2022年，8月28日③真值表输入输出

AB

F

00

0

01

1

10

1

11

1④逻辑符号节目录标题区第十六页，共三十七页，2022年，8月28日①三极管非门电路(3)非门②电路状态表输入输出

uA(V)

uF(V)

0

3

3

0节目录标题区第十七页，共三十七页，2022年，8月28日③真值表输入输出

A

F

0

1

1

0④逻辑符号节目录标题区第十八页，共三十七页，2022年，8月28日二、复合逻辑运算：

1.与非运算：(1)逻辑表达式：F=AB(2)逻辑符号由两个或两个以上基本运算构成的逻辑运算节目录标题区第十九页，共三十七页，2022年，8月28日２.或非运算：(1)逻辑表达式：F=A＋B(2)逻辑符号节目录标题区第二十页，共三十七页，2022年，8月28日３.与或非运算：(1)逻辑表达式：F=AB＋CD(2)逻辑符号节目录标题区第二十一页，共三十七页，2022年，8月28日4.异或运算：(1)逻辑表达式：两个变量A、B相异时，函数F为1，相同时为0运算顺序：先求反后乘再加F=A⊕B=AB+AB节目录标题区第二十二页，共三十七页，2022年，8月28日5.同或运算：(1)逻辑表达式：两个变量A、B相同时函数F为1，相异时为0(2)逻辑符号F=A⊙B=AB+AB节目录标题区真值表参见书P17表第二十三页，共三十七页，2022年，8月28日2.3逻辑代数的公式一、基本公式：

1.自等律A+0=AA·1=A2.吸收律A+1=1A·0=03.重叠律

A+A=AA·A=A4.互补律5.还原律A=AA+A=1A·A=06.交换律A+B=B+AA·B=B·A节目录标题区第二十四页，共三十七页，2022年，8月28日7.结合律A+B+C=(A+B)+C=A+(B+C)A·B·C=(A·B)·C=A·(B·C)8.分配律A·(B+C)=AB+ACA+BC=(A+B)·(A+C)9.反演律A+B=A·BAB=A+B以上基本公式的正确性可以用列真值表的方法加以证明；同一基本公式左、右两列存在对偶关系。节目录标题区第二十五页，共三十七页，2022年，8月28日二、异或、同或逻辑的公式

1.异或运算符、同或运算符互为对偶（反演）运算符2.多个变量的异或、同或间关系(1)偶数个变量的异或、同或互补(2)奇数个变量的异或、同或相等A1⊕A2⊕…

⊕An=A1⊙A2⊙

…

⊙

An

(n为偶数)A1⊕A2⊕…

⊕An=A1⊙A2⊙

…

⊙

An

(n为奇数)节目录标题区第二十六页，共三十七页，2022年，8月28日3.多个常量的异或、同或运算(1)异或时，起作用的是“1”

的个数

0⊕0=00⊕0⊕0=0

1⊕1=01⊕1⊕1=1

(2)同或时，起作用的是“0”

的个数

0⊙0=10⊙0⊙0=0

1⊙1=11⊙1⊙1=1节目录标题区第二十七页，共三十七页，2022年，8月28日三、常用公式

1.合并相邻项公式AB+AB=A2.消项公式A+AB=A3.消去互补因子公式A+AB=A+B利用上式2即可得证。4.多余项（生成项）公式AB+AC+BC=AB+AC证明：AB+AC+BC=AB+AC+(A+A)BC=AB+AC+ABC

+ABC=AB+AC节目录标题区第二十八页，共三十七页，2022年，8月28日2.4逻辑代数的基本规则一、代入规则：

适用于等式设F1(x1,x2,…,xn)=F2(x1,x2,…,xn)则F1(G,x2,…,xn)=F2(G,x2,…,xn)例：已知GH+GH=G则有：

ABCD+ABCD=AB节目录标题区若令G=AB,H=CD第二十九页，共三十七页，2022年，8月28日二、反演规则：适用于求反函数

F

F

·+

1

0

A

A+·

0

1A

A注意：

(1)与运算优先于或运算若有括号，先算括号内；(2)不属于单个变量上的非号，在变换时应保留节目录标题区第三十页，共三十七页，2022年，8月28日例1：若F=AB+CD，试用反演规则求反函数F。例2：若F=A+B+C·D，试用反演规则求反函数F。解：F=A·BC+D解：F=(A+B)·(C+D)节目录标题区第三十一页，共三十七页，2022年，8月28日常用关系式：(1)F=F；(2)若F=G，则F=G；反之也成立。节目录标题区第三十二页，共三十七页，2022年，8月28日三、对偶规则：

用于等式的证明

F

F′

·+

1

0

+·

0

1注意：

(1)与运算优先于或运算若有括号，先算括号内；(2)不属于单个变量上的非号，在变换时应保留节目录标题区第三十三页，共三十七页，2022年，8月28日常用关系式：(1)(F′)′=F；(2)若F=G，则F′=G′；反之也成立。节目录标题区第三十四页，共三十七页，2022年，8月28日将F′中的变量原反互换后即可得到F；将F中的变量原反互换后即可得到F′。F

F

·+

1

0

A

A+·

0

1A

AF

F′

·+

1

0

+·

0

1节目录标题区对比：第三十五页，共三十七页，2022年，8月28日例1：已知A⊕0=A，则其对偶公式为：A⊙1=A例2：已知F=A⊕B，则其反函数可写为：即A⊕B=A⊙BA⊙BF=与反演律