误差分析及处理

误差分析及处理第一页，共七十九页，2022年，8月28日学习重点：掌握测量误差的三种分类掌握随机误差的正态分布性质及概率计算掌握直接测量值的大子样和小子样本下的分析计算方法学会测量中如何进行误差的综合第二页，共七十九页，2022年，8月28日第一节测量误差和不确定度

一、测量误差的分类二、测量的精密度、正确度和准确度三、不确定度

第三页，共七十九页，2022年，8月28日第一节测量误差和不确定度一、测量误差的分类分三类：粗大误差、系统误差、随机误差(1)粗大误差：定义：明显歪曲结果，使测量值无效的误差坏值：含有粗大误差的测量值坏值的原因：测量者主观过失，操作错误，测量系统突发故障处理方法：剔除坏值第四页，共七十九页，2022年，8月28日(2)系统误差：

定义：同一被测量多次测量，误差的绝对值和符号保持不变，或按某种确定规律变化。前者称为恒值系统误差，后者称为变值系统误差。特点:增加测量次数不能减小该误差原因：仪表本身原因，使用不当，测量环境发生大的改变处理方法：校正——求得与误差数值相等、符号相反的校正值，加上测量值一、测量误差的分类第一节测量误差和不确定度第五页，共七十九页，2022年，8月28日（3）随机误差定义：同一被测量多次测量时，误差的绝对值和符号的变化不可预知特点：单次测量值误差的大小和正负不确定；但对一系列重复测量，误差的分布有规律：服从统计规律随机误差与系统误差之间即有区别又有联系；二者无绝对界限，一定条件可相互转化。一、测量误差的分类第一节测量误差和不确定度第六页，共七十九页，2022年，8月28日二、测量的精密度、正确度和准确度衡量测量结果与真值的接近程度三个术语：精密度、正确度、准确度精密度：对同一被测量多次测量，测量的重复程度。反映了随机误差的大小正确度：对同一被测量多次测量，测量值偏离被测量真值的程度反映了系统误差的大小准确度：精密度和正确度的综合（精确度）反映了测量结果与真值的一致程度第一节测量误差和不确定度第七页，共七十九页，2022年，8月28日精密度高正确度高准确度高第八页，共七十九页，2022年，8月28日一、随机误差的正态分布性质二、正态分布的概率运算第二节随机误差的分布规律第九页，共七十九页，2022年，8月28日第二节随机误差的分布规律一、随机误差的正态分布性质1.

随机误差的概率密度分布服从正态分布特点：(1)有界性：大误差出现的概率接近于零(2)单峰性：小的误差出现的概率大于大误差出现的概率(3)对称性：绝对值相等而符号相反的随机误差出现的概率相同(4)抵偿性：随测量次数n的增加到无穷多时，全部随机误差的平均值趋于零第十页，共七十九页，2022年，8月28日第二节随机误差的分布规律2.正态分布的数学描述：

，为特征参数一、随机误差的正态分布性质(1)真值(2)标准误差或均方根差第十一页，共七十九页，2022年，8月28日图1－2随机误差的正态分布曲线＝0.5=1.0=2.0越小h越大，精密度越高(3)精密度指数第二节随机误差的分布规律2.正态分布的数学描述：一、随机误差的正态分布性质第十二页，共七十九页，2022年，8月28日第二节随机误差的分布规律二、正态分布的概率运算求出现在区间[a,b]的概率1.公式推导区间选择对称的[-a,a]令z:置信系数第十三页，共七十九页，2022年，8月28日标准正态分布：均值为0，方差为1的正态分布正态分布概率的计算：将普通正态分布转换成标准正态分布。标准正态分布可以查表获得。

第十四页，共七十九页，2022年，8月28日为了简化起见，直接化简上式，查误差函数表第十五页，共七十九页，2022年，8月28日

α称为显著水平，表示随机误差落在置信区间以外的概率。结论：1.随机误差δ出现在区间[－a,a]或[-zσ,zσ]的概率（置信概率）第二节随机误差的分布规律二、正态分布的概率运算求出现在区间[a,b]的概率1.公式推导

2.Φ(Z)被称为误差函数，[－a,a]或[-zσ,zσ]为置信区间，置信区间的上下限称为置信限.为Φ(Z)3.称为置信概率或置信水平第十六页，共七十九页，2022年，8月28日第二节随机误差的分布规律例1-1在同样条件下，一组重复测量值的误差服从正态分布，求误差|δ|不超过σ,2σ,3σ的置信概率P解:根据题意,z=1,2,3。从表上查得Φ(1)=0.68269,Φ(2)=0.95450,Φ(3)=0.997300,因此：

P{|δ|<=σ}=0.6826968.3%

相应的显著性水平a=1-P=1-0.68269=0.31731二、正态分布的概率运算2.举例第十七页，共七十九页，2022年，8月28日第二节随机误差的分布规律(2)P{|δ|<=2σ}=0.9545095.5%

相应的显著性水平a=1-P=1-0.95450=0.0455(3)P{|δ|<=3σ}=0.997399.7%

相应的显著性水平a=1-P=1-0.9973=0.0027

二、正态分布的概率运算2.举例第十八页，共七十九页，2022年，8月28日P(δ)P=1-α-zσ0zσ

δ图1－3置信概率等在图形上的表示α/2/2α第十九页，共七十九页，2022年，8月28日第三节直接测量值的误差分析与处理子样：实际测量不可能无穷多次，只是测量“母体”的一部分子样容量：子样中包含的测量个数，容量大的称大子样，容量小的称小子样一般从子样来求母体特征参数μ和σ的最佳估计值

第二十页，共七十九页，2022年，8月28日第三节直接测量值的误差分析与处理

一、测量结果的表示

(1):表示公式多次重复测量的测量结果一般可表示为：在一定置信概率下，以测量值子样平均值为中心，以置信区间半长为误差限的量

测量结果X＝子样平均值置信区间半长（置信概率）例如：（P=99.73%)

（P=95.45%)第二十一页，共七十九页，2022年，8月28日第三节直接测量值的误差分析与处理二、真值的估计真值的最佳估计值：即测量值子样平均值第二十二页，共七十九页，2022年，8月28日第三节直接测量值的误差分析与处理三、标准误差σ的估算值S贝塞尔公式（求母体标准误差的估计值S）真值μ未知，故用残差（剩余误差）来求σ的估算值S,（n-1)称为自由度。第二十三页，共七十九页，2022年，8月28日第三节直接测量值的误差分析与处理如果知道约定真值μ，可用下式算标准误差估计值:自由度为n。

第二十四页，共七十九页，2022年，8月28日第三节直接测量值的误差分析与处理四、算术平均值的标准误差

算术平均值为服从正态分布的随机变量平均值的标准误差为：（1）算术平均值的标准误差是测量值xi的标准误差S的（2）多次重复测量取子样平均值具有更高精密度n=20-30第二十五页，共七十九页，2022年，8月28日第三节直接测量值的误差分析与处理

（例1－2）对恒速下旋转的转动机械的转速进行了20次重复测量，得到如下一列测量值（单位为(r/min);4753.14757.54752.74752.84752.14749.24750.64751.04753.9 4751.24750.34753.34752.14751.2 4752.34748.44752.54754.74750.0 4751.0求该转动机械的转速（要求测量结果的置信概率为95％）五、举例说明测量结果的表示第二十六页，共七十九页，2022年，8月28日第三节直接测量值的误差分析与处理解（1）计算测量值子样平均值：

（2）计算标准误差估计值S:=2.0(r/min)

四、测量结果的表示（2）举例第二十七页，共七十九页，2022年，8月28日第三节直接测量值的误差分析与处理(3)求子样本平均值的标准误差(4)对于给定的置信概率，求置信区间半长a：根据题意

当置信概率为查表1－1得z=1.96所以（r/min)测量结果：X=4752.00.9（r/min,P=95%)第二十八页，共七十九页，2022年，8月28日第三节直接测量值的误差分析与处理六、单次测量结果表示如实际做的是单次测量，但已知同样测量条件下的标准误差估计值S，则测量结果表示为

X＝单次测量值3S(P=99.73%)X＝单次测量值2S(P=95.45%)【例1－3】在与上例同样的测量条件下，单次测量转动机械的转速为4753.1r/min,求该转动机械的转速（测量结果的置信概率仍要求为95％）第二十九页，共七十九页，2022年，8月28日第三节直接测量值的误差分析与处理（1）上例计算该测量条件下的标准误差估计值S=2.0r/min

（2）给定的置信概率P=95%，求置信区间半长a由置信概率P=95%查表1－1得z=1.96所以

测量结果可表达为X=4753.13.9（r/min,P=95%)第三十页，共七十九页，2022年，8月28日第三节直接测量值的误差分析与处理七、小子样误差分析当子样容量小，如2－3个，如按上述方法推断，很不准确。子样容量愈小，问题越严重。原因在于小子样的平均值偏离正态分布，服从t分布，当用小子样正态分布为条件求得的σ代替母体的σ

，就产生较大的偏差（1）解决方案：以t分布的置信系数t(α,v)代替正态分布的置信系数z，t(α,v)可通过查表得到。t(α,v)>z实质增大了同样置信概率下的置信区间。第三十一页，共七十九页，2022年，8月28日第三节直接测量值的误差分析与处理（2）小子样的测量结果表示:

（在P置信概率下）（3）小子样单次测量结果表示：已知同样测量条件下的标准误差估计值S

（在P置信概率下）七、小子样误差分析第三十二页，共七十九页，2022年，8月28日第三节直接测量值的误差分析与处理（4）举例[例1－4]用光学高温度计测某种金属固液共存点的温度(0C)，得到下列五个测量值；975，1005，988，993，987。试求该点的真实温度（要求测量结果的置信概率为95％）解：因为是小子样，采用t分布置信系数来估计置信区间。

(1)求出五次测量的平均值七、小子样误差分析第三十三页，共七十九页，2022年，8月28日第三节直接测量值的误差分析与处理(2)求的标准误差估计值(3)根据给定的置信概率P=95%求得显著性水平a=1-P=0.05和自由度v=5-1=4，查表1－2，得t(0.05,4)=2.77。所以测量结果为

(P=95%)即被测金属固液共存点温度有95％的可能在温度[976.20C，1003.00C]第三十四页，共七十九页，2022年，8月28日第三节直接测量值的误差分析与处理用正态分布求上题,从表1-1中查得z=1.96,可求置信区间为[-9.20C,+9.20C],小于[-13.40C,+13.40C],夸大了测量结果的精密程度。[980.20C，998.80C][976.20C，1003.00C]正态分布t分布第三十五页，共七十九页，2022年，8月28日习题1用热电偶重复测量8次测某恒温箱的温度，显示仪表（动圈表）的示值（以mv表示)分别为：31.56,31.82,31.73,31.68,31.49,31.73,31.74,31.72。试求当置信概率为95％时该组测量值的置信区间（第一种情况：测量值服从正态分布，第二种情况：此次测量属于小样本）2对某一恒定温度进行30次重复测量，求得温度的恒定值t=10520C，该值标准误差得估计值为Si=80C，试求在置信概率95％时该测量结果的置信区间。已知测量值服从正态分布。第三十六页，共七十九页，2022年，8月28日第五节粗大误差的检验与坏值的剔除一、拉依达准则（3σ标准）二、格拉布斯准则三、例题四、习题第三十七页，共七十九页，2022年，8月28日第五节粗大误差的检验与坏值的剔除可用多种统计检验法判断是否存在粗大误差一、拉依达准则（3σ标准）

规则：（1）计算测量值残差vi的绝对值，如大于其标准偏差的3倍，则存在粗大误差，即:

实际使用时，标准误差σ可用其估计值S代替（2）应用上述准则剔除坏值后，应重新计算测量列的算术平均值和标准差估计值S，再进行判断，直到测量列中无坏值第三十八页，共七十九页，2022年，8月28日第五节粗大误差的检验与坏值的剔除?问题依据正态分布得出，故子样容量小时(n<10)，坏值剔除的可能性小，故可采用基于t分布的格拉布斯准则一、拉依达准则（3σ标准）第三十九页，共七十九页，2022年，8月28日第五节粗大误差的检验与坏值的剔除二、格拉布斯准则（1）测量值按大小排序，计算首尾测量值的格拉布斯准则数T：

（2）若则认为xi为坏值，应剔除。T(n,a)为格拉布斯准则临界值，由子样容量n和所选取的显著性水平α，查表1-3中查得。

（3）每次只能剔除一个测量值（取最大的剔除），重复上述过程直到测量列中没有坏值。第四十页，共七十九页，2022年，8月28日第五节粗大误差的检验与坏值的剔除【例1－6】有一组重复测量值(0C)xi（i=1,2,…,16): 39.4439.2739.9439.4438.9139.6939.4840.5639.7839.3539.6839.7139.4640.1239.3939.76试分别用拉依达准则和格拉布斯准则检验粗大误差和剔除坏值。解(1)按由小到大重排数据xi（i=1,2,…,16):38.9139.2739.3539.3939.4439.4439.4639.4839.6839.6939.7139.7639.7839.9440.1240.56三、举例第四十一页，共七十九页，2022年，8月28日第五节粗大误差的检验与坏值的剔除(2)计算子样平均值和测量列得标准误差估计值S(3）按拉依达准则检验，由于

3S=3×038=1.14|v1|=|38.91-39.62|=0.71<3S|v16|=|40.56-39.62|=0.94<3S

所以这组测量值不存在坏值第四十二页，共七十九页，2022年，8月28日第五节粗大误差的检验与坏值的剔除（4）按格拉布斯准则检验，选定判别显著性水平a=0.05和子样容量n＝16，从表1－3查得格拉布斯准则临界值T(16,0.05)=2.443由于：所以x16=40.56在显著性水平5％之下被判断为坏值，被剔除第四十三页，共七十九页，2022年，8月28日第五节粗大误差的检验与坏值的剔除（5）剔除坏值后，重新计算余下的测量值的算术平均值和标准误差S根据a=0.05，n＝16，从表1－3查得T(15,0.05)=2.409由于：故余下的测量值不含粗大误差坏值第四十四页，共七十九页，2022年，8月28日习题4．对流量测量用喷嘴直径d进行15次测量，各次测量值分别为：120.42，120.43，120.40，120.43，120.42，120.30，120.39，120.43，120.40，120.43，120.42，120.41，120.39，120.39,和120.40。试分别用巳学过的几种方法判断这批数据中是否存在含有粗大误差的异常值(取显著性水乎“α＝0.05)。第四十五页，共七十九页，2022年，8月28日第六节系统误差系统误差：测量值中含有固定（恒值系统误差）或按某种规律变化的误差（变值系统误差）。特点：重复测量不能减小此类误差，也难以发现，有时误差值可以很大发现手段：改变测量条件或用不同测量方法进行对比分析，对测量系统进行检定处理方法：找到引起误差的原因和误差规律，用计算或补偿装置对测量值进行修正第四十六页，共七十九页，2022年，8月28日第六节系统误差一、恒值系统误差二、变值系统误差三、变值系统误差存在与否的检验四、系统误差的估计五、间接测量中系统误差的传递第四十七页，共七十九页，2022年，8月28日第六节系统误差一、恒值系统误差只影响测量结果正确度，不影响精密度发现方法：用更准确的测量系统和测量方法相比较处理方法：提供修正值修正交换法：天平称重，交换砝码与被测对象的左右位置，却两次重量的平均作测量结果第四十八页，共七十九页，2022年，8月28日第七节误差的综合测量中可能存在多个随机和系统误差，为提高准确度，需对全部误差进行综合一、随机误差的综合二、系统误差的综合三、测量结果的表示第四十九页，共七十九页，2022年，8月28日一、随机误差的综合k个彼此独立的随机误差，其标准差分别为σ1,σ2,…σk，则它们综合效应所造成的综合标准差σ为若它们的随机不确定度为δ1,δ2,…δk，置信概率为P,则综合随机不确定度δ为：第五十页，共七十九页，2022年，8月28日第七节误差的综合二、系统误差的综合若测量结果含有m个未定系统误差，其系统不确定度分别为e1,e2,…em,,则其总的系统不确定度e为第五十一页，共七十九页，2022年，8月28日三、测量结果的表示某一测量列，修正恒值和变值系统误差，剔除粗大误差，进行随机不确定度和系统不确定度的综合后，测量结果的准确度可用随机不确定度和系统不确定度表示：1）结果中标明随机不确定度和系统不确定度：M(±δ,±e),M测量值或测量列的算术平均，δ随机不确定度，e系统不确定度第五十二页，共七十九页，2022年，8月28日第七节误差的综合2）用随机不确定度和系统不确定度的综合表示：M±g,g随机不确定度和系统不确定度的综合值

g=δ+e(线性相加法）

(方和根法）

(广义方和根法）

Kg:综合置信系数

σ:随机误差部分的标准误差

K:系统误差估计时的估计置信系数

第五十三页，共七十九页，2022年，8月28日第八节不确定度及其合成在热工测量中，人们常常会对测量的结果是否有效、可信或测量的品质提出疑问，以及对测量结果究竟可靠到什么程度心存疑虑。下面通过分析和联系实际工作提出了对测量结果进行评定、估算的方法。第五十四页，共七十九页，2022年，8月28日某一恒温容器内标称温度示值为400℃，计量人员选用配接K型热电偶的数字式温度计来测量该容器内部某处的实际温度(见图1)。从数字温度计的出厂说明书查知其分辨力为0.1℃，准确度为±0.6℃。K型热电偶每年校准一次，今年的校准证书表明其不确定度为2.0℃(置信水准为99%)，在400℃时的修正值为0.5℃，当恒温容器的指示器表明调控到示值400℃时，稳定半小时后从数字温度计上重复测得的10个显示值di列于表1。第五十五页，共七十九页，2022年，8月28日测量列i

测得值di/℃

残差Vi℃

残差平方℃

1401.00.7860.842400.1-0.121.443400.9+0.6846.244399.4+0.8267.245398.8-1.42201.646400.0-0.224.847401.00.7860.848402.11.88354.449399.9-0.3210.2410399.0-1.22148.844002.2400.220.00955.60第五十六页，共七十九页，2022年，8月28日测量结果由前面分析可知为400.2℃，对热电偶进行修正后的测量结果由修正值可知为400.7℃。但是人们还是会对测量是否有效、可信或测量的质量(品质)提出疑问。必要时就需要定量上对“测量不确定度”(uncertaintyofmeasurement)进行评定或估算(evaluation)。第五十七页，共七十九页，2022年，8月28日测量不确定度按其数值的评定方法而分为两类：A类评定和B类评定，A类评定是对一组观测列进行统计分析，并以实验标准差表征。而与A类评定不同的所用其它方法均称为B类评定，它们都是基于经验或其它信息的假定概率分布估算的，也可用标准差表征。与它们相对应的测量不确定度则分别称为A类评定不确定度和B类评定不确定度。

前面讲的不确定确定方法是属于那类？第五十八页，共七十九页，2022年，8月28日计量人员对容器内部某处温度作n=10次独立重复测量，从数字温度计上读得10个显示值di(见表1)，则其最佳估计值d为di的算术平均值：

oC(3)

值对其最佳估计值分散程度的参数，可以通过对测量列的统计分析，用贝塞尔(Bessel)公式求得

oC

(4)

这里的S(di)表示单次测量的实验标准差，即测量列中任何一次测得值di的实验标准差第五十九页，共七十九页，2022年，8月28日算术平均值的实验标准差：

℃此即测量不确定度分量的A类评定，通常用u(d)来表示。对于d的A类评定u(d1)，可由n次独立重复观测的算术平均值的标准差算得，即由式(5)算得：

℃第六十页，共七十九页，2022年，8月28日B类标准测量不确定度分量评定数字温度计出厂提供的说明书中表明，该温度计的准确度为±0.6℃，它并不是特指某台温度计实际存在的误差，也不是指用这台温度计测量容器某处温度时所得测量结果的误差。第六十一页，共七十九页，2022年，8月28日B类标准测量不确定度分量评定如何确定？一般根据说明书来确定。认为，测量产生的误差在上限为0.6℃、下限为-0.6℃之间是均匀分布的，也就是说每次测量产生的随机误差等概率出现在这个区间。那么这个随机变量的标准差为：为什么呢？

第六十二页，共七十九页，2022年，8月28日B类标准测量不确定度分量评定其他情况：1、估计值受到两个独立的随机变量影响，且这两个随即变量都是[-a,a]之间的均匀分布。则该变量为三角分布，其不确定度为：

第六十三页，共七十九页，2022年，8月28日B类标准测量不确定度分量评定其他情况：2、若仪器的误差中相互独立的随机误差和未定系统误差数目较多，且其值较小，则通常可近似认为服从正态分布．这时。

Ux=U/3

第六十四页，共七十九页，2022年，8月28日B类标准测量不确定度分量评定其他情况：3、如果估计值取自有关资料，所给出的不确定度为标准差的k倍时候。(一般k为3)Ux=U/k

第六十五页，共七十九页，2022年，8月28日B类标准测量不确定度分量评定其他情况：4、如果估计值在区间[x-a,x+a]反正弦分布。Ux=a/1.414

第六十六页，共七十九页，2022年，8月28日第六十七页，共七十九页，2022年，8月28日B类标准测量不确定度的自由度这里，比值一般取多少呢？通常u一般为标准差的3倍，此时概率为99.7％。对于B类不确定度来讲，自由度越大，意味什么？第六十八页，共七十九页，2022年，8月28日从热电偶的校准证书得知，400℃时的修正值b＝0.5℃，其不确定度为2.0℃，置信水准为99％。其覆盖因子k=2.58,故由热电偶校准引入的B类标准不确定度u(b)为：

u(b)＝2.0℃/2.58=0.78℃（9）第六十九页，共七十九页，2022年，8月28日至