人教A版(2019)必修第一册1 2.1 等式性质与不等式性质学案

2．1等式性质与不等式性质考点学习目标核心素养不等关系的表示会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系数学建模数(式)大小比较会运用作差法比较两个数或式的大小逻辑推理不等式的性质掌握不等式的性质，会用不等式的性质证明不等式或解决范围问题逻辑推理ifl读、写学-尝试预习教材P37—P42,并思考以下问题：1．如何比较两个实数的大小？2．等式的基本性质有哪些？3．不等式的基本性质有哪些？新知初探1•比较实数a,b的大小(1)文字叙述如果a—b是正数，那么a>b；如果a_b等于0,那么a=b；如果a_b是负数，那么a<b,反过来也对.(2)符号表示a——b>0oa>b；a——b=0oa=b：a——bv0oa<b.■名师点拨符号“o”叫做等价号，读作“等价于”,“poq”的含义是：p可以推出q,q也可以推出p,即p与q可以互推.2.常用的不等式的基本性质性质1a>bob<a；性质2a>b，b>cda>c；性质3如果a>b，那么a+c>b+c；性质4如果a>b,c>0,那么ac>bc；如果a>b,c<0,那么ac<bc；性质5如果a>b,c>d,那么a+c>b+d；性质6如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd；性质7如果a>b>0,那么an>bn(nN,n三2).■名师点拨对不等式性质的五点说明性质1和性质2，分别称为“对称性”与“传递性”，在它们的证明中，要用到比较大小的“定义”等知识．性质3(即可加性)的依据是移项法则“不等式中任何一项的符号变成相反的符号后，可以把它从一边移到另一边”.性质4(即可乘性)在使用中要特别注意研究“乘数的符号”.性质5(即同向可加性)，即“同向不等式只能相加，不等号方向不变，不能相减”.性质6和性质7(即同向同正可乘性，可乘方性)，即均为正数的同向不等式相乘，得同向不等式，并无相除式．a判断正误(正确的打“丁”，错误的打“X”)实数a不大于一2,用不等式表示为a±—2.()不等式x±2的含义是指x不小于2.()若a<b或a=b之中有一个正确，则aWb正确.()若a+c>b+d,则a>b,c>d.()答案：(1)X(2)V(3)V(4)X因某工厂在招标会上，购得甲材料x吨，乙材料y吨，若维持工厂正常生产，甲、乙两种材料总量至少需要120吨，则x,y应满足的不等关系是()A.x＋y>120B.x＋y<120C.x+y三120D.x+yW120答案：C倒已知a>b,c>d,且c,d均不为0,那么下列不等式一定成立的是()A.ad>bcB.ac>bdC.a——c>b——dD.a+c>b+d解析：选D.令a二2,b=-2,c=3,d=-6,可排除A,B,C.由不等式的性质5知，D一定成立．创若xvl,M=x2+x,N=4x-2，则M与N的大小关系为解析：M-N=x2+x-4x+2=x2-3x+2=(x-1)(x-2),又因为x<1，所以x-1<0,x-2<0，所以(x-1)(x-2)>0，所以M>N.答案：M>N用不等式(组)表示不等关系例1(1)某车工计划在15天里加工零件408个，最初三天中，每天加工24个，则以后平均每天至少需加工多少个,才能在规定的时间内超额完成任务？设以后平均每天至少需要加工x个，求解此问题需要构建的不等关系式为．(2)用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不小于110m2,靠墙的一边长为xm.试用不等式表示其中的不等关系.【解】(1)因为该车工3天后平均每天需加工x个零件，加工(15-3)天共加工12x个零件，15天里共加工(3X24+12x)个零件，则3X24+12x>408.故填72+12x>408.由于矩形菜园靠墙的一边长为xm，而墙长为18m，所以0<xW18,这时菜园的另一条边长为四厂^二(15-£(m).因此菜园面积S二x(15-£,依题意有S三110,即x(15-£三110,故该题中的不等关系可用不等式表示为0<xW18,x(15-£±110.1.本例(2)中，若矩形的长、宽都不能超过11m,对面积没有要求，则x应满足的不等关系是什么？x解：因为矩形的另一边15-产11，所以x±8，又0<xW18，且xW11，所以8WxW11.

2.本例(2)中，若要求x£N，则x可以取哪些值？解：函数S二x(15-£的对称轴方程为x=15，令S2110,xEN，经检验当x=13,14,15,16,17时S2110.反〕思［归［纳利用不等式表示不等关系时的注意点(1)必须是具有相同性质，可以比较大小的两个量才可用不等式来表示，没有可比性的两个量之间不能用不等式来表示．(2)在用不等式表示实际问题时，一定要注意单位统1．某厂技术科组织工人参加某项技能测试，某职工参加完测试后对自己的成绩进行了如下估计：理论考试成绩x超过85分，技能操作成绩y不低于90分，答辩面试成绩z高于95分，用不等式组表示为95分，用不等式组表示为()fx>85x±85B.jy>90、z>95B.jy>90、z>95x±85D.<y>90、z±95、z±95x>85C.<y±90、z>95解析：选C.x超过85分表示为x>85,y不低于90分表示为y三90,z高于95分，表示为z>95，故选C.2.雷电的温度大约是28000°C,比太阳表面温度的4.5倍还要高.设太阳表面温度为t°C,那么t应满足的关系式.解析：由题意得，太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度，即4.5tv28000.答案：4.5t<28000擁咒点質数(式)大小的比较例-(1)比较3x3与3x2—x+1的大小.(2)已知a±1,试比较M=\'«+1—\；2和N=\：7—、ja—1的大小.【解】(1)3x3-(3x2-x+1)=(3x3-3x2)+(x-1)二3x2(x-1)+(x-1)=(3x2+1)(x-1).当xW1时，有x-1W0，而3x2+1>0.所以(3x2+1)(x-1)W0，所以3x3<3x2-x+1.当x>1时，(3x2＋1)(x－1)>0，所以3x3>3x2－x＋1.(2)因为aWl,所以M=\'a+1-\!a>0,N二\：a-a-1>0.因为\：因为\：G+\:a1>0,所以M<1，所以M<N.利用作差法比较大小的四个步骤(1)作差：对要比较大小的两个式子作差．变形：对差式通过通分、因式分解、配方等手段进行变形．判断符号：对变形后的结果结合题设条件判断出差的符号．作出结论．［注意］上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“判断符号”是目的，“变形”是关键．其中变形的技巧较多，常见的有因式分解法、配方法、有理化法等．若xWR,yWR，贝9()A.x2+y2>2xy—1B.x2+y2=2xy—1C.x2+y2<2xy—1D.x2+y2W2xy—1解析：选A.因为X2+y2-(2xy-1)=X2-2xy+y2+1=(x-y)2+1>0，所以X2+y2>2xy-1,故选A.已知x>y>0,试比较x3—2y3与xy2—2x2y的大小.解：由题意，知(X3-2y3)-(xy2-2x2y)二x3-xy2+2x2y-2y3二x(x2-y2)+2y(x2-y2)二(x2y2)(x+2y)二(x-y)(x+y)(x+2y),因为x>y>0，所以x-y>0,x+y>0,x+2y>0,所以(X3-2y3)-(xy2-2x2y)>0，即X3-2『3>xy2-2x2y.3．比较5x2＋y2＋z2与2xy＋4x＋2z－2的大小．解因为5x2+y2+Z2-(2xy+4x+2z-2)二4x2-4x+1+X2-2xy+y2+Z2-2z+1二(2x-1)2+(x-y)2+(z-1)2^0,所以5x2+y2+z2^2xy+4x+2z-2,当且仅当x二y二扌且z二1时取到举a等号．徐兗点不等式的基本性质闵'(1)对于实数a,b,c,有下列说法：若a>b,则acvbc；若ac2>bc2，则a>b；若avbvO,则a2>ab>b2；其中正确的是(填序号)．(2)若c>a>b>0,求证：">匕［.c－ac－b【解】(1)①中，c的正、负或是否为0未知，因而判断ac与bc的大小缺乏依据，故①不正确．中，由ac2>bc2，知cHO，故c2>0，所以a>b成立，故②正确.中,\a<b，na2>ab,ja<b，Wb>b2，所以a2>ab>b2，故③正确•故填②③.lavOIbvO(2)证明：因为a>b>0n-a<-bnc-avc-b.因为c>a，所以c-a>0，所以0<c-avc-b.上式两边同乘丄，得丄>丄>0.(c-a)(c-b)c-ac-b又因为a>b>0，所以亠>丄c-ac-b规［律万孫利用不等式的性质证明不等式的方法简单不等式的证明可直接由已知条件，利用不等式的性质，通过对不等式变形得证.对于不等号两边式子都比较复杂的情况，直接利用不等式的性质不易得证，可考虑将不等式的两边作差，然后进行变形，根据条件确定每一个因式(式子)的符号，利用符号法

则判断最终的符号，完成证明．1．给出下列命题：②a2>b2Oa>b；②a2>b2Oa>b；_11®a>b^a<b-B．1—b③a>bh<1；a其中正确的命题个数是()A．0C．2DC．2解析：选A.由性质7可知，只有当a>b>0时，a2>b2才成立，故①②都错误;对于③，只有当a>0且a>b时，-<1才成立，故③错误;d当a>0,b<0时，->1,故④错误.a-2.已知a>b>0,求证：¥>也.-a证明：因为a>b>0，所以、.茁><?>0.①又因为a>b>0，两边同乘正数書，得->^>0.®①②两式相乘，①②两式相乘，探究点日利用不等式性质求代数式的取值范围创'已知一1<x<4,2vyv3.⑴求x-y的取值范围；(2)求3x＋2y的取值范围．【解】⑴因为-1<x<4,2<y<3，所以-3<-y<-2,所以-4<x-y<2.(2)由-1<x<4,2<y<3，得-3<3x<12,4<2y<6，所以1<3x+2y<18.1.若将本例条件改为一1<x<y<3,求x—y的取值范围.解：因为-1<x<3，-1<y<3，所以-3<-y<1，所以-4<x-y<4.又因为x<y,所以x-y<0，所以-4<x-y<0.2.若将本例条件改为一1<x+y<4,2<x—y<3，求3x+2y的取值范围.

解：设3x＋2y二m(x+y)+n(x-y),m+n=3,J所以'm-n二2,即3x+2y=|(x+y)+2(x-y),又因为－1<x＋y<4，2<x－y<3，所以-Hx+y)<10,1<|(x-y)<2，所以-|<|(x+y)+|(x-y)v23，即-|<3x+2y<23.利用不等式的性质求取值范围的策略（1）建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围．（2）同向（异向）不等式的两边可以相加（相减），这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．［注意］求解这种不等式问题要特别注意不能简单地分别求出单个变量的范围，再去求其他不等式的范围．1•若—1vav"<1,贝9下列各式中恒成立的是（）A.-2<a~P<0C.C.—lva—B<0D.—Iva—"vl解析：选A.由－lvavl，－lv"vl，所以-2va-"<2.又因为av"，故-2va-"<0.a2.已知12vav60,15<bv36，求a—b与b的取值范围.

解：因为15vbv36，所以-36<-b<-15,所以12-36<a-b<60-15,即-24va-b<45.因为36<局所以!<建，所以抵<4.所以!<建，所以抵<4.1.已知b<2a,3d<c，则下列不等式一定成立的是（）A．2a－c>b－3dB．2ac>3bdC.2a＋c>b＋3dD.2a＋3d>b＋c解析：选C.由于b<2a，3d<c，则由不等式的性质得b＋3d<2a＋c，故选C.2.已知Ova]V1,0<a2<1,记M=a]a2,N=a1+a2~1,则M与N的大小关系是()M<NB.M>NC.M=ND.MAN解析：选B.因为0<a1<1,0<a2<1,所以-1<。]-1vO,-1<a2-1vO,所以M-N=a1a2-(a1+a2-1)二a1a2-a1-a2+1=a1(a2-1)-@-1)二(a1-1)@-1)>0，所以M>N，故选b22bb22b=.(填“〉”<”或“=”)3.已知a,b为实数，且aMb,a<0,则a.解析：因为aMb,a<0,所以a-(2b-乎)二一~~~<0，所以a<2b-乎•答案：<4.已知a,b^R,x=a3—b,y=a2b~a,试比较x与y的大小.解:因为x-y=a3-b-a2b+a二a2(a-b)+a-b二(a-b)(a2+1),所以当a>b时，x-y>0，所以x>y；当a-b时，x-y二0,所以x二y；当a<b时，当a<b时，x-y<0，所以x<y.[A基础达标]1.高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120km/h,行驶过程中，同一车道上的车间距d不得小于10m,用不等式表示为（）eW120km/h或d±10meW120km/h<d三10meW120km/hd三10m解析：选B.依据题意直接将条件中的不等关系转化为不等式，即为eW120km/h,d±10m.2.下列说法正确的是()A.若a>b,c>d，贝9ac>bd右b>c，贝9lalb三laic若a>b,c>d，贝9a_c>b_d解析：选C.A项:a,b,c,d的符号不确定，故无法判断；B项：不知道ab的符号，无法确定a,b的大小；C项：lal^O，所以lalb三laic成立；D项：同向不等式不能相减.3.若y1=3x2—x+1,y2=2x2+x—1,则y1与y2的大小关系是()A.y02B.丁1=丁2C.y1>y2D.随x值变化而变化解析：选C.y1-y2二(3x2_x+1)-(2x2+x_1)—X2-2x+2—(x-1)2+1>0,所以y1>y2•故选C.4.已知a>b>0,则下列不等式一定成立的是()a.a+b>b+aB.a.a+b>b+aC.bC.b>b±1aa＋1D.b-b>a-a解析：选A.因为a>b>0，所以b>1>0，所以a+j>b+a，故选A5.设a>b>c，且a+b+c=O,则下列不等式恒成立的是（）A.ab>bcB.ac>bcab>acD.albl>clbl解析：选C.因为a>b>c，且a+b+c—0,所以a>0，c<0，b可正、可负、可为零．由b>c，a>0知，ab>ac.故选C.给出四个条件：①b>O>a,②0>a>b,③a>O>b,④a>b>0,能推得*<£成立的是-11b－a解析：a<b°二r<o，所以①②④能使它成立.答案：①②④—辆汽车原来每天行驶xkm,如果这辆汽车每天行驶的路程比原来多19km,那么在8天内它的行程就超过2200km,写成不等式为；如果它每天行驶的路程比原来少12km,那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为.解析：①原来每天行驶xkm,现在每天行驶(x+⑼km.则不等关系“在8天内的行程超过2200km”，写成不等式为8(x+⑼>2200.②若每天行驶(x-12)km,则不等关系“原来行驶8天的路程现在花9天多时间”，写成不等式为8x>9(x-12)．答案：8(x＋19)>22008x>9(x－12)cd已知三个不等式①ab>0；②^初；③bc>ad.若以其中的两个作为条件，余下的一个作为结论,则可以组成个正确命题.解析：①②n③，③①n②.(证明略)bc-ad由②得~~oT>0，又由③得加-ad>0•所以ab>0n①•所以可以组成3个正确命题.答案：3已知a,b^R,a+b>0,试比较a3+b3与ab2+a2b的大小.解：因为a+b>0,(a-b)2±0,所以a3+b3-ab2-a2b二a3-a2b+b3-ab2-a2(a-b)+b2(b-a)二(a-b)(a2-b2)=(a-b)(a-b)(a+b)-(a-b)2(a+b)三0,所以a3+b3三ab2+a2b.10.已知一2vaW3,1Wbv2，试求下列代数式的取值范围.(1)|a|；(2)a＋b；(3)a－b；(4)2a－3b.解：(l)lalW[O,3].(2)－1<a＋b<5.⑶依题意得-2vaW3,-2<-bW-1,相加得-4<a-bW2；(4)由-2<aW3得-4v2aW6，①由1Wb<2得-6<-3bW-3,②由①+②得，-10<2a-3bW3.[B能力提升](2019.河南省实验中学月考[若丄卜。，贝y下列结论中不正确的是()A．a2<b2B．ab<b2C.a＋b<0D.lal＋lbl>la＋bl解析：选D.因为a<1<0，所以bvavo，所以b2>a2,abvb?,a+b<0,所以A,B,C均正确，因为b<a<0，所以lal+lbl=la+bl,故D错误，故选D.TOC\o"1-5"\h\znn若aB满足一^vavBvy，贝V2a~P的取值范围是()A.—n<2a—B<0B