数形结合思想在中学数学中的应用本科毕业论文

学号： 数形结合思想在中学数学中的应用学院名称：数学与信息科学学院专业名称：数学与应用数学专业年级班别：姓名：指导教师：2021年05月数形结合思想在中学数学中的应用摘要数与形是数学中两个最主要最根本的研究对象，数与形是紧密相连的，在一些特定的条件下，数与形是可以相互转化的，这就是“数形结合〞。数形结合作为数学学习的一个重要思想，在数学学科中占有重要的地位。本文中主要介绍了数形结合研究背景及意义；在中学教学中的地位；应用数形结合的原那么和途径以及数形结合思想在中学解题中的应用等问题。通过分析、比拟和归纳充分展现数形结合思想在解题中的特点和优越性，从而在实际教学中要将数形结合思想融汇到课堂中，培养学生加强数形结合思想的意识。关键词数与形；数形结合；中学数学ThecombinationofshapesandnumberinthemiddleschoolAbstractThenumberandshapearethetwomostmajorandbasicresearchobjectsinmathematics,andtheyhavecloserelationship.Insomespecificconditions,theyareinterchangeable,whichisnamedthecombinationofshapesandnumber.Thecombinationofshapesandnumberisanimportantthoughtinmathematicsstudying,whileitoccupiesanimportantpositioninmathematics,too.Thisarticlemainlyintroduces：theresearchbackgroundandsignificanceofthecombinationofshapesandnumber,it'spositioninthemiddleschoolteaching,theprinciplesandwaysofit'sapplication,andtheapplicationofthecombinationofshapesandnumberthoughtinthemiddleschoolproblemsolvingandsoon.Throughtheanalysis,comparisonandinduction,itshowsthecombinationofshapesandnumberthought'scharacteristicandadvantagesintheproblemsolving,whichinactualteaching,weshouldformtogetherwiththisthoughttotheclassroom,trainingstudentstostrengthentheconsciousnessofthecombinationofshapesandnumberthought.KeywordsNumberandshapeThecombinationofnumberandshapesThemathematicsofthemiddleschool目录TOC\o"1-3"\h\u21741摘要20217 120217Abstract 214580前言 4275311数形结合思想方法概述 4265491.1数形结合思想的研究背景 4265231.2数形结合思想的研究意义及作用 5148892数形结合思想方法在中学数学教学中的地位 5321102.1从新课程标准对思维能力的要求看数形结合 5117162.2从新课程教学内容的特点来看数形结合 5117162.3从高考题设计背景来看数形结合 6280323数形结合思想应用的途径和原那么 6160033.1．数形结合的途径 6213833.2．数形结合的原那么 746764数形结合思想方法在中学解题中的应用 723265“数〞中思“形〞 7274954.1.1利用韦恩图法解决集合之间的关系问题 7250404.1.2利用数轴解决集合的有关运算 8148394.1.3数形结合思想在解决对称问题中的应用 8306644.1.4利用函数图像比拟函数值的大小 9169494.1.5数形结合思想在解方程问题中的应用 949324.1.6数形结合解决最值问题 106982“形〞中觅“数〞 10115525结束语 1126530参考文献 1124282致谢 12前言在数学思想中，有一类思想是表达根底数学中的具有奠基性和总结性的思维成果，这些思想可以称之为根本数学思想。中学阶段的根本数学思想包括：分类讨论的思想、数形结合的思想、变换与转化的思想、整体思想、函数与方程的思想、抽样统计思想、极限思想等等。中学数学中处处渗透着根本数学思想，如果能使它落实到学生学习和运用数学的思维活动上，它就能在开展学生的数学能力方面发挥出一种方法论的功能。在这些数学思想方法中数形结合思想是一种很重要的方法，它贯穿于整个中学数学的课程。一直以来数与形就是两个不可分割的对象，他们在一定程度上可以相互转换，我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非〞，即数形结合在一起好处很多，而独立分开却会带来很多麻烦，从这可以看出数与形的根本性质，数与形是不可分割的，数形结合在实际问题中是紧密结合在一起的。而数形结合主要是指数与形之间的一一对应关系。例如函数图象与函数表达式之间的关系。在数学问题中假设能“以数示形，以形思数，数形渗透〞，那么能加强知识的横纵联系〔1〕。对中学数学中数形结合思想的研究有助于我们更好的掌握中学数学知识，增强解题能力，特别是在一些题目中如选这题、填空题，在小题目中经常考察数形结合思想，如果熟练掌握了数形结合思想并加以巧妙利用，那么我们将取得事半功倍的效果，能帮助我们在高考中能取得时间和效率的优势，最终让你取得优异成绩。那么接下来我们将要研究数形结合思想在我们中学中到底有哪些用处，我们解什么样问题时需要用到数形结合思想？1数形结合思想方法概述1.1数形结合思想的研究背景数学以现实世界的数量关系和空间形式作为研究的对象，而数和形是相互联系，也是可以相互转化的。早在数学萌芽时期，人们在度量长度、面积和体积的过程中，就把数和形式联系起来了〔8〕。我国宋元时期，系统地引进了几何问题代数画化的方法，用代数式描述某些几何特征，把图形之间的几何关系表达成代数式之间的代数关系。“数形结合〞一词正式出现在华罗庚先生于1964年1月撰写的?谈谈与蜂房结构有关的数学问题?的科普小册子中。“数形结合〞的应用大致又可以分为两种情形：第一种情形是“以数解形〞，而第二种是“以形助数〞。“以数解形〞就是有些图形过于简单，直观观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长.角度等等。“以形助数〞是指把抽象的数学语言转化为直观的图形，可防止繁杂的计算，获得出奇制胜的解法。数形结合思想在中学教学中有着重要的研究意义。首先，“数形结合〞能更好帮助学生对所学知识的掌握与记忆。例如：在研究函数时，可以利用函数图形来记忆有关函数的知识点，像函数的定义域.值域.单调性.奇偶性.周期性.有界性以及凹凸性等。其次，应用“数形结合〞能培养学生的数学直觉思维能力。第三，数形结合思想有利于培养学生的发散思维能力。第四，应用“数形结合〞有益于培养学生的创造性思维能力。“数无形时不直观，形无数时难入微〞道出了数形结合的辩证关系，数形结合简言之就是：见到数量就应想到它的几何意义，见到图形就应想到它的数量关系。在数学教学中，数形结合对启发思路，理解题意，分析思考，判断反应都有着重要的作用。在中学教学中，数形结合已成为一条重要的教学原那么。2数形结合思想方法在中学数学教学中的地位数形结合思想能帮助学生树立现代思维意识：第一通过数与形的有机结合，把形象思维与抽象思维有机地结合，尽可能地先形象后抽象，不但能促进这两种思维能力同步开展，还为学生初步形成辩证思维能力创造了条件。第二通过数形结合，能够有的放矢地帮助学生从多角度、多层次出发地思考问题，养成多向性思维的好习惯。第三通过数形结合引导学生变静态思维方式为动态思维方式，也就是以运动、变化、联系的观点考虑问题，更好地把握事情的本质。由此可见，新课程把数形结合思想作为中学数学中的重要思想，要求教师能充分渗透数形结合思想，挖掘它的教学功能和解题功能。数学根本知识与数学思想方法是课堂教学内容的两个不可分割的有机组成部份。数学思想方法是解决数学问题的根本思想和手段，它是人们探索数学真理，求解数学问题的过程中逐步积累起来的，并蕴含于各个数学分支的公理、定理、公式、法那么和解决问题的过程中，是人类珍贵的精神财富。数学思想方法产生数学知识，数学知识蕴含数学思想和方法，两者的联系是辩证的统一。这就决定了在中学数学课堂教学中，数学知识的教学不能代替数学思想方法的教学，课堂教学的目的，应在于运用数学思想方法去揭示数学知识之间的内在联系，教师在课堂教学中，既要重视数学知识的教学，更要突出数学思想和方法的教学，通过数学思想和方法的教学，使我们的学生毕业之后，“不管做什么业务工作，唯有深深铭刻在头脑中的数学精神，数学思想方法和着眼点，都随时随地发生作用，使他们终生受用。〞〔2〕然而在课堂教学中教师过于呆板地强调着逻辑思维能力。在教学中无视对直观图形的利用，不能很好地利用具体形象来化解对书本中一些抽象的结论的理解。无视学生形象思维的培养。学生对于现在这种过于陈旧的课堂教学模式不能产生“亲和感〞，感到枯燥，厌恶。事实上教材中表达数形结合思想方法的内容很多，可以通过数形结合给代数提供几何模型，形象直观地揭示问题的本质，减轻学生学习的负担，从而引发学生学习数学的兴趣。利用数形结合有利于进行初、高中数学教学的过渡衔接。初中数学的教学内容较具体，模仿性的练习较多，而高中数学的内容抽象性较强，强对数学概念的理解根底上的运用，对思维能力、运算能力、空间想象能力，数学语言的运用要求较高。因此学生对于高中数学的学习要有一个适应过程。教师更要帮助学生渡过这个关口。从高一数学内容来看，通过数形结合，从具体到抽象恰好符合学生的认知规律。随着数学教育改革不断深入，高考命题朝着多样性和多变性开展，增加了应用题，开放题，情景题，强调检测学生的创造能力。重在考查对知识理解的准确性、深刻性，重在考查知识的综合应用，着眼于对数学思想方法、数学能力的考查。高考试题这种以能力立意的积极导向，决定了我们在教学中必须以数学思想指导知识、方法的运用，整体把握各局部知识的内在联系。而数形结合是中学数学中最重要、最根本的数学思想方法之一。利用数形结合设题，一方面考查学生对数学的符号语言，数学的图形语言的理解能力，语言的互补、互译、互化能力，即在数学本质上的有欲转化能力，另一方面考查学生的构图能力，以及对图形的想象能力，综合应用知识的能力；考查数形结合的应用能力最能展示学生能否进行“数学地思维〞。因此数形结合在每年的高考中都是一道亮丽的风景线，如果能从图形特征中发现数量关系，又能从数量关系中发现图形特征，并准确构图那么很快就能得出正确答案。3数形结合思想应用的途径和原那么3.1．数形结合的途径〔1〕通过坐标系形题数解借助于建立直角坐标系、复平面可以将图形问题代数化。这一方法在解析几何中表达的相当充分；值得强调的是，形题数解时，通过辅助角引入三角函数也是常常运用的技巧。实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义〔3〕。如等式SKIPIF1<0〔2〕通过转化构造数题形解许多代数结构都有着对应的几何意义，据此，可以将数与形进行巧妙地转化〔4〕。例如，将a＞0与距离互化，将a2与面积互化，将a2+b2+ab=a2+b2－2与余弦定理沟通，将a≥b≥c＞0且b+c＞a中的a、b、c与三角形的三边沟通，将有序实数对和点沟通，将二元一次方程与直线、将二元二次方程与相应的圆锥曲线对应等等。这种代数结构向几何结构的转化常常表现为构造一个图形。另外，函数的图象也是实现数形转化的有效工具之一，正是基于此，函数思想和数形结合思想经常借助于相伴而充分地发挥作用。3.2．数形结合的原那么〔1〕等价性原那么在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否那么解题将会出现漏洞.有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，但它同时也是抽象而严格证明的诱导。〔2〕双向性原那么在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析，在许多时候是很难行得通的。例如，在解析几何中，我们主要是运用代数的方法来研究几何问题，但是在许多时候，假设能充分地挖掘利用图形的几何特征，将会使得复杂的问题简单化。〔3〕简单性原那么就是找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法、或者兼用两种方法来表达解题过程，那么取决于那种方法更为简单。而不是去刻意追求一种流性的模式——代数问题运用几何方法，几何问题寻找代数方法。4数形结合思想方法在中学解题中的应用“数〞中思“形〞利用韦恩图法解决集合之间的关系问题一般情况我们用圆来表示集合，两个圆相交那么表示两个集合有公共的元素，两个圆相离就表示两个集合没有公共的元素。利用韦恩图法能直观地解答有关集合之间的关系的问题。例1某校先后举行数理化三科竞赛，学生中至少参加一科的：数学807人，物理739人，化学437人；至少参加两科的：数理593人，数化371人，理化267人；三科都参加的213人，试计算参加竞赛总人数。解我们用圆A、B、C分别表示参加数理化竞赛的人数，那么三个圆的公共局部正好表示同时参加数理化小组的人数。用n表示集合的元素，那么有：CC〔化〕A〔数〕B〔理〕SKIPIF1<0SKIPIF1<0即：参加竞赛总人数为965人.4.1.2利用数轴解决集合的有关运算例2设SKIPIF1<0求SKIPIF1<0。·－4－２０１２４３。·－4－２０１２４３。·SKIPIF1<0(公共局部)SKIPIF1<0(整个数轴都被覆盖)SKIPIF1<0(除去重合局部剩下的区域)SKIPIF1<0(除去覆盖局部剩下的区域)4.1.3数形结合思想在解决对称问题中的应用例3如图，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，从点SKIPIF1<0射出的光线经直线SKIPIF1<0反向后再射到直线SKIPIF1<0上，最后经直线SKIPIF1<0反射后又回到SKIPIF1<0点，那么光线所经过的路程是〔〕 A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0NNMCSKIPIF1<0D[解题思路]利用对称知识，将折线SKIPIF1<0的长度转化为折线SKIPIF1<0的长度[解析]设点SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0的对称点为SKIPIF1<0，关于SKIPIF1<0轴的对称点为SKIPIF1<0，那么光线所经过的路程SKIPIF1<0的长SKIPIF1<0SKIPIF1<0本例是运用数形结合解题的典范，关键是灵活利用平面几何知识与对称的性质实现转化，一般地，在直线上求一点到两个定点的距离之和的最小值，需利用对称将两条折线由同侧化为异侧，在直线上求一点到两个定点的距离之差的最大值，需利用对称，将两条折线由异侧化为同侧，从而实现转化(9)。4.1.4利用函数图像比拟函数值的大小SKIPIF1<00ySKIPIF1<0SKIPIF1<00ySKIPIF1<0SKIPIF1<011SKIPIF1<0－1•••SKIPIF1<0SKIPIF1<0x例4试判断SKIPIF1<0三个数间的大小顺序．分析这三个数我们可以看成三个函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0时，所对应的函数值．在同一坐标系内作出这2020xyy=3x21y=2-x地看出当SKIPIF1<0时，所对应的三个点SKIPIF1<0的位置，从而可得出结论：SKIPIF1<0．4.1.5数形结合思想在解方程问题中的应用例5解方程SKIPIF1<0分析由方程两边的表达式我们可以联想起函数SKIPIF1<0,作出这两个函数的图像,这两个函数图像交点的横坐标为方程的近似解，可以看出方程的近似解为SKIPIF1<0．利用数形结合思想有时可以解决一些比拟复杂的最值和值域问题，特别是一些三角函数的题目和我们通常见到的线性规划问题〔6〕。例6函数SKIPIF1<0，求函数的最小值.解由SKIPIF1<0的结构形式，我们可以联想到几何当中直线的斜率公式，即SKIPIF1<0可以看成过点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0的直线的斜率．A是动点且在圆SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0为定点，作出图象，由图可知：SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0，所以圆SKIPIF1<0的切线SKIPIF1<0的倾斜角为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．“形〞中觅“数〞y－10x11例7设方程SKIPIF1<0，试讨论SKIPIF1<0取不同范围的值时其不同解的个数的情况．y－10x11分析我们可把这个问题转化为确定函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0图像交点个数的情况，因函数SKIPIF1<0表示－1平行于SKIPIF1<0轴的所有直线，从图像可以直观看出:－1①当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0与SKIPIF1<0没有交点，这时原方程无解;②当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0与SKIPIF1<0有两个交点,原方程有两个不同的解;③当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0与SKIPIF1<0有四个不同交点，原方程不同解的个数有四个；④当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0与SKIPIF1<0有三个交点，原方程不同解的个数有三个；⑤当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0与SKIPIF1<0有两个交点，原方程不同解的个数有三个．例8直线和双曲线有且仅有一个公共点，求k的不同取值个数。分析作出双曲线的图象，并注意到直线是过定点〔〕的直线系，双曲线的渐近线方程为。所以过〔〕点且和渐近线平行的直线与双曲线有且仅有一个公共点，此时SKIPIF1<0取两个不同值，此外，过〔〕点且和双曲线相切的直线与双曲线有且仅有一个公共点，此时SKIPIF1<0取两个不同的值，故SKIPIF1<0有四个不同取值。在做很多题目时把图形画出来，问题自然就解决了，利用“数〞与“形〞的相互转化来解决几何问题，它具有直观性、灵活性等特点。数形完美的结合，就能到达事半功倍的效果〔7〕。5结束语数无形不直观，形无数难入微。总之，数形结合思想方法是一种非常有用的数学方法，它能使复杂问题简单化，抽象问题具体化(10)。另外，它对于我们进行数学解题和数学研究是非常有帮助的。因此，我们应该在平时的学习和研究中注意培养这种思想意识，真正做到胸中有图，图中有数，不断拓展我们的思维。在教学中要注重数形结合思想方法的培养，在培养学生数形结合思想的过程中,要充分挖掘教材内容,将数形结合思想渗透于具体的问题中,在解决问题中让学生正确理解“数〞与“形〞的相对性,使之有机地结合起来。让学生真正的将数形结合思想应用到解题当中去，真正的做到学以致用。参考文献[1]中华人民共和国教育部制定.数学课程标准(实验)[M].北京:人民教育出版社,2003.[2]周春荔，?数学观与方法论?，首都师范大学出版社，1996年8月第一次出版.[3]张亮．数形结合的几个运用[J]．井冈山师范学院学报．2003(05)．[4]刘雨智.\o"浅谈数形结合在解题中的应用"浅谈数形结合在解题中的应用[J].HYPERLINK"://218.198.86.205/kns50/Navi/Bridge.aspx?DBCode=cjfd&LinkType=BaseLink&Field=BaseID&TableName=CJFDBASEINFO&NaviLink=%e5%90%84%e7%95%8c(%e7%a7%91%e6%8a%80%e4%b8%8e%e6%95