电动力学-静电场答案

-编号： 班级： **：： 成绩：第1章静电场1.证明均匀介质部的极化电荷体密度，总等于自由电荷体密度的p f－〔1－0 〕倍。2. 有一外半径分别为r和r的空心介质球，介质的介电常数为，使介质均1 2匀带静止自由电荷，求f〔1〕空间各点的电场；〔2〕极化体电荷和极化面电荷分布。解1〕由电荷分布的对称性可知：电场分布也是对称的。电场方向沿径向故：rr1时4r2E(r)fdV0或E(r)0V0rrr时球壳体：12在rr的球形外：2式中写在一起0r2〕PDE()f[1(r1)3]r03r0P0〔与第一题相符〕pf外表：外外表：3.证明：当两种绝缘介质的分界面上不带面自由电荷时，电场线的偏折. z-满足：tan22tan11式中和分别为两介质的介电常数，和分别为界面两侧电场线与法线1 2 1 2的夹角。证明：绝缘介质分界面上自由电荷密度 0，故边值关系为：fE E ,DD〔n(EE)0,n(DD)〕2t 1t 2n 1n 2 1 2 1 f假设两种介质都是线性均匀的，即DE，DE；111222上边两式为:EsinEsin，EcosEcos2211222111于是得：tan2211试用边值关系证明：在绝缘介质与导体的分界面上，在静电情况下，导体外的电场线总是垂直于导体外表。证明：设介质1为导体，介质2为绝缘体。2 绝缘体静电情况下：E0,D01导体11由边值关系：n(EE)0,n(DD)2121f可得：EE,D2nD2t1t1nf即，E0，D2t2nf对于各向同性线性介质DE所以，Ef n即导体外的电场线垂直于导体外表5. 如图1，有一厚度为2a，电荷密度为的均匀带电无限大平板，试用别0离变量法求空间电势的分布。.

Oz-解：以O原点建立如图坐标系，为根据问题的对称性，电势分布仅与*有关，即一维问题。容易写出定解问题： *xa时ieiexxx0时(x)0i直接求解得半径a，外半径为b的两个同心导体球壳，令球接地，外球带电量Q，试用别离变量法求空间电势分布。解.根据球对称性，空间电势分布仅与r有关，定结问题为：r=b时(12)dsQ120r0r求解得7. 均匀外电场中E，置入半径为R的导体球。求以下两种情况的电势分布。0 0〔1〕导体球上接有电池，使球保持电势为 ；〔2〕导体球上带有总电荷Q。0解建立球坐标系极轴方向为均匀电场方向，可知电势分布具有轴对称性，即电势仅与r有关1〕的定解问题为此时是导体球放入前，通过坐标原点的等势面的电势，用别离变量法解为02〕的定解问题为类似解为8. 介电常数为的无限均匀介质中，挖一个半径为a的空球，球心处置一电矩为p 的自由偶极子，试求空间电势分布。f解如图建立球坐标系，的方向为极轴e方向,afx0z的定解问题为pf. z-r=a时，；ieie0rr注意到泊松方程解的性质及电势分布具有轴对称性，可写为：i第二项为极化电荷激发的势，该项在球心应为有限值，故B=0n解的电势分布9．半径为R的均匀介质球中心置一自由偶极子p ，球外充满另一种介质，f求空间各点的电势和极化电荷分布〔介质球介电常数为，球外为〕。1 2解：求解与上题类似，只需,,012得pfr212pfr2R314r340111203pfr42r3rR2012极化电荷分布，在介质球10pfp，因此在球心处有一极化电偶极矩p10f在rR的界面上，由σnpp，p0p210可得，p03012pfcos202101123RrR0rR0112010.两个接地的无限大导电平面，其夹角为60，点电荷Q位于这个两面角的平面上，并与棱边〔两面角之交线〕相距为。试用电像法求真空中的电势。解：考虑到两个无限大导电平面是接地的，且点电荷Q位于双面角的平分线上，可按下面的方法求得像电荷的位置和大小：. z-〔1〕首先考虑半面ON'，为了满足ON'平面的电势为零，应在Q关于ON'对称的位置B处有一像电荷-Q,+Q-QN’〔2〕考虑半面ON，同样为了满足电势EB为零的要求，对于A、B处两个点电荷+Q-QFA+Q和-Q，应在A、B关于ON对称的位置C、D处有两个-Q、+Q，DCN+Q-Q〔3〕再考虑ON'半平面，对于C、D处的-Q和+Q，应在E、F处有两个像电荷+Q和-Q才能使导体ON'的电势为零。可以证明E、F处的两个点电荷+Q和-Q关于ON平面对称，因而可满足ON平面的电势为零，这样找出了5个像电荷，加上原来给定的点电荷，能够使角域的场方程和边界条件得到满足，所以角域任一点P处的电势可表为1QQQQQQx，4rrrrrr0123456其中r,r , ,r分别为给定电荷Q及其像电荷到P点的距离。1 2 6在其余空间的电势为0。11. 接地空心导体球，外半径为R和R，球离球心a处〔aR〕置一点电1 2 1荷Q，试用电像法求空间电势分布。导体上感应电荷分布在外表还是外外表？其量为多少？假设导体球壳不接地而是带电量Q ，则电势分布又如何？假设0导体球壳具有确定的电势，电势分布如何？0解：根据题意设球区域电势为，球外区域电势为，1 2. z-2Qxa,y,z10，2201RR12RR2Rrr’R1BaQbQ’R2设像电荷位置如下图，1'QQ4r10r'其中r,r'R2a22Racos12R2b22Rbcos12由边界条件01RR1要使上式对任意成立，必有Q22b2'22b2〔*〕112RQ2bQ'2a01解得bR2,ba，〔舍去〕11a2QRQR代入〔*〕，得1Q1Q'，'1a2a由上可知，'1QQ，4R2001QQR/a4R2a22Racos1222/a212RR2RR11.

1QQ4012R2/acos0z-假设使有确定，且两种情况有一样解1QQ，R0004021QQR/a，1R2a22RacosR42R2R4cos0211Ra2a由边界条件2n1n所以，外外表感应电荷面密度0，10RRR2外表感应电荷面密度QR2a213，20RRR14a22RacosRR22111总感应电荷QdsQ，〔可见全部在外表上〕感应2s12.四个点电荷，两个＋q，两个－q，分别处于边长为a的正方形的四个顶点，相邻的符号相反，求此电荷体系远处的电势。解：该系统电荷分布为分立分布，在如图坐标系中位置为q(0,0,0)，-q(a,0,0)，-q(0,a,0)，q(0,0,a)的准确到四极矩情况下，可求得远处的电势分布为qa23xy-q+q4r5。013.求面电荷密度按cos分布，半径为a的球的电矩。问该系统是0否存在电四极矩？+q-q解：pxxdv 在y对称，pdvds0，x x x x所以，P4a0ez3. z-q/r (ra)14.设真空中电场的势为qr2/(2a3)3q/(2a)(ra)式中r是离坐标原点的距离，a和q是常数，求相应的电荷分布。解：2，2，00qra时，20，r0ra时，2qr2/2a33q/2a3q/a300在一点电荷q的电场中，距离它为d的地方有一偶极子，其电矩pql，求在以下两种情况下，此电矩所受的力F和力矩L：〔1〕偶极子的电矩p沿点电荷电场的方向;〔2〕偶极子的电矩p垂直于点电