高1联赛数学讲缺课

44a、bb0．若存在整数cabc，则称ba，记作b∣a，并称b是a的一个约数（或因子，而称ab的一个倍数．如果不存在上述的整数c，则称b不能整除a，记作bŒa．an)②若b∣a，且b∣cb∣(ac，即某一个整数倍数的集合关于加法和减法运算封闭．反复应用这一性质，易知：若b∣a及b∣c，则对任意整数u、v有b∣(aucva1，a2an都是b的倍数，则b∣(a1an)④（带余除法）对任意两个整数ab(b0)，则存在qr，使得abqr，其中0rb，qrqa被b除得的（不完全）r称为a被b除得的余数．r共有br0a被ba（不超过a的最大整数，而带余除法 是关于余数的不等式：0≤rbb⑤证明b∣a的基本手法是将a分解为bnxnynxy)(xn1nxnynxy)(xn1xn2y

yn1)yn1)最大公约数是数论中的一个重要概念．设a、b不全为零，同时整除a、b的整数称为它们的公约数．因为a、ba、b的公约数只有有限多个，将其中最大的一个a、b的最大公约数，用符号(a，b)表示．当(a，b1ab的公约数只有1a与b互素（或互质对于多于两个的不全为零的整数a，b，，c(a，bc(a，bc1，则称abc互素．但此时并不能推出ab，c两两互素；但反过来，ab，c两两互素，则显然有(a，b，，c)1．)即有(a，bb，aa，b(a，b作为b的函数，以a为周期，即(a，baa，b．a、b0xyaxbya，bxx0y xx0bu（其中u为任意整数）xyyy 无穷组，并且在ab0x为正（负）y则相应的为负（正）特别的，两个整数a、bx、yaxby1，这通常称为a、bm0，则(ma，mbm(a，b b④若(a，b)d，则 ，1．因此，由两个不互素的整数，可自然地产生一对互素的整数 d⑤若(a，m1，(b，m1，则(ab，m1．这表明，与一个固定整数互素的整数构成的集合关于乘法封闭．由此可以推出：若(a，b1k0与(ak，b1，进而对任意l0有(ak，bl1⑦设正整数a、b之积是一个整数的k次幂(k2(a，b)1a、b都是整数的k次幂般地，下面介绍最小公倍数．设a、ba、b数a、b的公倍数有无穷多个，其中最小的正数称为a、b的最小公倍数，记作[a，b]．对于多个a，b，，c，可类似地定义它们的最小公倍数[a，b，，c．，，a，b，，c两两互素，则有abc∣d．大于1的整数n总有两个不同的正约数：1nn仅有这两个正约数（称为n没有真约数则称n为素数（或质数n有真约数，即n可表示为ab的形式（这里a、b为大于1的整数n为合数．于是，正整数被分成三类，数1单独作一类，素数类及合数类．p①大于1的整数必有素约数pnp整除npn1pnp∣n．pa、bp∣aba、bp整除．特别地可以推出，若素pan(n≥1p∣a．思考：如何证明素数有无穷多个？（p1，p2，，pk考虑数Np1 pk1，利用性质表示为npa1p pak，其中p，p，

是互不相同的素数，a，a

⑥n的全部正约数为pb1p pbk，其中b是满足0≤b≤a(i1，2，，k)的任意整数 由此易知，若记(nn(nn(n)(a11)(a2 (ak1)pa111pa21

pak1(n) 2

．p1 p2

pk数，通常是极其的，要作出其标准分解，则更加．证明某些特殊形式的数不是素数（或者给⑴mn0，有(22n1)∣(22m11⑶设p和q均为自然数，使得p111 1，证明：p可被1979整除1 2a1，m，n0(am1，an1a(m，n13a、b、c的最大公约数为1，并且a

cab4a、b、cdabcdabcd6（09年集训队测试题n是一个合数．证明存在正整数mm|n，mk

nd(nd3(m．这里d(k习题 证明 01能被1001共⑵n的十进制表示为n

a1a0（0ai9，ak0T(n)aa

（n个各位起始的数字的正、负交错和 nT(n被11由此得出被11整除的数的数字特征：11n的充分必要条件是11整除T(n习题 利用Bezout等式证明，任给整数n，分数21n4是既约分数14n习题 证明：对任意给定的