第二章1矩阵及其运算

第二章

矩

阵一.矩阵概念二.矩阵的基本运算三.逆矩阵四.矩阵的分块五.初等变换与初等矩阵省两个城市和引例1：省三个城市的交通联结情况如图。每条线上的数字表示联结该两城市的不同通路总数.得到下面的列表：401232引例2

某班级同学早餐情况面包鸡蛋牛奶张三李四421001与数表对应引例3某商场9月份电视机销售统计表21寸29寸34寸48寸长虹康佳创维1540377213040107251810与数表对应引例4线性方程组a11x1+a12x2+a13x3=b1a21x1+a22x2+a23x3=b2a31x1+a32x2+a33x3=b3与数表对应

上述问题必须引进一些新的概念，如矩阵.矩阵是一个非常重要的概念，不仅应用于线性代数，而且深入数学、物理、计算机等学科领域中.一.矩阵概念矩阵的定义特殊矩阵矩阵的应用实例1.矩阵的定义简记为m×n矩阵有m行，n列行下标列下标矩阵第i行第j列的元素表为：实矩阵:

元素是实数复矩阵：元素是复数例如：是一个实矩阵,是一个复矩阵,本书只讨论实矩阵。是一个矩阵,是一个矩阵.是一个矩阵,2.一些特殊的矩阵零矩阵(ZeroMatrix):注意：不同阶数的零矩阵是不相等的.例如：元素全为零的矩阵称为零矩阵，零矩阵记作或.行矩阵(RowMatrix):列矩阵(ColumnMatrix):方阵(SquareMatrix):只有一行的矩阵称为行矩阵(或行向量).只有一列的矩阵称为列矩阵(或列向量).例如：是一个3阶方阵.行数与列数都等于的矩阵，称为阶方阵.也可记作对角阵(DiagonalMatrix):方阵，主对角元素不全为零，非主对角元素都为零。单位矩阵(IdentityMatrix):记作:方阵，主对角元素全为1，其余元素都为零。行列式与矩阵的区别:1.一个是竖线，一个是圆括号.2.一个行列数相同,一个行列数可不同.数量矩阵(ScalarMatrix):方阵，主对角元素全为非零常数k，其余元素全为零。3.一个是算式，一个是数表.例2：(价格矩阵)四种食品(Food)在三家商店(Shop)中,单位量的售价(以某种货币单位计)可用以下矩阵给出3.矩阵的应用实例例3：(赢得矩阵)我国古代有“齐王赛马”的事例,说的战国时代齐王与其大将田忌赛马,双方约定各出上、中、下3个等级的马各一匹进行比赛,这样共赛马3次,每次比赛的败者付给胜者一百金.已知在同一等级马的比赛中，齐王之马可稳操胜券,但田忌的上、中等级的马分别可胜齐王中、下等级的马.齐王的赢得矩阵：齐王策略田忌策略比赛策略:(上、中、下)(中、上、下)(下、中、上)(上、下、中)(中、下、上)(下、上、中)例4：(系数矩阵)个变量与个变量之间的关系式表示从变量到变量的线性变换.其中为常数.系数矩阵线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.对应恒等变换单位阵对应二.矩阵的基本运算1.矩阵相等2.加减法3.数乘矩阵4.矩阵的乘法5.矩阵的转置6.方阵的行列式1.矩阵相等.矩阵相等:例：同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等面包鸡蛋牛奶张三李四321001如果第二天的情况是请问两天他们共吃了多少东西？面包鸡蛋牛奶张三李四4+32+21+10+00+01+1面包鸡蛋牛奶张三李四421001矩阵加法2.矩阵的加减法设有两个矩阵那末矩阵与的和记作，规定为加法:注意：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.例如：减法:负矩阵：注意：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行减法运算.矩阵加法满足的运算规律:如果第二天早上所有人都决定多吃一倍，请问早餐情况又会怎样？面包鸡蛋牛奶张三李四421001数乘面包鸡蛋牛奶张三李四4210013.数与矩阵相乘数乘:例注意：矩阵数乘与行列式数乘的区别.数乘矩阵满足的运算规律：矩阵的加法与数乘,统称为矩阵的线性运算.（设为矩阵，为数）例1

设A=

，B=，求2A+B。解

2A+B=+2如果面包，鸡蛋，牛奶的价格分别为（5，2，7）（单位：元/每单位食物），这两人早餐各花多少钱（单位：元）？矩阵乘法面包鸡蛋牛奶张三李四421001面包鸡蛋牛奶张三李四421001定义：并把此乘积记作4.矩阵与矩阵相乘设是一个矩阵，是一个矩阵，那么规定矩阵与矩阵的乘积是一个矩阵，其中矩阵A，B乘积的行数、列数间的关系是（m,s）×（s,n）=（m，n）用图示表示就是=mssnmn注意:只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.例如:不存在.乘积矩阵C的第i行第j列元素Cij

，等于A的第i行与B的第j列的对应元素乘积之和。例如要计算C23,就是用A的第2行各元素分别乘以B的第3列相应的各元素，然后相加。用图表示即为：第i行j列矩阵乘积的演示例１：例2：求AB故解:例3:计算下列矩阵的乘积.解:=(）例4：计算下列矩阵的乘积.矩阵乘法满足的运算规律：（其中为数）;（矩阵乘法无交换律，故上述是两条不同的规律）（Am×nBn×s）Cs×p=Am×n

(Bn×sCs×p）结合律的证明：证明：A的i行×B的1列A的i行×BC的t列矩阵乘法不满足交换律例:设则注意：(1)当AB有意义时，BA不一定有意义。例：A3×2，B2×2(2)AB与BA的阶数不一定相等。例：A3×2，B2×3(3)但也有例外，比如设则有例设矩阵求与A可交换的所有矩阵。分析：根据乘法定义及矩阵相等定义求解：设所求矩阵为由得其中a，b为实数矩阵乘法不满足消去律例如：有但是

若A是n阶方阵，则为A的次幂，即

方阵的幂：并且矩阵乘法不满足交换律，一般例6

设A=解归纳可得，求A3

.方阵的多项式：课堂练习：下列等式成立否？（1）（A+B)2=A2+2AB+B2（2）（A+B)(A-B)=A2-B2（3）（A+E)(A-E)=A2-E2（4）A2=E

则A=E或A=-E（5）

f(x)是任意的多项式，A与f(A)可交换吗？如果A与B可交换，f(A)与B呢？需A与B可交换需A与B可交换5.矩阵的转置定义:

把矩阵A=(aij)m×n

的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记作.例:转置矩阵满足的运算规律：=也就是=例5：已知解法1：直接计算后再转置解法2：先转置后再乘起来（顺序要改变）：对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等.说明：设为阶方阵，如果满足，即那末称为对称阵.对称阵:说明：反对称阵主对角线上的元素都是零.例6:例7：例8：证明: