2023年空间角题库

1．如图,如图,已知正三棱柱的各条棱都相等,M是侧棱的中点，则异面直线和所成角的大小是（)A．B.C.D．2.正方体中，与平面所成角的余弦值（）Ａ．B.C．Ｄ.3.在三棱柱中，底面是正三角形，侧棱底面，点是侧面的中心,若,则直线与平面所成角的大小为（Ａ)(B)(C)（D)4.如图，在长方体中,，则与平面所成角的正弦值为(）Ａ．B.C．D.5.、是二面角的棱上的两点，分别在内作垂直于棱的线段，已知,那么的长为()A.1B.2C．D．６．若异面直线分别在平面内,且,则直线(）Ａ．与直线都相交Ｂ．至少与中的一条相交C．至多与中的一条相交Ｄ．与中的一条相交,另一条平行7．在四周体中，,,且,为中点,则与平面所成角的正弦值为（)A．B.C．D．8．已知平行六面体ABCD-A1B１C１D1中,底面ABCD是边长为1的正方形,AA1＝2，∠A1AB＝∠A1ＡD＝１20°,则异面直线AＣ１与Ａ1D所成角的余弦值（)A．B.Ｃ.Ｄ.9．在四棱锥中,底面是菱形,底面，是棱上一点.若,则当的面积为最小值时，直线与平面所成的角为（)A．B．C．Ｄ．10．如图,已知四棱锥,底面是菱形,则与底面所成角为(）A、B、C、D、AA1CBC1B1１１．如图,三棱柱的各棱长均为2，侧棱与底面所成的角为，为锐角,且侧面⊥底面AA1CBC1B1①;②;③直线与平面所成的角为;④.其中对的的结论是A．②④B.①③C.①③④D.①②③④12．如图，在直三棱柱AＢＣ-Ａ１Ｂ１C1中,∠ＡCＢ=９0°,２ＡC＝AA1=BC=２．若二面角B1-DC－C１的大小为60°，则AD的长为（）A.B．Ｃ．2Ｄ.CADB13．如图在一个二面角的棱上有两个点,，线段分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱,，则这个二面角的度数为（）CADBA．B．C．D．14.若两条异面直线所成的角为，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连结正方体各顶点的所有直线中,“黄金异面直线对”共有（）A.对B.对C．对D．对15．已知三棱锥中，,，直线与底面所成角为，则此时三棱锥外接球的体积为A．Ｂ.C．D．1６．已知直三棱柱AＢＣ-A1B1C1的各棱长均为１,棱BB１所在直线上的动点M满足,ＡM与侧面BB１C1C所成的角为,若,则的取值范围是（）Ａ．Ｂ.C.D.１7．已知二面角α-l-β的大小为60°,m，ｎ为异面直线,且m⊥α，ｎ⊥β,则ｍ，n所成的角为(）A.30°B．６０°C．9０°D.１20°１8．在四棱锥中,底面是菱形，底面，是棱上一点.若，则当的面积为最小值时,直线与平面所成的角为（）A.B.C．D.19.如右图所示,正三棱锥中,分别是的中点，为上任意一点，则直线与所成的角的大小是(）(A)(B)(C)（D）随点的变化而变化2０．在四周体中，两两垂直,且均相等，是的中点，则异面直线与所成的角为（)A.B.Ｃ.Ｄ．21．已知正四周体ＡBCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BＤ所成角的余弦值为(）A．B.C.D.ABabl2２．如图,到的距离分别是和,与所成的角分别是和，在内的射影长分别是和，若，则ABablA．Ｂ．C.D．P23.在正方体ＡBCD－A１B１C1D1中,点P在线段AD1上运动，则异面直线ＣP与BＡ1所的θ角的取值范围是（)PA.B．C.D.24．如图,空间四边形ABCD中,AＤ=BＣ=2,Ｅ,F分别是AB,CＤ的中点，ＥＦ=，则异面直线ＡD,ＢＣ所成的角为(）Ａ．30°B.4５°Ｃ．60°D.90°25.如图,正方体，则下列四个命题：①在直线上运动时，三棱锥的体积不变；②在直线上运动时,直线与平面所成角的大小不变;③在直线上运动时,二面角的大小不变;④是平面上到点D和距离相等的点，则点的轨迹是过点的直线其中真命题的个数是A.1B．2C．３D．426．已知直二面角，点为垂足，若（)A．2B．C．Ｄ.127．如图1，在等腰△中,,,分别是上的点，，为的中点．将△沿折起,得到如图2所示的四棱锥.若平面，则与平面所成角的正弦值等于（）A.B．C.D．２8.如图,在棱长为的正方体中,为的中点,为上任意一点,为上两点,且的长为定值，则下面四个值中不是定值的是()A.点到平面的距离B.直线与平面所成的角C.三棱锥的体积D.的面积2９．如图,在正方体中,点为线段的中点.设点在线段上，直线与平面所成的角为,则的取值范围是（）A．Ｂ．C.D．30.如图,,,M、Ｎ分别是BC、AＢ的中点,沿直线MN将折起，使二面角的大小为,则与平面ＡＢＣ所成角的正切值为(）Ａ．B.Ｃ.Ｄ.３1.如图,等边三角形的中线与中位线相交于，已知是△绕旋转过程中的一个图形，下列命题中,错误的是()A.动点在平面上的射影在线段上B.恒有平面⊥平面Ｃ．三棱锥的体积有最大值Ｄ．异面直线与不也许垂直32.如图,二面角的大小是45°,线段.,与所成的角为30°．则与平面所成的角的正弦值是．33.如图所示,正四棱锥的所有棱长均相等,是的中点，那么异面直线与所成的角的余弦值等于.34．下图是正四周体的平面展开图，分别为的中点，则在这个正四周体中,与所成角的大小为.36．在正方体中，点是上底面的中心,点在线段上运动,则异面直线与所成角最大时,.３７.如图，椭圆的长轴为,短轴为，将坐标平面沿ｙ轴折成一个二面角,使点在平面上的射影恰好是该椭圆的左焦点,则此二面角的大小为_＿＿_.3８.如图，P为的二面角内一点,P到二面角两个面的距离分别为2、3，A、B是二面角的两个面内的动点，则△ＰＡＢ周长的最小值为.39．把正方形沿对角线折起，当以四点为顶点的三棱锥体积最大时,直线和平面所成的角的大小为__＿__＿_＿____＿_40.若四棱柱的底面是边长为1的正方形,且侧棱垂直于底面，若与底面成60°角,则二面角的平面角的正切值为4１．如图，在等腰直角三角形ABD中，∠BＡD=90°，且等腰直角三角形ABD与等边三角形CBD所在平面垂直，E为BC的中点,则ＡE与平面ＢCＤ所成角的大小为＿____＿__．42.正三角形的边长为２，将它沿高翻折，使点与点间的距离为1,此时二面角大小为.43.正三棱锥P—ＡBC中，CM＝2PM,CN=２NB,对于以下结论：①二面角Ｂ—PＡ—C大小的取值范围是（，π);②若MN⊥AM，则PC与平面PAB所成角的大小为；③过点Ｍ与异面直线PＡ和BC都成的直线有３条;④若二面角B—PＡ—Ｃ大小为，则过点N与平面PAC和平面PAB都成的直线有3条.对的的序号是．４4.如图,二面角的大小是6０°,线段.,与所成的角为30°．则与平面所成的角的正弦值是.45．已知异面直线所成的角为过空间一点O与所成的角都是的直线有________＿＿_条46.如图,在长方形中,，,为线段上一动点,现将沿折起，使点在面上的射影在直线上,当从运动到，则所形成轨迹的长度为1616题αβ47．在正三棱柱中,已知在棱上，且，若与平面所成的角为,则αβ48.如图，平面与平面相交成锐角,平面内的一个圆在平面上的射影是离心率为的椭圆,则角.49．如图，在的二面角内,于,于，且,则的长为。50.如图，在矩形ABCD中,ＡB=4，BC=３,Ｅ为ＤC边的中点，沿AE将折起，使二面角Ｄ-AE－Ｂ为，则直线AD与面ＡＢCE所成角的正弦值为▲5１．直三棱柱中，，分别是的中点，,为棱上的点．（1)证明:;（２)是否存在一点,使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为?若存在,说明点的位置，若不存在，说明理由.52．如图，平面，矩形的边长，，为的中点．(1)证明：；(2）假如异面直线与所成的角的大小为,求的长及点到平面的距离．53．如图所示，平面平面,且四边形为矩形,四边形为直角梯形，，，,.（1)求证平面;（2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值；（3)求直线与平面所成角的余弦值.5４．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形,,,平面底面，为的中点,是棱上的点，，,．(1)求证：平面平面；(２）若为棱的中点,求异面直线与所成角的余弦值；（3）若二面角大小为，求的长.5５.(本小题满分12分）如图1，在直角梯形中,,，点为线段的中点，将沿折起,使平面平面,得到几何体，如图2所示．(Ⅰ）求证:平面;【理】(Ⅱ）求二面角的余弦值．【文】（Ⅱ）求点到平面的距离.５6．(１２分）如图，在三棱锥中,,，°，平面平面,、分别为、中点．（1)求证：;(2）求二面角的大小.57．（本小题满分1２分）如图,四棱锥Ｐ-ABＣD中,底面ABＣＤ为矩形,PA⊥平面AＢＣD，PA=AＤ=1，AB＝,点E为PD的中点,点Ｆ在棱DC上移动。(１)当点Ｆ为ＤC的中点时，试判断ＥＦ与平面PAC的位置关系，并说明理由;（2）求证：无论点F在ＤC的何处，都有PF⊥AE（３）求二面角E-ＡC-D的余弦值。58.(本小题满分１2分)正的边长为4,是边上的高,、分别是和边的中点，现将沿翻折成直二面角.(Ⅰ)试判断直线与平面的位置关系,并说明理由;(Ⅱ）求二面角的余弦值；(Ⅲ)在线段上是否存在一点,使？证明你的结论．5９.(本小题满分13分)如图，已知菱形的边长为,,.将菱形沿对角线折起,使，得到三棱锥.MM(Ⅰ)若点是棱的中点,求证:平面;(Ⅱ)求二面角的余弦值；(Ⅲ）设点是线段上一个动点，试拟定点的位置，使得,并证明你的结论．60.(本小题满分12分）如图,在四棱锥Ｐ—ABCＤ中，底面ABCＤ为菱形且∠DAB=６0°,O为AD中点.（Ⅰ）若PA＝PD,求证:平面ＰOB⊥平面PAD;(Ⅱ)若平面PAD⊥平面ABCＤ，且PA=PD＝AD=2，试问在线段PＣ上是否存在点M,使二面角M—ＢO—C的大小为60°，如存在,求的值，如不存在，说明理由．参考答案1.A2.D3．Ａ4.D5．B6.Ｂ7.D8.B9．B10.B１1．C1２.A13.B14.Ｂ１5．Ｄ1６.Ｂ1７.B18．B１９．C.20．C２1．B22.Ｄ23．Ｄ2４．C25．C26．Ｃ.27．B28.B.２9.B30.C３1．D3２．３3．３4．3５．２；36.37.38．3９．40.k4１.45°42.60043.①②④４4．４５.４46．4７．49.50.５1.(１）证明:∵,，又∵∴⊥面.又∵面,∴，认为原点建立如图所示的空间直角坐标系,则有，设且,即,则∵,所以；(2）结论：存在一点,使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为.试题解析：(1）证明:∵，,又∵∴⊥面．又∵面，∴，认为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则有,设且，即,则,∵,所以;(2)结论:存在一点,使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为，理由如下：由题可知面的法向量，设面的法向量为，则，∵，∴，即,令，则.∵平面与平面所成锐二面角的余弦值为，∴，即,解得或(舍)，所以当为中点时满足规定.52.(1)证明过程详见解析;(2），点到平面的距离为．试题解析：（1)证明：连接,由,得,同理得，，，由勾股定理得,∵平面，∴.又，∴平面，∴．（2）取的中点,的中点,连∴∥，∥，∴的大小等于异面直线与所成的角或其补角的大小,即或(或者由观测可知，，不需分类讨论）设，则,,.若,由，得.∴.在中,，，∴∴点到平面的距离为.若,由，显然不适合题意．综上所述，,点到平面的距离为.5３.(1)详见解析（２）（３）试题解析:(法一)(1）取中点为，连接、,且,，则且.四边形为矩形，且,且,，则.平面,平面,平面．（2）过点作的平行线交的延长线于,连接,,，,，，,四点共面.四边形为直角梯形,四边形为矩形,，，又，平面,,又平面平面，为平面与平面所成锐二面角的平面角．,．即平面与平面所成锐二面角的余弦值为.（3）过点作于,连接,根据(2)知，，，四点共面，，，，又，平面,,则.又，平面．直线与平面所成角为.,,,，，．即直线与平面所成角的余弦值为.(法二）（1）四边形为直角梯形，四边形为矩形，，,又平面平面，且平面平面,平面．认为原点，所在直线为轴,所在直线为轴,所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系.根据题意我们可得以下点的坐标：，,，，，，则,．，,为平面的一个法向量.又，平面.（２）设平面的一个法向量为,则,,,取，得.平面，平面一个法向量为，设平面与平面所成锐二面角的大小为,则.因此,平面与平面所成锐二面角的余弦值为.（3）根据(２)知平面一个法向量为,,，设直线与平面所成角为,则．因此,直线与平面所成角的余弦值为．５4.(1)详见解析；（2）;（3）．试题解析：（1）证明：∵，,为的中点,∴四边形为平行四边形，∴.∵,∴，即．又∵平面平面,且平面平面,∴平面.∵平面,∴平面平面．(２）解：∵,为的中点,∴．∵平面平面，且平面平面，∴平面．认为原点建立空间直角坐标系,则，，，，.∵是的中点，∴,∴．设异面直线与所成角为，则,∴异面直线与所成角的余弦值为(3)解：由（2）知平面的法向量为,由，且，得,又,∴平面法向量为.∵二面角为,∴,∴,∴．55．(Ⅰ）见解析；(Ⅱ）（理)；（文）．试题解析:（Ⅰ)证明：由已知可得:，,由余弦定理从而,平面平面，平面平面【理】(Ⅱ)解:取的中点，连接，,由题意知平面，,分别是，的中点，，，认为坐标原点,,，所在的直线分别为，,轴,建立如图所示的空间直角坐标系.由（Ⅰ）知，，设平面的法向量为,则有即取，得由题易知平面的法向量为所以二面角的余弦值为．【文】（Ⅱ）由已知，易求．，设点到平面的距离为,又可求，,56．（1）详见解析；(2)试题解析：解:(1）连结,.，，.又，平面而平面,所以．（2)由于平面平面交于,，所以如图,认为原点建立空间直角坐标系,,，．设平面的法向量,令得.DE平面PAB,平面的法向量为．设二面角的大小为,由图知，，所以即二面角的大小为.57．(1）面；（2)详见解析;(３）.试题解析:（１）分别为的中点,，面，面，面．(2)面；面,．为矩形,.，面,面,．,且为中点,.,面，面,．（3）过作于，于,连接，则即为所求．易得．为矩形,，所以点到的距离为.，为中点,为中点．.在中．即二面角的余弦值为.58.(1）AB∥平面DＥF;（2）;（3）在线段上存在点，使．试题解析:（Ⅰ)如图:在△AＢC中,由E、F分别是ＡC、BC中点，得EF//AＢ，又AB平面ＤEF，ＥF平面DEF.∴AＢ∥平面DEＦ.（Ⅱ)以点D为坐标原点,直线DB、ＤC为x轴、