高等数学(同济大学版)-课程讲解-1.2数列的极限

课时授课计划课次序号：02一、课题：§数列的极限二、课型：新授课>三、目的要求：1.理解数列极限的概念；2.了解收敛数列的性质.四、教学重点：数列极限的定义.教学难点：数列极限精确定义的理解与运用.五、教学方法及手段：启发式教学，传统教学与多媒体教学相结合．六、参考资料：1.《高等数学释疑解难》，工科数学课程教学指导委员会编，高等教育出版社；2.《高等数学教与学参考》，张宏志主编，西北工业大学出版社七、作业：习题1-23(2)(4),5八、授课记录：授课日期班次$九、授课效果分析$第二节数列的极限复习1.函数的概念与特性，复合函数与反函数的概念，基本初等函数与初等函数；2.数列的有关知识.]极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的．例如，我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法——割圆术，就是极限思想在几何学上的应用．设有一圆，首先作内接正六边形，把它的面积记为A;再作内接正十二边形，其面积记1为A;再作内接正二十四边形，其面积记为A;循此下去，每次边数加倍，一般地把内接23正6X2n-1边形的面积记为A（nGN）.这样，就得到一系列内接正多边形的面积：nA，A，A，…，A，…，123n它们构成一列有次序的数.当n越大，内接正多边形与圆的差别就越小，从而以A作为圆n面积的近似值也越精确.但是无论n取得如何大，只要n取定了，A终究只是多边形的面n积，而还不是圆的面积.因此，设想n无限增大（记为nTa，读作n趋于无穷大），即内接正多边形的边数无限增加，在这个过程中，内接正多边形无限接近于圆，同时A也无限n接近于某一确定的数值，这个确定的数值就理解为圆的面积．这个确定的数值在数学上称为上面这列有次序的数（所谓数列）A，A，A，…，A，…，当nts时的极限.在圆面积123n问题中我们看到，正是这个数列的极限才精确地表达了圆的面积．在解决实际问题中逐渐形成的这种极限方法，已成为高等数学中的一种基本方法，因此有必要作进一步的阐明．))数列极限的定义二、数列的概念定义1如果函数f的定义域DfN{1,2,3,...},贝9函数f的值域f(N){fCn)\nEN}中的元素按自变量增大的次序依次排列出来，就称之为一个无穷数列，简称数列，即f(1)，f(2),…，f(n),....通常数列也写成X],x2，…，xn,.,并简记为{xn},其中数列中的每个数称为一项,而xnf(n)称为一般项或通项.对于一个数列，我们感兴趣的是当n无限增大时，xn的变化趋势.以下几个均为数列：12n—11,,—,...,,・・・(1)23n2,4,6,…,2n,・・・(2)1+(—1)n-11,0,1,…，,・・・(3)n11(—1)n—11,—=,…,,…(4)23n2,2,2,…，2,...(5)]数列的极限当n无限增大时，若数列的项xn能与某个常数a无限地接近，则称此数列收敛，常数a称为当n无限增大时该数列的极限,如数列(1),(4),(5)均为收敛数列,它们的极限分别为1,0,2.但是，以上这种关于收敛的叙述是不严格的，我们必须对“n无限增大"与“xn无限地接近a"进行定量的描述，让我们来研究数列(4).取0的邻域U(0,£).当E2时，数列(4)的所有项均属于U(0,2),即n>1时，XnEU(0,2).当£=0.1时，数列(4)中除开始的10项外，从第11项起的一切项X11，X12，…，Xn，…均属于U(0,0.1)，即n>10时，xgU(0,0.1).n$当£=0.0003时，数列(4)中除开始的3333项外，从第3334项起的一切项X3334,X3335，…,xn，...均属于U(0,0.0003)，即n>3333时，xgU(0,0.0003).如此推下去，无论£是多么小的正数，总存在N(N为大于丄的正整数)，使得n>N£时,11\Xn01(―(―1)n-1=x(0,£).nn一般地，对数列极限有以下定义.)定义2若对任何£>0，总存在正整数N,当n>N时，|xna|<£，即xgU(a,£),n则称数列｛xn｝收敛，a称为数列｛xn｝当n^B时的极限，记为limxa或xnTa(n*).nns若数列｛xn｝不收敛，则称该数列发散.注定义中的正整数N与£有关，一般说来，N将随£减小而增大，这样的N也不是惟一的.显然，如果已经证明了符合要求的N存在，则比这个N大的任何正整数均符合要求,在以后有关数列极限的叙述中，如无特殊声明，N均表示正整数.此外，由邻域的定义可知,xGU(a,£)等价于Ixnal<£.n[“数列｛xn｝的极限a"的几何解释：图133£<xn<a£等价，所以当n>N时，所有的点xn将常数a及数列x1，x2，x3图133£<xn<a£等价，所以当n>N时，所有的点xn因不等式|xna|<£与不等式a都落在开区间(a£a£)内，而只有有限个点(至多只有N个点)在这区间以外.为了以后叙述的方便，这里介绍几个符号，符号“V"表示“任取"、“对于所有的"或“对于每一个”；符号"3”表示"存在”；符号"max｛X｝”表示数集X中的最大数；符号“min｛X｝”表示数集X中的最小数.例1证明lim]0.ns2n1证1证V£>0(不妨设£<1)，要使L一0111<£，只要2n>，即n>[In)/In2・2n&&因此，v£>因此，v£>0,取N1[(In)/In2],则当n>N时，有0<£.由极限定义可lim20nT8厶例2证明0.十1nnlimcos——nsn4例2证明0.1nn小1nn1_1nn小—cos——0cos——<—,故vE>0,要使一cos——0n4n4nn41<£,只要一n证由于1<£,即n>£因此，v£>因此，v£>0,取N，则当n>N时,有丄cosnnnT一0e由极限定义可知0.十1nnlimcos——nT8n40.用极限的定义来求极限是不太方便的，在以后的学习中，我们将逐步介绍其他求极限的方法.二、收敛数列的性质1.唯一性定理1若数列收敛，则其极限唯一.证假设数列｛Xn｝收敛，但极限不唯一：limxnnsa，limxb证假设数列｛Xn｝收敛，但极限不唯一：limxnnsa，limxb,且a^b，不妨设a<b.nsb—a由极限定义，取E2，则3N1>0，当n>N1时，|xna3a—b2<Xn<b—a<丁，即(6)(3N2>0，当n>N2时,Xnb|<，即<Xn<3b—a2取Nmax｛N1,N2｝，则当n>N时,(6)、(7)两式应同时成立，显然矛盾.该矛盾证明了收敛数列｛Xn｝的极限必唯一.2.有界性定义3设有数列｛Xn｝，若3MGR,M>0,使对一切n1,2,…，有|Xn|<M,贝V称数列｛X”｝是有界的，否则称它是无界的.《对于数列｛Xn｝，若3MGR,使对n1,2,…,有xn<M,则称数列｛X』有上界；若3MGR,使对n1,2,…,有XnAM,则称数列｛X』有下界.显然，数列｛Xn｝有界的充要条件是｛X”｝既有上界又有下界.例3数列］有界；数列｛”2｝有下界而无上界；数列｛”2｝有上界而无下界；数列

｛（-l）nn-1｝既无上界又无下界.定理2若数列｛Xn｝收敛，贝y数列傀｝有界.证设limxa,由极限定义，V£>o,且£<1,3n>0,当n〉N时，丨x”a|nns<£<1,从而|xn|<1|a|.%取Mmax｛1|a|,|X]|,|x2|,•••,|xN|｝，则有|x”|<M对一切n1,2,3,成立，即｛xn｝有界.定理2的逆命题不成立，例如数列｛（-1）n｝有界，但它不收敛.3.保号性定理3若定理3若limxa,nnsa>0（或a<0）,则3N>0,当n>N时，x”>o（或xn<o）.a证设a>0,由极限定义，对8—>0a证设a>0,由极限定义，对8—>0,3N>0,当n>N时，厶\o"CurrentDocument"a3…ra即—<x”<—a，故当n>N时，X”>—>0.类似可证a<0的情形.推论设有数列｛xn｝,3N>o,当n>N时，X>0（或x<0）,若limx\o"CurrentDocument"nnnnsa'<2'a,则必有a>0（或a<0）.推论中，若xn>0（或xn<0）,我们只能推出a>0（或a<0）,而不能推出a>0（或a<0）.1v1例如x=>o,但limxlimo.nnn*nn*n4.收敛数列与其子列的关系定义4在数列｛xn｝中保持原有的次序自左向右任意选取无穷多个项构成一个新的数列，称它为｛xn｝的一个子列.在选出的子列中，记第一项为x，第二项为x，…，第k项为x，…，则数列｛xn｝n1n2nkn的子列可记为｛x｝.k表示x在子列｛x｝中是第k项，nk表示x在原数列｛xn｝中是第n,nnnnkkkkk项.显然，对每一个k,有nk>k；对任意正整数h,k,如果h>k,则nh>nk；若nh>nk，则h>k由于在子列｛x｝中的下标是k而不是nk，因此｛x｝收敛于a的定义是：V£>o,3kn,kn,>o,当k>K时，有|xa|<8.这时，记为limxa.kS"k定理4若limxnnsa,贝Q｛Xn｝的任何子列｛x｝都收敛，且都以a为极限.证由limxa,V£>o,3n>0,当n>N时，有|x”a|<£.今取kN,则nns当k>K当k>K时，有nk>nKnN>N,于是|x”a|<£.故有limxa.kS"k定理4用来判别数列｛X』发散有时是很方便的•如果在数列｛X”｝中有一个子列发散，或者有两个子列不收敛于同一极限值，则可断言｛Xn｝是发散的.InnI例4判别数