【三维设计】高考数学 第七章第三节空间点、直线、平面间的位置关系 A

第七章立体几何第三节空间点、直线、平面间的位置关系抓基础明考向提能力教你一招我来演练

[备考方向要明了]考

什

么1.理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理和定理．2.能证明一些空间位置关系的简单命题.

怎

么

考1.点、线、面的位置关系是本节的重点，也是高考的热点．2.以考查点、线、面的位置关系为主，同时考查逻辑推理

能力与空间想象能力．3.多以选择题、填空题的形式考查，有时也出现在解答题

中，属低中档题.名称图示文字表示符号表示公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α一、平面的基本性质名称图示文字表示符号表示公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P∈，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l二、空间直线的位置关系位置关系的分类2．平行公理平行于同一条直线的两条直线互相

．3．等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角

．平行相等或互补4．异面直线所成的角(或夹角)(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O

作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的

叫做异面直线a与b所成的角．(2)范围：

．锐角(或直角)三、直线与平面的位置关系位置关系图示符号表示公共点个数直线l在平面α内直线l与平面α相交l⊂α无数个l∩α＝A一个位置关系图示符号表示公共点个数直线l与平面α平行l∥α0个四、平面与平面的位置关系位置关系图示符号表示公共点个数两平面平行两平面相交

＝l

个(这些公共点均在交线l上)α∥β0个α∩β无数答案：

C解析：如图与AB共面也与CC1共面的棱有CD、BC、BB1、AA1、C1D1共5条．1．(教材习题改编)平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为 (

)A．3

B．4C．5 D．6答案：

D解析：由异面直线的定义可知选D.2．下列说法正确的是 (

)A．若a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线B．若a与b异面，b与c异面，则a与c异面C．若a，b不同在平面α内，则a与b异面D．若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面3．(2011·四川高考)l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是 (

)A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面答案：

B解析：在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A错；两条平行直线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D错．4．(教材习题改编)两个不重合的平面可以把空间分成______部分．答案：

3或4解析：由题意知两个不重合的平面可以平行或相交，平行时分空间3部分，相交时分空间4部分．5.一个正方体纸盒展开后如图所示，

在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.以上四个命题中，正确命题的序号是________．解析：把正方体的平面展开图还原成原来的正方体如图所示，则AB⊥EF，EF与MN为异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．答案：①③1．三个基本性质的作用(1)基本性质1的作用：①检验平面；②判断直线在平面内；③由直线在平面内判断直线上的点在平面内．(2)基本性质2的作用：确定平面的依据，它提供了把空间问题转化为平面问题的条件．(3)基本性质3的作用：①判定两平面相交；②作两相交平面的交线；③证明多点共线．[精析考题][例1](2012·台州模拟)以下四个命题中①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则点A、B、C、D、E共面；③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．正确命题的个数是 (

)A．0

B．1C．2 D．3[答案]

B[自主解答]①中显然是正确的；②中若A、B、C三点共线则A、B、C、D、E五点不一定共面．③构造长方体或正方体，如图显然b、c异面故不正确．④中空间四边形中四条线段不共面，故只有①正确．[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)1．(2011·沈阳模拟)如图是正方体或四面体，P、Q、

R、S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是 (

)解析：A、B、C图中四点一定共面，D中四点不共面．答案：D2．(2011·南通月考)定线段AB所在的直线与定平面α相交，P为直线AB外的一点，且P不在α内，若直线

AP、BP与α分别交于C、D点，求证：不论P在什么位置，直线CD必过一定点．证明：设定线段AB所在直线为l，与平面α交于O点，即l∩α＝O.由题意可知，AP∩α＝C，BP∩α＝D，∴C∈α，D∈α.又∵AP∩BP＝P，∴AP、BP可确定一平面β且C∈β，D∈β.∴CD＝α∩β.∵A∈β，B∈β，∴l⊂β，∴O∈β.∴O∈α∩β，即O∈CD.∴不论P在什么位置，直线CD必过一定点．[冲关锦囊]1．证明线共点问题，常用的方法是：先证其中两条直线交于一点，再证交点在第三条直线上．2．证明点或线共面问题，一般有以下两种途径：①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余线(或点)均在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证平面重合.[精析考题])[例2](2012·金华模拟)在图中，G、N、M、H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)[自主解答]图①中，直线GH∥MN；图②中，G、H、N三点共面，但M∉面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G、M、N共面，但H∉面GMN，因此GH与MN异面．所以图②、④中GH与MN异面．[答案]

②④3．(2012·广州模拟)若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的(

)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件答案：

A解析：若两直线为异面直线，则两直线无公共点，反之不一定成立．4．(2012·杭州模拟)若两条异面直线所成的角为60°，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中与AC成“黄金异面直线”共有________对．解析：正方体如图，若要出现所成的角为60°的异面直线，则直线为面对角线，与AC构成黄金异面直线对的直线有4条．答案：4[冲关锦囊]1.异面直线的判定常用的是反证法，先假设两条直线不

是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件

出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设肯

定两条直线异面．此法在异面直线的判定中经常用到．2.客观题中，也可用下述结论：过平面外一点和平面内一

点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线.[精析考题][例3]

(2011·全国高考)已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成的角的余弦值为________．[巧练模拟]—————(课堂突破保分题，分分必保！)5．(2012·沧州模拟)如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是 (

)A．45° B．60°C．90° D．120°答案：

B6．(2012·青岛模拟)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所成的角的余弦值为________．[冲关锦囊]求异面直线所成的角一般用平移法，步骤如下1．一作：即找或作平行线，作出异面直线所成的角；2．二证：即证明作出的角是异面直线所成的角；3．三求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．解题样板构造模型判断空间线面位置关系[考题范例](2011·淄博模拟)已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；④若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n.其中所有正确的命题是 (

)A．①④ B．②④C．①

D．④[快速得分]我们借助于长方体模型来解决本题．对于①，可以得到平面α，β互相垂直，如图(1)所示，故①正确；对于②，平面α、β可能垂直，如图(2)