均值不等式求最值的方法

10/10均值不等式求最值的方法均值不等式求最值的方法

均值不等式是求函数最值的一个重要工具，同时也是高考常考的一个重要知识点。下面谈谈运用均值不等式求解一些函数的最值问题的方法和技巧。

一、几个重要的均值不等式

①，、)(2

22

22

2

Rbabaababba∈+≤?≥+当且仅当a=b时，“=”号成立；②，

、)(222

+

∈??

???+≤?≥+Rbabaababba当且仅当a=b时，“=”号成立；③，、、)(3

33

333

3

3

+∈++≤?≥++Rcbacbaabcabccba当且仅当a=b=c时,“=”号成立；

④)(333

3

+

∈??

???++≤?≥++Rcbacbaabcabccba、、,当且仅当a=b=c时,“=”

号成立.

注：①注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；

②熟悉一个重要的不等式链：b

a112

+2ab+≤≤≤

2

2

2ba+。二、用均值不等式求最值的常见的方法和技巧1、求几个正数和的最小值。例1、求函数2

1

(1)2(1)

yxxx=+>-的最小值。解析：

21(1)2(1)yxxx=+

>-21(1)1(1)2(1)xxx=-++>-2

111

1(1)222(1)

xxxx--=+++>-

1

≥312≥+52=，当且仅当211(1)22(1)xxx-=>-即2x=时，“=”号成立，故此函数最小值是5

2

。

评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。

2、求几个正数积的最大值。

例2、求下列函数的最大值：

①23

(32)(0)2

yxxx=-∴，∴23

(32)(0)(32)2

yxxxxxx=-?>，即4

()fxxx

=+在(0,1]上是减函数。

故当1x=时，4

()fxxx

=+在(0,1]上有最小值5。

解法二：（配方法）因01x?>>?>-又则

2xy+22(8)161616

2(8)108888

xxxxxxxxxx-+=+

=+=++=-++

-1018≥=。当且仅当16

88

xx-=-即12,3xy==此时时“=”号成立，故此函数最小值是18。

解法三：（三角换元法）

令228sin1cosxxxy

?=????=??则有228sin1cosxxyx?=???

?=

??则2282

2sincosxyxx

+=+2222228csc2sec8(1cot)2(1tan)108cot2tanxxxxxx=+=+++=++

10≥+18≥，易求得12,3xy==此时时“=”号成立，故最小值是18。

评析：此类问题是学生求解易错得一类题目，解法一学生普遍有这样一种错误

的求解方法：

812()(2)8xyxyxy+=++≥。原因就是等号成立的条件

不一致。

5、利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。

例5、已知正数xy、满足3xyxy=++，试求xy、xy+的范围。解法一：

由0,0xy>>，则3xyxy=+

+3xyxy?-=+≥

，即230-≥

解得

13≤-≥(舍)，当且仅当3xyxyxy==++且即3xy==时取“=”号，故xy的取值范围是[9,)+∞。

又2

3()2

xyxyxy+++=≤2()4()120xyxy?+-+-≥2()6xyxy?+≤-+≥舍或，当且

仅当3xyxyxy==++且即3xy==时取“=”号，故xy+的取值范围是[6,)+∞

解法二：

由0,0xy>>，3(1)3xyxyxyx=++?-=+知1x≠，

则31xyx+=

-，由3

0011

xyxx+>?>?>-，则：2233(1)5(1)44

(1)51111

xxxxxxyxxxxxx++-+-+=?===-++

-59≥=，当且仅当4

1(0)31

xxxx-=>=-即，

并求得3y=时取“=”号，故xy的取值范围是[9,)+∞。

314441(1)2261111xxxyxxxxxxxx+-++=+

=+=++=-++≥=，当且仅当4

1(0)31

xxxx-=

>=-即，

并求得3y=时取“=”号，故xy的取值范围是[9,)+∞。三、用均值不等式求最值的常见的技巧1、添、减项（配常数项）例1求函数2216

32yxx=+

+的最小值.

分析：

2216

32xx+

+是二项“和”的形式，但其“积”的形式不为定值.

而2

1

2x+可与22x+相约，即其积为定积1，因此可以先添、减项6，即2216

3662yxx=++

-+，再用均值不等式.

222

22

16

20,3216

3(2)6266xyxxxx+>=++=++

-+≥=解：

当且仅当22

163(2)2xx+=

+，

即2

23x=-时,等号成立.所以y的最

小值是6.

评注为了创造条件利用均值不等式，添项是常用的一种变形技巧;为了保证式子的值不变，添项后一定要再减去同一项.2、配系数（乘、除项）

例2已知0,0xy>>，且满足3212xy+=，求lglgxy+的最大值.分析lglglg()xyxy+=,xy是二项“积”的形式，但不知其“和”的形式xy+是否定值，

而已知是3x与2y的和为定值12，故应先配系数，即将xy变形为

326xy

?，再用均值不等式.

220,0

32lglglg()lg

6

132112lglg6262lg6xyxyxyxyxy>>?+==????+????≤=????

??????????????

=解：当且仅当32xy=，即2,3xy==时，等号成立.所以lglgxy+的最大值是lg6.评注本题是已知和为定值，要求积的最大值，可逆用均值不等式，即利

用

2

2abab+??≤?

??来解决.3、裂项

例3已知1x>-，求函数

()()

521

xxyx++=

+的最小值.

分析在分子的各因式中分别凑出1x+，借助于裂项解决问题.

()(

)141110,14(1)5519

xxxyxxx++++????????+>=

+=++

+≥+=解：

当且仅当

4

11xx+=

+，即1x=时，取等号.所以min9y=.

4、取倒数

例4已知

102x，120x->.

取倒数，得

22

1(12)1312(1)31131211113212xxxxyxxx

xxxx--==??+++-??

+

??++≤=??????

当且仅当31211xxxx-=++，即15x=

时，取等号.

故y的最小值是12.5、平方

例5已知0,0xy>>且2

2

283yx+=

求.

分析条件式中的x与y都是平方式，而所求式中的x是一次式，y是

平方式但带根号.

初看似乎无从下手，但若把所求式题思路豁然开朗，即可利用均值不等式来解决.

2

2

2

2

2

2

222((62)32(1)

3

2(1)9333()

22yxyxyx=+=?+??++??≤=????????

解：

当且仅当

22

2(1)3yx=+，即3

2x=

，y=时，等号成立.

故

评注本题也可将x

纳入根号内，即将所求式化为

数，再运用均值不等式的变式.6、换元（整体思想）

例6

求函数

y=

的最大值.

分析

t=，进行换元，再使分子常数化，然后运用均值不等式来解决.

22,0,2,(0)

21

00;101212=.

3,24ttxttytttytytttttx=≥=-=≥+==>=

≤

=+

==-则

当时，当时，当且仅当，即所以时

7、逆用条件

例7已知19

1(0,0)

xyxy+=>>,则xy+的最小值是（）.

分析直接利用均值不等式，只能求xy的最小值，而无法求xy+的最

小值.这时可逆用条件，即由191xy=

+，得19

()()xyxyxy+=++，然后展开即

可解决问题.

19

0,0,1

199

()()10

1016

9

,4,12.

16.

xy

xy

yx

xyxy

xyxy

yx

xy

xy

xy

>>+=

+=++=++

≥=

===

+

解：由，得

当且仅当即时，等号成立

故的最小值是

评注若已知0,0,

xy

>>1

xy

+=(或其他定值)，要求

19

xy

+

的最大值，则同样可运用此法.

8、巧组合

例8若,,0

abc>

且()4

aa

b

cbc

+++=-求2abc

++的最小值.

分析

初看，这是一个三元式的最值问题，无法利用ab

+≥+b来解决.换个思路，可考虑将2abc

++重新组合，变成()()

abac

+++，而()()

abac

++

等于定值4-，于是就可以利用均值不等式了.

,,0,2()()

2,,

1.

22.

abcabcabac

bc

bca

abc

>++=+++

≥=

===

==-

++

解：由知

当且仅当

即时，等号成立