2018数学二轮复习难点2.8立体几何中的折叠问题、最值问题和探索性问题测试卷理

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE18学必求其心得，业必贵于专精PAGE立体几何中的折叠问题、最值问题和探索性问题(一)选择题（12*5=60分)1．在等腰梯形中，，，为的中点，将与分别沿、向上折起，使、重合于点，则三棱锥的外接球的体积为()A．B．C。D．【答案】C2．将边长为的正方形沿对角线折成一个直二面角。则四面体的内切球的半径为()A．1B．C。D．【答案】D【解析】设球心为,球的半径为，由，知，故选D.3．【湖南省株洲市2018届质量检测】已知直三棱柱的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱，分别交于三点，若为直角三角形,则该直角三角形斜边长的最小值为（）A.B.3C.D.4【答案】C【解析】建立直角坐标系如下:点M在侧棱上，设M，点N在上，设，点在上，设，则因为为直角三角形，所以,斜边，当时取等号。故答案为。故选C.4．已知，如图，在矩形中，分别为边、边上一点，且，现将矩形沿折起，使得，连接,则所得三棱柱的侧面积比原矩形的面积大约多（）A。68％B。70%C.72%D.75％【答案】D5．【河南省漯河市2018届第四次模拟】已知三棱锥中,，,点在底面上的射影为的中点，若该三棱锥的体积为，那么当该三棱锥的外接球体积最小时，该三棱锥的高为（）A.2B.C。D.3【答案】D6．已知边长为的菱形中，，现沿对角线折起，使得二面角为120°，此时点在同一个球面上，则该球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如图分别取的中点,连,则容易算得，由图形的对称性可知球心必在的延长线上,设球心为，半径为,，则由题设可得,解之得，则,所以球面面积，故应选C．7．【福建省南安2018届第二次阶段考试】如图所示,长方体中,AB=AD=1,AA1=面对角线上存在一点使得最短，则的最小值为（）A。B。C.D。【答案】A8．如图，边长为的等边三角形的中线与中位线交于点，已知是绕旋转过程中的一个图形，则下列命题中正确的是（）①；②平面；③三棱锥的体积有最大值．A．①B．①②C．①②③D．②③【答案】C【解析】①中由已知可得面，∴．②,根据线面平行的判定定理可得平面．③当面面时，三棱锥的体积达到最大．故选C．9．【河南省林州市2018届8月调研】如图，已知矩形中，，现沿折起，使得平面平面,连接，得到三棱锥，则其外接球的体积为（）A.B.C.D.【答案】D10。一块边长为的正方形铁皮按如图（1）所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正三棱锥形容器，将该容器按如图(2)放置,若其正视图为等腰直角三角形(如图（3）），则该容器的体积为（）A．B．C.D．【答案】B11．【河南省师范大学附中2018届8月】把边长为1的正方形沿对角线折起,使得平面平面，形成三棱锥的正视图与俯视图如下图所示,则侧视图的面积为（）A.B.C。D。【答案】D【解析】∵C在平面ABD上的射影为BD的中点O,在边长为1的正方形ABCD中，，所以：左视图的面积等于12．【湖北省武汉市2018届调研联考】设点是棱长为2的正方体的棱的中点,点在面所在的平面内，若平面分别与平面和平面所成的锐二面角相等，则点到点的最短距离是（）A。B.C.1D。【答案】A（二）填空题（4*5=20分）13。如图，，平面,交于，交于，且,则三棱锥体积的最大值为．【答案】【解析】因为平面,所以,又，,又因为,所以平面，所以平面平面，,平面平面,所以平面，所以，所以平面，由可得,所以,所以三棱锥体积的最大值为.14．【河北衡水金卷2018届模拟一】如图，在直角梯形中，，，，点是线段上异于点,的动点，于点，将沿折起到的位置，并使，则五棱锥的体积的取值范围为__________．【答案】15．已知边长为的菱形中，，沿对角线折成二面角为的四面体，则四面体的外接球的表面积．【答案】【解析】如图所示，，，,∴,设,∵,，∴由勾股定理可得,∴,∴四面体的外接球的表面积为，故答案为．16．【南宁市2018届12月联考】如图,在正方形中，分别是的中点，是的中点。现在沿及把这个正方形折成一个空间图形,使三点重合，重合后的点记为.下列说法错误的是__________（将符合题意的选项序号填到横线上）。①所在平面;②所在平面；③所在平面；④所在平面。【答案】①③④(三）解答题（4*10=40分）17．如图，在正方形中，点，分别是，的中点，将分别沿，折起，使两点重合于.（Ⅰ）求证：平面;(Ⅱ）求二面角的余弦值.方法二：由题知两两互相垂直，故以为原点，向量方向分别为，，轴的正方向，建立如图的空间直角坐标系.设正方形边长为2,则，，，.所以，.设为平面的一个法向量，由得,令,得,又由题知是平面的一个法向量,所以.所以，二面角的余弦值为.18。【辽宁省丹东市2018届高期末】长方形中，，是中点（图1）．将△沿折起，使得（图2）在图2中：(1）求证：平面平面；（2）在线段上是否存点,使得二面角为大小为,说明理由．19。【北京市通州区2018届期末】如图,在四棱柱中，平面，底面为梯形，，，，点，分别为，的中点。（Ⅰ）求证：平面；(Ⅱ)求二面角的余弦值；（Ⅲ）在线段上是否存在点，使与平面所成角的正弦值是，若存在，求的长；若不存在，请说明理由.（Ⅲ)存在.设点，所以设与平面所成角为，所以所以，解得所以20。如图,已知矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面，平面平面,且，且