八年级数学上册15.3等腰三角形15.3.2等腰三角形的判定新版沪科版

第15章轴对称图形与等腰三角形15.3等腰三角形第2课时等腰三角形的判定编辑ppt1课堂讲解等腰三角形的判定等腰三角形的判定和性质2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升编辑ppt1知识点等腰三角形的判定

思考

“等腰三角形两个底角相等”的逆命题是真命题吗？请与你的同学研究讨论后作出判断.知1－导编辑ppt知1－讲1.定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形．(简称“等角对等边”)应用格式：在△ABC中，∵∠B＝∠C,∴AB＝AC.2．等腰三角形的判定与性质的异同相同点：都是在一个三角形中；区别：判定是由角到边，性质是由边到角．即：等边等角．（来自《点拨》）编辑ppt知1－讲

导引：要说明△ABC为等腰三角形，由图可知只要说明∠B＝∠C即可，而∠B，∠C分别在两个直角三角形中，因此只要说明∠B，∠C的余角∠BQP，∠R相等即可．

例1如图，在△ABC中，P是BC边上一点，过点P作

BC的垂线，交AB于点Q，交CA的延长线于点R，若AQ＝AR，则△ABC是等腰三角形吗？请说明理由．编辑ppt知1－讲解：△ABC是等腰三角形．理由如下：∵AQ＝AR，∴∠R＝∠AQR.又∵∠BQP＝∠AQR，∴∠R＝∠BQP.在Rt△QPB和Rt△RPC中，∠B＋∠BQP＝90°，∠C＋∠R＝90°，∴∠B＝∠C,∴AB＝AC.（来自《点拨》）编辑ppt总结知1－讲（来自《点拨》）本题运用了转化思想，将要说明的两相等角利用等角的余角相等转化为说明其余角相等；对顶角这一隐含条件在推导角的相等关系中起了关键的桥梁作用．

编辑ppt知1－讲导引：要证DE＝BD＋AE，而由图知DE＝DP＋PE.因此只需证BD＋AE＝DP＋PE即可．即需证BD＝DP，

AE＝PE，而要证这两组边相等，只需证明它们所对的角相等，因此我们可以把证角相等作为切入口进行证明．例2如图，在△ABC中，∠ABC，∠CAB的平分线交于点P，过点P作DE∥AB，分别交BC，AC于点

D，E.求证：DE＝BD＋AE.编辑ppt知1－讲证明：∵DE∥AB，∴∠ABP＝∠DPB,∠BAP＝∠EPA.∵∠ABC，∠CAB的平分线交于点P，∴∠ABP＝∠DBP,∠BAP＝∠EAP，∴∠DBP＝∠DPB,∠EAP＝∠EPA，∴DP＝DB，EP＝AE，∴DP＋EP＝DB＋AE，即DE＝BD＋AE.（来自《点拨》）编辑ppt总结知1－讲（来自《点拨》）(1)本题运用平行线性质以及角平分线的定义证明角之间的相等关系，进而运用等腰三角形的判定得出线段之间的长度关系，这是证几何题常用的方法．(2)如图中角的一边与角的平分线及角另一边的平行线所构成的三角形是等腰三角形，这是一个基本的图形，在以后学习平行四边形时会经常遇到．编辑ppt已知：如图，AB与CD交于点P，

CP=PD，∠A=42°，∠CPB=

138°，∠B=69°.求证:AC=PB.

在△ABC中，∠A和∠B的度数如下，能判定△ABC是等腰三角形的是(

)A．∠A＝50°，∠B＝70°B．∠A＝70°，∠B＝40°C．∠A＝30°，∠B＝90°D．∠A＝80°，∠B＝60°知1－练（来自《典中点》）（来自教材）编辑ppt知1－练（来自《典中点》）如图，∠B＝∠C＝36°，∠ADE＝∠AED＝

72°，则图中的等腰三角形有(

)A．3个B．4个

C．5个D．6个如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的高，CE是AB边上的高，它们相交于点O，则图中除△ABC外一定是等腰三角形的是(

)A．△ABD

B．△ACEC．△OBC

D．△OCD编辑ppt知1－练（来自《点拨》）如图所示，已知AC⊥BC，BD⊥AD，

AC与BD交于点O，AC＝BD.求证：

(1)BC＝AD；

(2)△OAB是等腰三角形．编辑ppt2知识点等腰三角形的判定和性质知2－讲拓展：根据等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理可知，由等腰三角形“三线合一”的性质的逆命题可得出等腰三角形的三个判定方法：(1)当三角形一边上的中线和高线重合时，利用线段垂直平分线的性质，可以判定这个三角形为等腰三角形；(2)当三角形一边上的中线和对角的平分线重合时，将中线倍长，利用三角形全等可以判定这个三角形为等腰三角形；(3)当三角形一边上的高线和对角的平分线重合时，直接利用三角形全等可判定这个三角形为等腰三角形．（来自《点拨》）编辑ppt知2－讲导引：要证DE＝DF，可构造以DE和DF为对应边的全等三角形，不妨过点E作EG∥AC交BC于点G，则只要证明△EDG≌△FDC即可，缺少的条件可运用等腰三角形的性质及判定得出．例3如图，在△ABC中，AB＝AC，EF交AB于点E，交

AC的延长线于点F，交BC于点D，且BE＝CF.求证：DE＝DF.编辑ppt知2－讲证明：过点E作EG∥AC交BC于点G，如图，则∠1＝∠F，∠2＝∠3.∵AB＝AC，∴∠B＝∠3(等边对等角)．∴∠B＝∠2.∴BE＝EG(等角对等边)．又∵BE＝CF，∴EG＝CF.

在△EDG和△FDC中，

∴△EDG≌△FDC(AAS)．∴DE＝DF.（来自《点拨》）编辑ppt总结知2－讲（来自《点拨》）证明线段(或角)相等，以其中一边(或角)所在三角形作为“基础三角形”在另一边(或角)上作与其全等的三角形是常用的作辅助线的方法；如本例是以DF所在的△DFC为“基础三角形”，以DE为边作与△DFC全等的△DEG；若以DE所在的△DEB为“基础三角形”，以DF为边作与△DEB全等的△DFG该怎么作呢？请读者试一试．编辑ppt知2－练（来自《典中点》）

(中考·泰安)如图，AD是△ABC的角平分线，

DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF.给出下列结论：①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AC＝3BF，其中正确的结论共有(

)A．4个B．3个C．2个D．1个编辑ppt知2－练（来自《典中点》）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB

的平分线交于点E，过点E作MN∥BC

交AB于M，交AC于N，若BM＋CN＝9，则线段MN

的长为(

)A．6B．7C．8D．9

在下列三角形中，若AB＝AC，则不能被