2021北京初二（上）期中数学汇编：勾股定理

24/242021北京初二（上）期中数学汇编勾股定理一、单选题1．（2021·北京市第十七中学八年级期中）如图，数轴上的点A表示的数是-1，点B表示的数是1，CB⊥AB于点B，且BC=2，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点A．2.8 B．22 C．22-2．（2021·北京·首都师范大学附属中学八年级期中）勾股定理是“人类最伟大的十大科学发明之一”．中国对勾股定理的证明最早出现在对《周髀算经》的注解中，它表示了我国古代入对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲，在《周髀算经》的注解中证明勾股定理的是我国古代数学家（

）A．夏艳芳 B．刘学升 C．李大荟 D．赵爽3．（2021·北京育才学校八年级期中）如图，数轴上点A所表示的数是（）A．5 B．﹣5+1 C．5+1 D．5﹣14．（2021·北京市师达中学八年级期中）如图，是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是2，直角三角形较长的直角边为m，较短的直角边为n，那么m+n2A．23 B．24 C．25 D．265．（2021·北京师大附中八年级期中）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是（

）A．0 B．1 C．2 D．36．（2021·北京·北大附中八年级期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，这是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A． B． C． D．7．（2021·北京市第四十三中学八年级期中）利用勾股定理，可以作出长为无理数的线段．如图，在数轴上找到点A，使OA=5，过点A作直线l垂直于OA，在l上取点B，使AB=2，以原点O为圆心，以OB长为半径作弧，弧与数轴的交点为C，那么点C表示的无理数是（A．21 B．29 C．7 D．298．（2021·北京师范大学附属实验中学分校八年级期中）如图，在4×4的正方形网格中，每一格长度为1，小正方形的顶点称为格点，A，B，C，D，E，F都在格点上，以AB，CD，EF为边能构成一个直角三角形，则点F的位置有（

）A．1处 B．2处 C．3处 D．4处9．（2021·北京市第十七中学八年级期中）若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的值为（

）.A．3 B．25 C．23 D．25或二、填空题10．（2021·北京市第十七中学八年级期中）如图是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从A⇒B⇒11．（2021·北京一七一中八年级期中）如图，AD是ΔABC的中线，∠ADC=45°，BC=4cm，把ΔACD沿AD翻折，使点C落在12．（2021·北京·北方工业大学附属学校八年级期中）在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，则斜边AB=____，斜边AB上的高线长为____．13．（2021·北京·北方工业大学附属学校八年级期中）Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AC为一边．在△ABC外部作等腰直角三角形ACD，则线段BD的长为____．14．（2021·北京·和平街第一中学八年级期中）如图，在数轴上点A表示的实数是________．15．（2021·北京市第一六一中学八年级期中）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1．点Q在直线BC上，且AQ=2，则线段BQ的长为___________．16．（2021·北京·和平街第一中学八年级期中）笔直的公路AB，AC，BC如图所示，AC，BC互相垂直，AB的中点D与点C被建筑物隔开，若测得AC的长为6km，BC的长为8km，则C，D之间的距离为__________17．（2021·北京市第四十三中学八年级期中）如图，在Rt△ABC中，直角边AC=6，斜边AB=10，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为18．（2021·北京师范大学附属实验中学分校八年级期中）在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则19．（2021·北京·和平街第一中学八年级期中）如图所示的正方形网格中，每一个小正方形的面积均为1，正方形ABCM，CDEN，MNPQ的顶点都在格点上，则正方形MNPQ的面积为__________．20．（2021·北京·和平街第一中学八年级期中）《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题：“今有垣高一丈．倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地．问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高1丈．将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”（说明：1丈=10尺）设木杆长x尺，依题意，列方程是__________．21．（2021·北京市第四十三中学八年级期中）如图，网格中的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点都在格点上，则AB边上的高为___________．22．（2021·北京市第十七中学八年级期中）在直线上依次摆着七个正方形(如图)，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，2，3，正放置的四个正方形的面积是S1，S2，S3，S4，则S1＋S2-S3-S4＝_________．23．（2021·北京市师达中学八年级期中）已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________．24．（2021·北京师大附中八年级期中）如图，∠C=∠ABD=90°，AC=4，BC=3，BD=12，则AD=____________

.三、解答题25．（2021·北京师范大学附属实验中学分校八年级期中）阅读、操作与探究：小亮发现一种方法，可以借助某些直角三角形画矩形，使矩形邻边比的最简形式（如4：6的最简形式为2：3）为两个连续自然数的比，具体操作如下：如图1，Rt△ABC中，BC，AC，AB的长分别为3，4，5，先以点B为圆心，线段BA的长为半径画弧，交CB的延长线于点D，再过D，A两点分别作AC，CD的平行线，交于点E．得到矩形ACDE，请仿照小亮的方法解决下列问题：(1)则矩形ACDE的邻边比为．(2)如图2，已知Rt△FGH中，GH：GF：FH＝5：12：13，请你在图2中画一个矩形，使所画矩形邻边比的最简形式为两个连续自然数的比，并写出这个比值；（需保留做图痕迹）(3)若已知直角三角形的三边比为（2n+1）：（2n2+2n）：（2n2+2n+1）（n为正整数），则所画矩形（邻边比的最简形式为两个连续自然数的比）的邻边比为；(4)若小亮所画的矩形的邻边比为3：4，那么他所借助的直角三角形的三边比为．26．（2021·北京·和平街第一中学八年级期中）小东和小明要测量校园里的一块四边形场地ABCD（如图所示）的周长，其中边CD上有水池及建筑遮挡，没有办法直接测量其长度．小东经测量得知AB=AD=5m，∠A=60°，BC=12m，∠ABC=150°．小明说根据小东所得的数据可以求出CD的长度．你同意小明的说法吗？若同意，请求出CD的长度；若不同意，请说明理由．27．（2021·北京市第十七中学八年级期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠B=60°，∠C=45°．(1)求∠BAC的度数．(2)若BD=1，求AD的长．28．（2021·北京师大附中八年级期中）正方形是我们非常熟悉的几何图形，它是四条边都相等，四个角都是直角的正多边形，它是轴对称图形，有四条对称轴，正方形的一条对角线可以把它分成两个全等的等腰直角三角形（如图1），两条对角线可以把它分成四个全等的等腰直角三角形（如图2）．（1）图3中有三个正方形，正方形ABCD，正方形BEFG，正方形MNPQ，那么图中有_________对全等的三角形．（2）若正方形BEFG的面积为S1，正方形MNPQ的面积为S2，不通过计算，推测S1和S2的大小关系是________．A．S1>S2

B．（3）若正方形ABCD的边长为18，则正方形BEFG的面积S1＝_______；正方形MNPQ的面积为S2＝______．（4）若正方形MNPQ的面积S2＝a，则正方形ABCD的面积S＝_______．29．（2021·北京育才学校八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=3，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于点D、E，AP平分∠BAC，与DE的延长线交于点P．（1）求PD的长度；（2）连结PC，求PC的长度．30．（2021·北京一七一中八年级期中）已知：如图，四边形ABCD中，AB=BC=2，CD=1，DA=3，∠ABC=90°，求四边形ABCD的面积．

参考答案1．C【分析】根据题意，利用勾股定理可以求得AC的长，从而可以求得AD的长，进而可以得到点D表示的数．【详解】解：由题意可得，AB=2，BC=2，∴AC∴AD∴点D表示数为：22故选：C．【点睛】本题考查实数与数轴，以及勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．2．D【分析】根据在《周髀算经》中赵爽提过”“赵爽弦图”解答．【详解】解：图中的图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．赵爽通过对这种图形切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了著名的勾股定理，它表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国数学史上的骄傲．故选：D．【点睛】本题考查勾股定理，记住“赵爽弦图”是赵爽在《周髀算经》提到过是解答本题的关键．3．D【分析】先根据勾股定理计算出BC＝5，则BA＝BC＝5，然后计算出OA的长，即可得到点A所表示的数．【详解】解：如图，BD＝1-(-1)＝2，CD＝1，OB=1，∴BC＝BD2+CD∴BA＝BC＝5，∴OA＝BA–OB=5-1，∴点A表示的数为5-1．故选：D【点睛】本题主要考查了勾股定理，实数与数轴的关系，熟练掌握勾股定理，实数与数轴的关系是解题的关键．4．B【分析】根据勾股定理，知两条直角边的平方等于斜边的平方，此题中斜边的平方即为大正方形的面积13，2mn即四个直角三角形的面积和，从而不难求得（m＋n）2．【详解】解：（m＋n）2＝m2＋n2＋2mn＝大正方形的面积＋四个直角三角形的面积和＝13＋（13−2）＝24．故选：B．【点睛】本题考查勾股定理、正方形的性质、直角三角形的性质、完全平方公式等知识，解题的关键是利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．5．D【分析】根据图中所示，利用勾股定理求出每个边长．【详解】解：观察图形，应用勾股定理，得AB=BC=AC=∴三个边长都是无理数；故选：D．【点睛】本题考查了无理数与勾股定理，解题的关键是理解无理数及使用勾股定理．6．D【分析】利用两个以a和b为直角边三角形面积+一个直角边为c的等腰直角三角形面积和=上底为a,下第为b,高为（a+b）的梯形面积推导勾股定理可判断A，利用以a与b为两直角边四个全等三角形面积+边长为c的小正方形面积和=以a+b的和为边正方形面积推导勾股定理可判断B，利用以a与b为两直角边四个全等三角形面积+边长为（b-a）的小正方形面积和=以c为边正方形面积推导勾股定理可判断C，利用四个小图形面积和=大正方形面积推导完全平方公式可判断D．【详解】解：A、∵两个以a和b为直角边三角形面积+一个直角边为c的等腰直角三角形面积和=上底为a,下第为b,高为（a+b）的梯形面积，∴12ab+12c2+12ab＝12（a+b）（∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；B、∵以a与b为两直角边四个全等三角形面积+边长为c的小正方形面积和=以a+b的和为边正方形面积，∴4×12ab+c2＝（a+b）2∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；C、∵以a与b为两直角边四个全等三角形面积+边长为（b-a）的小正方形面积和=以c为边正方形面积，∴4×12ab+（b﹣a）2＝c2∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；D、∵四个小图形面积和=大正方形面积，∴ab+b2+a2+ab=（a+b）2，∴a2+2ab+b2=（a+b）2，根据图形证明完全平方公式，不能证明勾股定理，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查利用面积推导勾股定理与完全平方公式，掌握利用面积推导勾股定理与完全平方公式是解题关键．7．B【分析】利用勾股定理列式求出OB判断即可．【详解】由勾股定理得，OB＝52∴点C表示的无理数是29．故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理，熟记定理并求出OB的长是解题的关键．8．D【分析】根据题意分当AB，CD为直角边时以及当EF，CD为直角边时，并运用勾股定理进行分析讨论求解.【详解】解：由题意可得CD当AB，CD为直角边时，有AB2+此时F如图:当EF，CD为直角边时，有EF2+此时F如图:所以综上点F的位置有4处.故选：D.【点睛】本题考查勾股定理的网格问题，熟练掌握勾股定理与分类讨论思想进行分析是解题的关键.9．D【分析】x可为斜边也可为直角边，因此要分类进行讨论，利用勾股定理求解．【详解】解：当x为斜边时，x2=22+42=20，所以x=2当4为斜边时，x2=16-4=12，x故选D【点睛】本题考查了勾股定理的应用，注意要分两种情况讨论．10．2【分析】由图形可知AB、BC都是直角边为1、2的直角三角形的斜边，利用勾股定理求解即可得．【详解】解：折线分为AB、BC两段，由图形可知，AB、BC都是直角边为1、2的直角三角形的斜边，由勾股定理得：AB=则小明沿图中所示的折线从A⇒B⇒故答案为：25【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．11．2【分析】根据翻折知：∠ADE＝∠ADC＝45°，ED＝EC，得到∠BDE＝90°，利用勾股定理计算即可．【详解】解：∵AD是Δ∴BD∵翻折，∴∠ADE=∠ADC∴∠BDE=90°，在RtΔBDE中，由勾股定理得：BE=故答案为：22【点睛】本题考查的是翻折变换以及勾股定理，熟记翻折前后图形的对应角相等、对应边相等是解题的关键．12．

10

4.8##245##【分析】先利用勾股定理求解AB的长，再利用等面积法可得12AB【详解】解：如图，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，CD为AB上的高线，∴AB∵CD为AB∵1∴CD故答案为：10,4.8【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，利用等面积法列方程，掌握“利用等面积法求解直角三角形斜边上的高”是解本题的关键.13．4或25或10【分析】根据题意分类讨论，①∠CAD=90°，②∠ACD=90°，③【详解】解：①如图，当∠CAD∵∠BAC=90°，∴AC=AD∴BD②如图，当∠ACD=90°时，过点D作DE⊥BC，交∵∠BAC=90°，AB=AC∴CD=AC又∵DE⊥∴△DEC∴DE在Rt△DEC中，∴DE=在Rt△ABC中，在Rt△BDE中，③如图，当∠ADC∵∠BAC=90°，AB=AC∴CD在Rt△ABC中，在Rt△BDC中，综上所述，BD的长为：4或25或10故答案为：4或25或10【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．14．5【分析】在直角三角形中，求得斜边的长，即可求解．【详解】解：在直角三角形中，由勾股定理可得：斜边长=所以点A表示的实数是5故答案为5【点睛】本题考查了勾股定理，实数与数轴的关系，根据勾股定理求出斜边的长是解答本题的关键．15．3+1或【分析】分当Q在射线CB上和当Q在射线BC上两种情况利用勾股定理求解即可.【详解】解：如图所示，当Q在射线CB上时，∵AC=BC=1，AQ=2，∠ACB=90°，∴CQ=∴BQ=如图所示，当Q在射线BC上时，∵AC=BC=1，AQ=2，∠ACB=90°，∴∠ACQ=90°，∴CQ=∴BQ=故答案为：3+1或3【点睛】本题主要考查了勾股定理，解题的关键在于能够理解Q的位置有两个.16．5【分析】由题意可以知△ABC为直角三角形，根据勾股定理可以求得AB【详解】解：∵AC，BC互相垂直∴∠ACB=90°，由勾股定理得AB又∵D为AB的中点∴CD故答案为5．【点睛】此题考查了直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理和直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解本题的关键．17．25【分析】利用翻折变换的性质得出AD=BD，再利用在Rt△【详解】解：∵直角边AC=6，斜边AB∴BC=AB2设AD=x，则∵将一张直角△ABC纸片折叠，使点B与点A重合，折痕为DECD=BC-AD则x264+x整理得：16x解得：x=即AD的长为254故答案为：254【点睛】本题考查了折叠的性质以及勾股定理，解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用，注意折叠中的对应关系．18．14或4##4或14【分析】根据高在三角形内部和外部分类讨论，勾股定理求出相应线段长即可．【详解】①如图，锐角△ABC中，AC=13，AB=15，BC∵在Rt△ACD中AC=13∴CD∴CD=5在Rt△ABD中AB=15BD∴CD=9∴BC的长为BD+②钝角△ABC中，AC=13，AB=15，BC在Rt△ACD中AC=13CD∴CD=5在Rt△ABD中AB=15BD∴BD=9∴BC的长为DB-故答案为14或4．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题关键是根据高的不确定性,画出图形，分类讨论．19．45【分析】根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：∵CM=3，CN=6，∠MCN=90°，∴MN2=CM2+CN2=32+62=45，∴正方形MNPQ的面积=MN2=45，故答案为：45．【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．20．102【分析】当木杆的上端与墙头平齐时，木杆与墙、地面构成直角三角形，设木杆长为x尺，则木杆底端离墙有x-【详解】解：如图，设木杆AB长为x尺，则木杆底端B离墙的距离即BC的长有x-在Rt△ABC中，∴AC2∴102+故答案为：102【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是由实际问题抽象出直角三角形，从而运用勾股定理解题．21．6【分析】如图（见解析），先根据网格的特点、勾股定理求出AB的长，再根据三角形的面积公式即可得．【详解】设AB边上的高为h如图，由网格的特点得：AC∵∴解得h故答案为：65【点睛】本题考查了勾股定理的网格问题，熟记勾股定理是解题关键．22．-2【分析】观察图形根据勾股定理的几何意义，边的平方的几何意义就是以该边为边的正方形的面积．【详解】解：如图∵AB=BE，∠ACB=∠BDE=90°，∴∠ABC+∠BAC=90°，∠ABC+∠EBD=90°，∴∠BAC=∠EBD，∵在△ABC与△BDE中，∠∴△ABC≌△BDE（AAS），∴BC=ED，∵AB2=AC2+BC2，∴AB2=AC2+ED2=S1+S2，即S1+S2=1，同理S3+S4=3．故S1＋S2-S3-S4＝（S1＋S2）-（S3+S4）＝1-3=-2．故答案为-2．【点睛】本题考查了全等三角形的判定以及性质和勾股定理，一个直角三角形的斜边的平方等于另外两边的平方和．边的平方的几何意义就是以该边为边的正方形的面积．23．5或7【分析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论．【详解】解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时，第三边的长为：42②长为3、4的边都是直角边时，第三边的长为：42∴第三边的长为：7或5，故答案为：7或5．24．13【分析】先根据勾股定理求出AB的长，再根据勾股定理求出AD的长．【详解】在直角三角形ABC中，AC=4，BC=3根据勾股定理，得AB=AC在Rt△ABD中，BD=12根据勾股定理，得AD=AB2+【点睛】本题考查了勾股定理的应用，能运用勾股定理进行计算是解本题的关键．25．(1)1∶2(2)作图见解析；2∶3；(3)n∶n+1(4)24:7:25【分析】先作图，将旋转后的矩形作出来，通过图像可计算出矩形的边长，进而计算出邻边比，由此可以解决（1）（2）（3）问，（4）通过前三问可总结出规律，矩形的邻边比等于直角三角形较长的直角边比直角三角形最短的直角边与斜边之和，根据以上关系列方程可解决第４问．(1)解：如下图所示：CD的长度为3＋5=8，故矩形ACDE的邻边比为：AC∶CD=4∶8=1∶2，故答案为：1∶2．(2)解：如上图所示，FK是由HF旋转得到的，设GH=5a，∴GK=GH＋HK=5a＋13a=18a，∴FG∶GK=12a∶18a=2∶3，故比值为：2∶3．(3)解：矩形的长=（2n+1）+（2n2+2n+1）=2n2+4n+2，矩形的宽=2n2+2n，∴邻边比=（2n2+2n）∶（2n2+4n+2）=n∶n+1，故答案为：n∶n+1．(4)由题可知，直角三角形直角边为3，设斜边为x，则另一条直角边为4－x．由勾股定理可知：32+解得：x=25所以直角三角形的三边比为：3:(4-25故答案为：24:7:25．【点睛】本题考查直角三角形的性质，作图能力，列方程，以及分析，归纳，总结，应用的能力，能够快速总结出规律并正确的运用规律是解决本题的关键．26．同意，13m【分析】直接利用等边三角形的判定方法得到△ABD是等边三角形，再利用勾股定理得出答案即可．【详解】解：同意，理由如下：连接BD∵AB=AD=5，∠A=60°∴△ABD是等边三角形∴BD=AB=5，∠ABD=60°∵∠ABC=150°∴∠CBD=∠ABC－∠ABD=150°－60°=90°在Rt△CBD中，BD=5，∴CD答：CD的长度为13米．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用以及等边三角形的判定，正确得出△ABD是等边三角形是解题的关键．27．(1)∠BAC=75°(2)3【分析】（1）根据三角形的内角和定理计算即可．（2）根据直角三角形30度角的性质求出AB=2，再利用勾股定理即可解决问题．(1)解：∵∠BAC=180°-∠B-∠C，∠B=60°，∠C=45°，∴∠BAC=75°．(2)解：在Rt△ABD中，∵BD=1，∠BAD=90°-∠B=30°，∴AB=2BD=2，∴AD=AB2【点睛】本题考查了直角三角形30度角的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．28．（1）3；（2）A；（3）81，72；（4）4.5a．【分析】（1）根据全等三角形的定义将图中全等的三角形一一列举出来，进而即可求解；（2）由（1）可知△ABC≌△ADC，根据正方形BEFG的面积的2倍等于S△ABC，正方形MNPQ的面积的2倍等于四边形ACQM的面积，小于S△A（3）勾股定理求得AC，进而设AN=x，则AC=3（4）根据（3）的结论，则可知AC=3a，进而求得AB的长，即可求得正方形【详解】解：（1）有3对，分别是