线性空间与线性变换

线性空间与线性变换第一页，共五十五页，2022年，8月28日前言一、课程介绍研究内容：矩阵与线性空间和线性变换以矩阵为工具研究问题在其中发展矩阵理论矩阵在各种意义下的化简与分解矩阵的分析理论各类矩阵的性质研究矩阵被认为是最有用的数学工具，既适用于应用问题，又适合现代理论数学的抽象结构。第二页，共五十五页，2022年，8月28日二、教学安排学时配置讲授第1章至第6章(48学时)

第1章：10学时;第2章：8学时第3章：8学时；第4章：6学时；第5章：8学时；第6章：6学时考核方式：课程结束考试（第13周）卷面成绩为最终成绩第三页，共五十五页，2022年，8月28日三、教学指导意见背景要求：线性代数矩阵与计算工具：MATLAB，MAPLE,…矩阵与现代应用：应用选讲教学参考书：余鄂西，矩阵论，高等教育出版社，1995。方保熔等，矩阵论，清华大学出版社，2004。FuzhenZhang，MatrixTheory，Springer，1999。DenisSerre，MatricesTheoryandApplications，Springer，2002。矩阵论历年试题及其解答不交作业，但应该重视练习环节。第四页，共五十五页，2022年，8月28日第1章：线性空间与线性变换内容：线性空间的一般概念重点：空间结构和其中的数量关系线性变换重点：其中的矩阵处理方法特点：研究代数结构——具有线性运算的集合。看重的不是研究对象本身，而是对象之间的结构关系。研究的关注点：对象之间数量关系的矩阵处理。学习特点：具有抽象性和一般性。第五页，共五十五页，2022年，8月28日1.1线性空间一、线性空间的概念几何空间和n维向量空间的回顾推广思想：抽象出线性运算的本质，在任意研究对象的集合上定义具有线性运算的代数结构。定义1.1（P

.1）要点：集合V与数域F向量的加法和数乘向量运算运算的性质刻画第六页，共五十五页，2022年，8月28日常见的线性空间Fn={X=（x1，x2，…，xn）T：xF}

运算：向量加法和数乘向量Fmn

={A=[aij]mn：a

ijF}；

运算：矩阵的加法和数乘矩阵Rmn

；Cmn

。Pn[x]={p(x)=：aiR}

运算：多项式的加法和数乘C[a，b]={f（x）：f（x）在[a，b]上连续}

运算：函数的加法和数乘eg5：V=R+，F=R，ab=ab，a=a

F=R或C第七页，共五十五页，2022年，8月28日线性空间的一般性的观点：线性空间的一般形式：V（F），元素被统称为向量：，，，线性空间的简单性质（共性）：

定理1.1：V（F）具有性质：（1）V（F）中的零元素是惟一的。（2）V（F）中任何元素的负元素是惟一的。（3）数零和零元素的性质：

0=0，k0=0，k=0=0

或k=0（4）=（1）数0向量0第八页，共五十五页，2022年，8月28日二、线性空间的基和维数向量的线性相关与线性无关：定义形式和向量空间Rn中的定义一样。有关性质与定理和Rn中的结果一样。例题1证明C[0，1]空间中的向量组{ex，e2x，e3x

…，enx}，x[0，1]

线性无关。第九页，共五十五页，2022年，8月28日二、线性空间的基和维数基与维数的概念：P.2，定义1.2常见线性空间的基与维数：Fn，自然基{e1，e2，…,en}，dim

Fn=nRmn

，自然基{Eij}，dim

Rmn

=mn。Pn[x]

，自然基{1，x，x2，x3…,xn-1}，dimPn[x]

=nC[a，b]，{1，x，x2，x3…xn-1…}C[a,b]，

dimC[a，b]=约定：Vn

（F）表示数域F上的n维线性空间。只研究有限维线性空间。第十页，共五十五页，2022年，8月28日三、坐标1定义1.3（P.3)设{1，2，…，n}是空间的一组基，，=，则x1，x2，…，

xn

是在基{i}下的坐标。例1：求R22中向量在基{Eij}下的坐标。要点：

坐标与基有关坐标的表达形式第十一页，共五十五页，2022年，8月28日例2

设空间P4[x]的两组基为：{1，x，x2，x3}和{1，（x-1）1，（x-1）2，（x-1）3}求f（x）=2+3x+4x2+x3在这两组基下的坐标。归纳：任何线性空间Vn[F]在任意一组基下的坐标属于Fn。每一个常用的线性空间都有一组“自然基”，在这组基下，向量的坐标容易求得。求坐标方法的各异性。第十二页，共五十五页，2022年，8月28日2、线性空间Vn（F）与Fn的同构

坐标关系Vn

（F）Fn

基{1，2，。。。n}由此建立一个一一对应关系Vn

（F），XFn，（）=X（1+2）=（1）+（2）（k）=k（）在关系下，线性空间Vn

（F）和Fn同构。第十三页，共五十五页，2022年，8月28日同构的性质定理1.3:Vn

（F）中向量{1，2，…n}线性相关它们的坐标{X1,

X2,…,Xn}在Fn中线性相关。同构保持线性关系不变。应用：

借助于空间Fn中已经有的结论和方法研究一般线性空间的线性关系。第十四页，共五十五页，2022年，8月28日例题2

设R22中向量组{Ai}1

讨论{Ai}的线性相关性.2求向量组的秩和极大线性无关组.3把其余的向量表示成极大线性无关组的线性组合.第十五页，共五十五页，2022年，8月28日四、基变换和坐标变换讨论：不同的基之间的关系同一个向量在不同基下坐标之间的关系基变换公式设空间中有两组基：过渡矩阵C的性质：C为非奇异矩阵C的第i列是i

在基{i

}下的坐标则过渡矩阵第十六页，共五十五页，2022年，8月28日2坐标变换公式已知空间中两组基：满足::;讨论X和Y的关系

X=CY123第十七页，共五十五页，2022年，8月28日例题4、已知空间R中两组基（I）{Eij}（II）；{}求从基（I）到基（II）的过渡矩阵C。求向量在基（II）的坐标Y。例题3、（P6例题11）第十八页，共五十五页，2022年，8月28日§1.1

五、子空间

概述：线性空间Vn（F）中，向量集合V可以有集合的运算和关系：WiV，W1W2，W1W2，问题：这些关系或运算的结果是否仍然为线性空间？第十九页，共五十五页，2022年，8月28日1、子空间的概念

定义：

设集合WVn（F），W

，如果W中的元素关于Vn（F）中的线性运算为线性空间，则称W是Vn（F）的子空间。

判别方法：定理1·5W是子空间

W对Vn（F）的线性运算封闭。子空间本身就是线性空间。子空间的判别方法可以作为判别线性空间的方法第二十页，共五十五页，2022年，8月28日重要的子空间：

设向量组｛1，2，···，

m｝Vn（F），由它们的一切线性组合生成的子空间：L{1，2，···，m}

=

｛}

矩阵AFm×n，两个子空间：A的零空间：N（A）=｛X：AX=0｝Fn，A的列空间：

R（A）=L{A1，A2，···，An｝Fm，

Ai为A的第i列。第二十一页，共五十五页，2022年，8月28日2、子空间的“交空间”与“和空间”

讨论：设W1Vn（F），W2

Vn（F），且都是子空间，则W1W2和W1W2是否仍然是子空间？（1）

交空间交集：W1W2=｛

W1

而且W2｝Vn（F）定理1·6W1W2是子空间，被称为“交空间”（2）和空间和的集合：W1＋W2=｛=X1＋X2X1W1，X2W2｝，W1W2W1＋W2定理1·6

W1＋W2是子空间，被称为“和空间”，W1W2不一定是子空间，W1W2

W1＋W2

第二十二页，共五十五页，2022年，8月28日例1·7

设R3中的子空间W1=L{e1}，W2=L{e2}

求和空间W1＋W2。比较：集合W1W2和集合W1＋W2。如果W1=L{1，2，…，

m}，

W2=L{1，2，…，

k}，则W1＋W2=L{1，2，…，m，1，2，…，

k}

第二十三页，共五十五页，2022年，8月28日3、维数公式

子空间的包含关系：

dimW1W2dimWidimW1＋W2dimVn（F）。定理1·7：dimW1＋dimW2=dim（W1＋W2）＋dim（W1W2）证明：第二十四页，共五十五页，2022年，8月28日4、子空间的直和

分析：如果dim（W1W2）0，则

dim（W1＋W2）dimW1＋dimW2

所以：

dim（W1＋W2）=dimW1＋dimW2

dim（W1W2）=0W1W2={0}直和的定义：

定义1·6：

dim（W1W2）=0，则和为直和

W=W1＋W2=W1W2，第二十五页，共五十五页，2022年，8月28日子空间的“和”为“直和”的充要–条件：定理1·8

设W=W1＋W2，则下列各条等价：（1）

W=W1W2（2）

XW，X=X1＋X2的表是惟一的（3）

W中零向量的表示是惟一的（4）

dimW

=dimW1＋dimW2第二十六页，共五十五页，2022年，8月28日例1

P12eg18例2

设在Rn×n中，子空间

W1={A

AT=A}，W2={BBT=–B}，证明Rn×n=W1W2。例3

子空间W的“直和补子空间”

第二十七页，共五十五页，2022年，8月28日1·2

内积空间

主题：定义内积的概念，借助于内积建立线性空间的度量关系。

一、

欧氏空间和酉空间1几何空间中度量关系的定义基础2内积的定义定义1·7(P13)：要点内积(，)是二元运算：Vn(F)F

(，)的公理性质

(，)是任何满足定义的运算。讨论(，1＋2),(，k)

第二十八页，共五十五页，2022年，8月28日

3.内积空间的定义[Vn（F）；（，）]，

F=R，欧氏空间；F=C，酉空间4常见的内积空间：[Rn

；(，)=

T],[Cn

；(，)=H],[Cm×n；(A，B)=tr(BHA)][Pn[X]；(f(x)，g(x))=]第二十九页，共五十五页，2022年，8月28日5向量的长度

定义：||

||=6

欧氏空间中向量的夹角：定义：0，0，夹角定义为：cos=性质：

||

k||

=k||

||

；Cauchy不等式：

，

[Vn(F)；(，)],

|

(，)

|

||

||

||

||

。||

＋||

||

||

＋||

||

和正交（，）=0

第三十页，共五十五页，2022年，8月28日7线性空间的内积及其计算：设{1，2，…,n}是内积空间Vn(F)的基，，Vn(F)，则有=x11＋x22＋…＋xn

n=

(12…n)X；=y11＋y22＋…＋yn

n=(1

2…n)Y(，)==YHAX，

定义内积在一个基{1，2，…，

n}中定义内积

定义一个度量矩阵A。

度量矩阵A度量矩阵的性质：第三十一页，共五十五页，2022年，8月28日二、标准正交基

1标准正交的向量组：

定义：｛1，2，…，n｝为正交组(i，j)=0性质：2标准正交基基｛1，2，…，n｝是标准正交基(i，

j)=标准正交基的优点：第三十二页，共五十五页，2022年，8月28日标准正交基的优点：

度量矩阵是单位矩阵，即A=I=(12…n)X，=(12…n)Y，(，)=YHX=x11＋x22＋…＋xn

n，xi=(，i)和正交其坐标X和Y正交

坐标空间Fn的内积求标准正交基的步骤：

Schmidt正交化

标准化矩阵方法讨论第三十三页，共五十五页，2022年，8月28日正交补”子空间(i)

集合的U的正交集：U=｛Vn(F)：U，(，)=0｝(ii)

U是Vn(F)的子空间

U

是Vn(F)子空间(iii)

Vn(F)=UU

。U的正交补子空间第三十四页，共五十五页，2022年，8月28日§1·3线性变换

一、

线性变换的概念定义1.11(P.19)要点：（i）T是Vn（F）中的变换：

T：Vn（F）Vn（F）。(ii)T具有线性性：

T（＋）=T（）＋T（）

T（k）=kT（）从一般性的角度给出的定义第三十五页，共五十五页，2022年，8月28日例题1

Vn（F）中的相似变换T

：是F中的数，Vn（F），T（）=

。特例：=1，T是恒等变换，

=0，T是零变换。

可以在任何线性空间中定义相似变换!例题2

Fn中的变换TA：设AFn×n是一个给定的矩阵，XFn，TA（X）=AX。例题3

Pn[X]中的微分变换：第三十六页，共五十五页，2022年，8月28日2线性变换的性质：（i）T(0)=0（ii）

T(－)=－T()（iii）

3线性变换的象空间和零空间设线性变换T：Vn(F)Vn(F)，象空间R(T)=｛：Vn(F)，=T()｝

零空间N（T）=｛：Vn(F)

，T()=0｝定义：T的秩=dimR（T）；T的零度=dimN（T）线性变换保持线性相关性不变！第三十七页，共五十五页，2022年，8月28日例题27

求Fn线性中的变换TA:Y=AX的象空间和零空间。R（TA）=R（A）；N（TA）=N（A）第三十八页，共五十五页，2022年，8月28日4线性变换的运算设T1，T2都是空间Vn(F)中的线性变换，常见的用它们构成的新的变换：（i）

T1＋T2

Vn（F），（T1＋T2）（）=T1（）＋T2（）（ii）

T1T2

Vn（F），

(T1T2)（）=T1（T2（））（iii）

kT

Vn（F），（kT）（）=k（T（））（iv）

若T－1是可逆变换，T－1

T－1()=当且仅当T()=。定义第三十九页，共五十五页，2022年，8月28日二、线性变换的矩阵

1线性变换的矩阵与变换的坐标式Vn（F）上线性变换的特点分析：定义变换T

确定基中向量的象T（i）。定义T（i）确定它在基下{i}的坐标Ai

。定义变换T

确定矩阵A=[A1，A2，…，An]（i）

A为变换矩阵（ii）

变换的坐标式：Y=AX（iii）

应用意义第四十页，共五十五页，2022年，8月28日例题1

对线性变换:P4[X]P4[X]，求D在基{1，X，X2，X3}下的变换矩阵。2求向量在变换D下的象。第四十一页，共五十五页，2022年，8月28日

2线性变换运算的矩阵对应：设Vn（F）上的线性变换T1，T2，它们在同一组基下的矩阵：T1A1；T2A2（i）（T1＋T2）（A1＋A2）（ii）（T1T2）

A1A2（iii）（kT）

kA（iv）T－1

A－1第四十二页，共五十五页，2022年，8月28日3不同基下的变换矩阵两组基：{1，2，…,n}，{1，2，…,n}，（12…n）=（12…n

）CT（12…n

）=（12…n）AT（12…n）=（12…n）B

同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的B=C－1AC123例题2（P23，eg28）第四十三页，共五十五页，2022年，8月28日例题2（P23，eg28）例题3（P24，eg29）

设单位向量u=（2/3，-2/3，-1/3），定R3上的线性变换P（x）=x-（x，u）u，求P在自然基{e1，e2，e3}下的变换矩阵。求P在标准正交基{u，u2，u3}下的变换矩阵。第四十四页，共五十五页，2022年，8月28日三、不变子空间问题的背景：变换矩阵的化简和空间的分解的对应关系1.不变子空间的概念矩阵简化要求空间分解的特点定义(p24,定义1.14)2.不变子空间的判别W是T的不变子空间WT（）W。特别：W=L{1，2，…，m}，

W是T的不变子空间T（i）W。

T（W）W。第四十五页，共五十五页，2022年，8月28日P24，例题30R3上的正交投影P：P（x）=x–（x，u）u，u是单位向量。证明L（u）和

u

={x：（x，u）=0}是P的不变子空间。第四十六页，共五十五页，2022年，8月28日3空间分解与矩阵分解Vn（F）=WU，W，U是T的不变子空间，W=L

{1，…，r}，U={r

+1，

…，n}则T

{1，…，r，r

+1，

…，n}Vn（F）=U1U2

…Uk，则T矩阵Ai的阶数=dimUi第四十七页，共五十五页，2022年，8月28日四、正交变换和酉变换讨论内积空间[V；（，）]中最重要的一类变换。1定义1.15

（P25）2正交（酉）变换的充要条件：

（定理1.15,P26

）T是内积空间V（F）上的线性变换，则下列命题等价：T是正交变换T保持向量的长度不变T把V（F）的标准正交基变成标准正交基T在标准正交基下的矩阵是正交矩阵3正交矩阵和酉矩阵的性质正交矩阵C：CTC=I

酉矩阵U：UHU=I定理1.16(P27)

第四十八页，共五