弹性力学题解

1.说明下列应变状态是否可能.7(x2+)2)cxy0、£cxycy2010ooj解:若应变状态可能，则应变分量应满足协调方程。二维情况下,协调方程为:爹+等二萼Oy2 0x2dxdy328 328 x+ I—3y328 328 x+ I—3y2小2di—[c(A：2+y2)]+②2d2dx2(cy2)=2c显然满足方程，故该应变状态可能。2、设T=T=T,其余应力分量为零，求该点的主应力及对应于最大主应力的xyyz主方向。解：I=0I=OO+OO+OO—T2—T2—T2=—2T2x y yzzx孙yzzxTOC\o"1-5"\h\z0 T 01=1 0 T =00 T 0O3—2t20=0解得o=V5u,o=0,o=-<12u1 2 3设对应于o］的主方向为/,帆,〃，有,0、二0O又有/2+m2+722=1求得/=!，用二把，〃二，2 2 23、一方板，z向厚度h=l(hnin,边长a=800nmi,且平行于x,y轴，c=360MPa,(5=t=t=0,8=0,若E=72Gpa^=0.33，求。和此板变形后x zxzxy y y的尺寸。解：(1)求。y1「 ， 5ce=Q-u(o+o)]=0yEyxz:.o=u(o+oz)=118.8MPa(2)求ex1e=[o-u(o+o)]=0.00446xExyz伸长Aa=e义a=0.00446义800=3.56mm(3)厚度变化e=—[o-u(o+o)]=-2.19x10-3zEzxy・•・Ah=-2.19x10-3x10=-0.022mm4、平面应变问题中某点的三个应力分量为ox=100Mpa,oy二50Mpa,T=50Mpa,求该点的三个主应力及ex。设弹性模量E=200GPa,泊松比v=0.2。1、8分o=130.9MPa1o=30MPa2o=19.1MPa32、6分—V2 Ve= [o-——o]=0.00042xEx1-v4、&逆解法求解圆截评柱体扭转问题的解.（提示：假定x=y=z=xy=0）解：(1)如图所示，由材料力学知距离圆心解：(1)如图所示，由材料力学知距离圆心O点任意距离P处的切应力3y」pJ"dxdypTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument".八 T .八 T\o"CurrentDocument"/.t=-rsin0=--psin0=-yxz [ [p pTTT=TCOS0= pcos0=x\o"CurrentDocument". Ip IpCTx=Oy=CTz=T孙二0(2)检验是否满足平衡微分方程和应力调协方程将应力分量分别代入平衡微分方程CTi，j+Fb，=0(i,j=X,y㈤和应力调协方程「 1a2©V20+ y1+Ua2y「 1a2©V20Jv九+1a2©xy1+uaxay—0v2T +1 a2©—0zx1+uazaxorV20+o—0ij1+ukk,ij(where©—o+o+o—o可知均满足方程.(3)检验是否满足边界条件侧 面 ： 面 力p—p—p=0,方向余弦l—cos0,m=sin0,n=0，代人Pi一0jnj,能精确满足.端部：(oz)z=0，l 0满足M-JJoydxdy=0,满足x zM—JJoxdxdy=0,满足y zX—JJtdxdy=0,利用圣维南原理，近似满足zxy—JJtdxdy=0利」用圣维南原理，近似满足T=JJ(xT。-yT'dxdy利用圣维南原理，近似满足可知利用圣维南原理，也可满足。故这些应力分量是圆截面柱体扭转问题的解。5、不计体力，设一物体内的位移分量为u=v=O,w=w(z)学位移函数w=w(z).解:(1)由几何方程，求得应变分量：8=0,8=0,8二%yzdzy=y=y=0孙yzzx(2)由物理方程，求得应力分量：O=E+cBe=2.+X05,。二£U1+UU(1+U)(l—2U)U ijy kk.dwO=O=N %y~dz八c、dw◎=(A+2|li)—z dzT=T=T=0孙 ” 才(3)利用平衡微分方程求解：do%+:%+-%=0dxdy也TOC\o"1-5"\h\zSo5ty+ + _=0dy&dxSo5tz+%z+ "=0dzdxdy前两个方程满足，由第三个方程有八八xd2w八(X+2|ix) =0正2(为常数)w=cz+c?(为常数)对该式积分得： 1 2C=0不考虑刚体位移，则2.\W=CZ6、求应力分量(可假设ox=0)用半逆解法。h解:TOC\o"1-5"\h\z①二yf(x)+f(x)1 2代入双调和方程:34f34f?y—+—二=03x4 3x4*=2=03x4 3x4f1(x)=C2x3+C3x2+C4x+C5f(x)=Cx3+Cx2+Cx+C.•.①二y(Cx3+Cx2+Cx)+Cx3+Cx2(一次项不要)由公式oy由公式oy=,T3x2 xyoy=y(6C2x+2C3)+(6C6x+2C7)Txy=-(3c2x2+2C3x+C4)边界条件：

TOC\o"1-5"\h\z⑴左边内)=0,(T) =0xx=0 xyx=0有c4=0(2)右边：(oJxh00,(tx)…=q有-3Ch2-2Chqq (1)⑶上边9) =0有c6=c7yqy0。而t6显然7不满足，应采用圣维南原理xy卜tdx=卜(-3Cx2-2Cx)dx=00xy 0 2 3即Ch3+Ch2=0 (2)雇立a)3,(2)得一£'C应力分量的最后解答为o=0o=2qy(1-3-)yhhT=q~(3y-2)xyhh7、7、分析下列应力函数可解决什么样的平面应力问题3F xy3 q9fq (xy )+y2/4C 3C2 2解：（1）经验证，该应力函数满足双调和方程解：（2）求应力分量3Fx—y+q2C3S29n%、=0Txyd.xTxyd.xSy 4C(1-却（3）建立如图所示坐标系，考虑物体边界条件上下边界：y=±c,qy=0,1=0左边界：Q=qWt的合力为Fxy解决问题：悬臂梁在自由端受轴向拉力和横向集中力作用。8、契形体顶部受力偶y

解：可设中=f(0),求得分=Acos20+Bsin20+C0+D利用反对称，A=D=0最后得，M Mcos2aB=- ,C= sin2a-2acos2a sin2a-2acos2aq0q09、如图边长为a的方板，其应力解是否为。=q0sin（兀y/a）,0「0,\=0?说明理由。解：虽然该解满足边界条件和平衡微分方程，但不满足协调方程。10、设有应力场ox=y2,o=x2,o.=x=xz=x=0，它是否能成为某弹性力学问题的解11、图示1/4薄圆板，一边固定一边受线性分布荷载。试分别写出直角坐标和极坐标系的边界条件。12、在极坐标中，中=C0可否作为应力函数？如可，求出应力分量，并考察此应力分量可表示何种有意义的工程问题。13、悬臂梁沿下边受均布剪力，而上边和x=l的一端不受荷载时，可用应力函数①=s（1xy-半-=+”+》）得出解答。并说明此解答在哪些方面是不完善4 4c4c24c4c2的。

*x*x解：1、验证是否满足V4①=0，满足;2、求应力分量2x6xy216ly、——一一-+—+-^-)4c4c24c4c2S2m 12y3y2——=s(--+—+-^)SxSy 4 4c4c2上边主要边界：下边3、验证边界条件上边主要边界：下边（o） =0,满足《）=0,满足（O） =0,满足《）=S，满足（O）1=0,满足次要边界：（Tx）"'=0,不可能精确满足，xyx=1利用圣维南原理Jc（t）bdy=0,满足cxyx=14、此解答在固定端和自由端附近有较大误差。14、试确定应力函数①=cp2（cos2m-cos2a）中的常数c值，使满足图中边界条件（o）=0，（t）=s;（o） =0，（t） =-s;。并证明契顶没有集中力或集mm=a pmm=a mm=-a pmm=-a中力偶。解：1、验证是