2021-2022学年河北省保定市定州市高一（下）期末数学试卷（附答案详解）

2021-2022学年河北省保定市定州市高一（下）期末数学

试卷

单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1.复数子的共轨复数是（）

A.-l+5iB.-l-5iC.l+5iD.l-5i

2.某工厂生产甲、乙两种不同型号的产品，产量分别为2000件，3000件.为检验产

品的质量，现用等比例分层抽样的方法从以上所有产品中抽取100件进行检验，则

应从甲种型号的产品中抽取的产品数量为（）

A.20B.30C.40

3.如图所示，一个水平放置的平面图形04BC的斜二测直

观图是平行四边形O'4'B'C',且OC'=2OZ'=2,

Z.A'0'C=45°,则平面图形O4BC的周长为（）

A.12

B.4^2

C.5

D.10

4

则K

-

4.已知单位向量落石满足（五+石）・（五一29）=3-a

1111

A.aB,-C,-D.-

5.从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，则互斥且不对立的两个事件是

（）

A.“都是红球”与“都是黑球"

B.“至少有一个红球”与“恰好有一个黑球”

C.“至少有一个红球”与“至少有一个黑球”

D.“都是红球”与“至少有一个黑球”

6.在正方体力BCD-&B1C也中，E为棱ZB的中点，则异面直线5E与BCi所成角的

正切值为（）

A.更B.立C.V2北

।c

一艘船航行到点4处时，测得灯塔C在其北偏东75°A---------

方向，如图所示随后该船以15海里/小时的速度，''阂

西...................冻

向东南方向航行2小时后到达点B,测得灯塔C在其北偏东30方向，此时船与灯塔C间

的距离为()

A.1O近海里

B.15通海里

C.10通海里

D.30海里

8.在A4BC中4B=4C=3而,8(7=6，且存在0,E满足而=一2而，谓=一2荏,

则炉•AB=()

A.-21B.-20C.-18D.-16

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分)

9.己知复数z=(l-i)(a+i)(aeR),则()

A.若a=2,则z=3—i

B.若a=2,则|z|—10

C.若z为纯虚数，贝Ua=-1

A.2016〜2020年，全球每年产生的数据量在持续增加

B.2016〜2020年，全球数据量的年平均增长率持续下降

C.2016〜2020年，全球每年产生的数据量的平均数为33.7

D.2015年，全球产生的数据量超过15ZB

11.在AABC中，内角4B,C所对的边分别为a,b,c,且a=l,A=^,则()

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A.b=2asinBB.sinB=bsinA

C.△ABC周长的最大值为3D.布•前的最大值为2

12.在矩形4BCD中，AB=2BC=2,E是CC的中点，将ABCE沿BE翻折，直至点C落

在边48上.当ABCE翻折到APBE的位置时，连接4P,0P,如图所示，则下列说

A.四棱锥P—4BED体积的最大值为史

4

B.设的中点为F,当P尸=：时，二面角P—BE—D的余弦值为:

C.不存在某一翻折位置，使得PA1PE

D.M是PB的中点，无论翻折到什么位置，都有EM〃平面PAD

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,2a2+2c2-2b2=ac,则

cosB=.

14.袋中有除颜色外完全相同的球共4个，其中红球3个，黄球1个，从袋中任意取出2个

球，则取出的2个球都是红球的概率为.

15.已知某圆锥的母线长为5,其侧面展开图的面积为15兀，则该圆锥外接球的表面积

为.

16.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“勾

股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”.如图，它是由四个

全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方

形.已知HE=2EB,M为线段AB的中点，设P为中间小正

方形EFGH内一点（不含边界）.若丽=入砒一碗,则2的

取值范围为

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17.已知向量五=(2,X),K=(1,2).

(1)若五J.石,求|五+石|；

(2)若五〃石，向量1=(1,1),求五与3夹角的余弦值.

18.如图，平面4BC01平面4BEF,在矩形4BC0中，AB=y/3AD=6,四边形4BEF为

菱形，G为线段BE的中点，/.ABE=60°.

(1)证明：AG_L平面4DF；

(2)求三棱锥E-4CG的体积.

19.某校在某次学业水平测试后，随机抽取了若干份数学试卷，并对其得分(满分100分

)进行统计，根据所得数据，绘制了如图所示的频率分布直方图(分组区间为[50,60),

[60,70),[70,80),[80,90),[90,100])•根据试卷得分从低到高将学生的成绩分为。，

C,B,4四个等级，每个等级中的学生人数占比如表所示.

成绩等级DCBA

得分范围[50,%)k.y)[y，z)[z,100]

占比20%30%30%20%

(1)求图中a的值，并根据频率分布直方图估计该校学生这次学业水平测试数学成绩

的平均分；(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)

(2)试确定成绩等级为B的得分范围(结果保留一位小数).

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20.如图，在平面四边形4BCD中，AB=0,BC=W,ACA.CD，且4c=CD.

(1)若cos/J34c=也，求AC；

(2)求四边形ABCD面积的最大值.

21.为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某校组织了防疫知识测试.测试共分为两轮，每

位参与测试的同学均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中的测试成绩均合格，则视

本次测试成绩为合格.甲、乙两名同学均参加了本次测试，已知在第一轮测试中，

甲、乙测试成绩合格的概率分别为在第二轮测试中，甲、乙测试成绩合格的

概率分别为|,|.甲、乙两人在每轮测试中的成绩是否合格互不影响.

(1)甲、乙哪名同学在本次测试中成绩合格的概率更大？

(2)求甲、乙两人中至少有一人的成绩在本次测试中合格的概率.

22.如图，在四棱锥P—4BCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，^ABC=pF是PC的

中点，G,E分别是棱PB上靠近点B和点P的三等分点，PA=PC=V7,PB=PD.

(1)证明：G4〃平面DEF；

(2)求点G到平面DE尸的距离.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：史=聆=一1一5»,

Ilz

则复数斗的共轨复数是-1+5i.

故选:A.

根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轨复数的定义，即可求解.

本题主要考查复数的四则运算，以及共规复数的定义，属于基础题.

2.【答案】C

【解析】解：从甲种型号的产品中抽取的产品数量为100x募髓=40.

故选：C.

根据已知条件，结合分层抽样的定义，即可求解.

本题主要考查分层抽样的的定义，属于基础题.

3.【答案】D

【解析】解：根据斜二测画法的规则可知该平面图形是矩形，且长为4,宽为1.

故该平面图形的周长为10.

故选：D.

根据斜二测画法的规则得到原图数据，进而求解结论.

本题考查斜二测画法，考查数学运算的核心素养，属于基础题.

4.【答案】B

【解析】解：方为单位向量，

.-.(a+by(a-2b)=a-2b-ab=

■■a-b=-3,

故选：B.

结合已知条件，将0+3)-0-23)=-：展开，根据向量数量积的定义与性质即可求

解.

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本题考查平面向量的数量积定义与性质，属基础题.

5.【答案】A

【解析】解：选项A,“都是红球”与“都是黑球”不可能同时发生，也可能都不发生，

二符合题意.选项4正确；

选项8,“至少有一个红球”与“恰好有一个黑球”可能同时发生，.••不符合题意，选

项B错误：

选项C,“至少有一个红球”与“至少有一个黑球可能同时发生，.•・不符合题意，选项

C错误；

选项D“都是红球”与“至少有一个黑球”不可能同时发生，但其中之一一定发生,

是对立事件，.•・不符合题意，选项。错误.

故选:A.

答案为：A.

根据互斥事件、对立事件的概念直接求解.

本题考查随机随机互斥事件、对立事件的概念，是基础题.

6.【答案】B

【解析】解：连接AD】，

由

则异面直线与BCi所成角的平面角为N4D1E（或

其补角），

设4B=2,

则AE=1,A%=2V2.

则匕山。隹=喘=泰=争

即异面直线QE与BG所成角的正切值为日,

故选：B.

连接45，由2D//BC1，则异面直线与BCi所成角的平面角为乙1Z）IE（或其补角）,

然后求解即可.

本题考查了异面直线所成角的求法，重点考查了异面直线所成角的作法，属基础题.

7.【答案】B

【解析】解：由题意可知，NC=45。，44=60。，4B=30海里,

由正弦定理可得当；=等，解得BC=15通海里.

stnAsinC

故选：B.

根据正弦定理可得与=刍，即可求解.

sinAsinC

本题考查了正弦定理的应用，属于基础题.

8.【答案】A

【解析】解：设BC的中点为。，"AB=AC,.-.AOLBC,

又AB=3V5,BC=6.AO=y/AB2-BO2=<45-9=

6,

因为近=-2~BD,CE=-2AE，

所以D为线段4B上靠近点B的三等分点，E是线段4c上靠

近点4的三等分点.

建立如图所示的平面直角坐标系.

则B(-3,0),C(3,0),4(6,0),£)(-2,2),E(l,4),

.-.DF=(3,2),AB=(-3,-6).

■•■DEAB=-21.

故选：A.

建系，利用坐标法，向量数乘的概念，向量数量积的坐标运算即可求解.

本题考查平面向量的数量积，坐标法，向量数乘的概念，属基础题.

9.【答案】AC

【解析】解：对于4B,若a=2,

则z=3-i,|z|=J32+(-1)2=V10.故A正确，B错误，

对于C,z=(1—i)(a+i)=1+a+(1—a)i,

若z为纯虚数，

则l+a=0,解得a=-l,故C正确，

z+|z|=1+a+(1-a)i++a)2+(1—a)2=x+53

则1一a=5,解得a=-4,故D错误.

故选：AC.

对于AB,结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解,

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对于C,结合纯虚数的定义，即可求解，

对于D,结合复数模公式，以及复数相等的条件，即可求解.

本题主要考查复数的四则运算，复数模公式，纯虚数的定义，以及复数相等的条件，属

于基础题.

10.【答案】ACD

【解析】解：对于4,由图可得2016〜2020年，全球每年产生的数据量在持续增加，A

正确；

对于B,2016〜2017年，全球数据量的年平均增长率由16.13%增长到了44.44%,8错

误；

对于C,2016〜2020年，全球每年产生的数据量的平均数为巳X(18+26+33+41+

50.5)=33.7,C正确；

对于。，设2015年全球产生的数据量为xZB,则竺三=16.13%,解得x=>普=15,

X1.16131.2

。正确.

故选：ACD.

根据统计图，分析数据，依次判断各个选项即可.

本题考查统计图，考查数据分析的核心素养，是基础题.

1I.【答案】BCD

【解析】解：因为Q=l,4=壬

ahlb,sinBsinB2-^3.

由正弦定理可知I,—；=即肃=高幅，所以°=嬴/=b=F-sniB,故A错误;

sinB=bsin=bsinA,故B正确；

因为a=1,A=p

.•・由余弦定理可得：a2=b2+c2—2bccosA

即1=炉+c?—be=(b+c)2—3bc,

所以(b+c)2=3bc+l,即be=(b+?2-i,

因为炉+c2>2bc,

所以(b+c)2Z4bc,即(b+c)22”等士，

整理得，(b+c)2<4,即b+cW2,(当且仅当b=c=l时等号成立),

即(b+c)max=2,

所以三角形ABC周长的最大值为3,故。正确；

-AC=bccosA=-bc

2f

由前面的分析可知，1=匕2+—be,即庐+c?=be+1,

由炉+c2>2bc,可得be+1>2bc,

所以beMl,当且仅当b=c=l时等号成立，be的最大值为1,

所以荏•前的最大值为(故。正确；

故选：BCD.

h,sinBsinB2\[3.人

对于4：正弦定理可知，，n二=一=，所以b=嬴乃=b=F-suiB,故A错误；

stnAsinBsin2_s

32

.sinBsinB2\[3.—n

对于B：由A知力=瓦忑=y=所以sinB=bsin?=bsinA,故B正确；

3T

对于C：由余弦定理可得：a2=b2+c2-2bccosA,所以(b+c)?N4bc,即(b+c)22

4(KC)J,应用基本不等式即可求解，三角形4BC周长的最大值为3,故C正确；

3

对于D：^AB-AC=bccosA=^bc,由前面的分析可知，I=b2+c2-bc,即F+c2=

be+1,应用基本不等式，所以荏•方的最大值为土故。正确.

本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题.

12.【答案】AB

【解析】解：在矩形4BC。中，AB=2BC=2,E是CD的中点，将△BCE沿BE翻折，直

至点C落在边AB上，

当ABCE翻折到APBE的位置时，连接AP,DP,

对于4,当平面P8E1平面4BED时，四棱锥P-48ED的体积最大，此时四棱锥P-ABED

的高为点C到BE的距离，

直角梯形ABED的面积为“4B+DE)xAD=争四棱锥P-4BED体积的最大值为gx

三、五=立,力正确；

224

对于B,取BE的中点G,连接PG,FG,贝l|FG1BE,PGLBE,所以Z_PGF为二面角P-

BE-。的平面角，

在^PGF中，PF=-,PG=FG=―,COS/.PGF=0°+FG.-PF__三正确；

222PGFG4

对于C,设P41PE,在^PAE中，PE=1,AE=V2,PA=^AE2-PE2=1，即当P与SB

的中点重合时，PA1PE,

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故存在某一翻折位置，使得P4_LPE,C错误；

对于“，当P与4B的中点重合时，EMu平面PAD,。错误.

故选：AB.

对于4,当平面PBEJL平面2BEC时，计算得四棱锥P-ABED体积的最大值为四，故选

4

项A正确；

对于8,取BE的中点G,连接PG,FG,EF,证明4PG尸为二面角P—BE-。的平面角,

求出二面角P-BE-0的余弦值为：，故选项B正确；

4

对于C,设P4LPE,存在某一翻折位置，使得P4LPE,故选项C错误；

对于D,当P与ZB的中点重合时，EMu平面PAD,故选项。错误.

本题考查立体儿何初步，考查直观想象的核心素养.

13.【答案】i

4

【解析】解：因为2小+2c2-2b2=ac,

所以小+c2-62=1ac,

所以由余弦定理可得cosB=a*-匕2=辿='

2ac2ac4

故答案为：

4

化简已知等式可得+C2-=|aC,进而由余弦定理可得COSB的值.

本题考查余弦定理在解三角形中的应用，考查数学运算的核心素养，属于基础题.

14.【答案】1

【解析】解：设3个红球的编号分别为1,2,3,黄球的编号为4.

从袋中的4个小球中任取2个球的样本空间。={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)},

样本点为6个.

所取的2个球都是红球的样本点有3个，分别为(1,2),(1,3),(2,3).故所求概率为：

OZ

故答案为：

根据古典概型公式计算即可.

本题主要考查古典概型的问题，熟记概率的计算公式即可，属于常考题型.

15.【答案】穿

16

【解析】解：作出如图所示的圆锥，其侧面展开图的面积为兀・。4-SA=1571,解得。4=

3,

由圆锥的性质知其外接球的球心B在S。上，连接力8,

设圆锥外接球的半径为R,则4B=R.OS=y/SA2-OA2=4,AB2=OA2+(OS-SB)2,

即R2=32+(4-R)2,解得R=能

8

所以该圆锥外接球的表面积为4兀♦(g)2=等.

故答案为：整.

16

设圆锥外接球的半径为R，利用勾股定理求出R=个，即可求出该圆锥外接球的表面积.

O

本题考查圆锥外接球的表面积计算，属于中档题.

16.【答案】(2,4)

【解析】解：过点4作ZK〃ME,分别交EH,EF于点N,K,过点N作NQ〃AB,交ME的

延长线于点Q,过点K作KL〃4B,交ME的延长线于点3

如图，由丽=4就一丽=%荻+祈了可知，点P在线段NK上运动(不含端点)，

当点P与点N重合时，MP=MQ+~MA=2ME+AM.可知2=2；

当点P与点K重合时，而=就+为？=4砒+初，可知4=4；

二当点P在线段NK上运动(不含端点)时，2<4<4.

综上，4的取值范围为(2,4),

故答案为：A6(2,4).

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由题意而=2诟+前彳，数形结合运用平面向量的基本定理求之.

本题考查平面向量基本定理，逻辑推理的核心素养与数形结合的数学思想，是中档题.

17.【答案】解：(1)已知向量刁=(2,%),b=(1,2)，

因为所以2•另=0，

即2x1+2%=0,解得％=—1,

所以万+3=(3,1)，

故|方+B|=V324-12=V10;

(2)因为苍〃区

所以2X2=x,

解得久=4,

则五=(2,4).

因为五•c=6,|a|=2V5,1cI=V2，

所以8s位，引=器=鬻,

即五与工夹角的余弦值为母，

10

【解析】(1)由向量垂直的坐标运算，结合向量模的运算求解即可；

(2)由向量共线的坐标运算，结合向量夹角的运算求解即可.

本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了向量夹角的运算，属基础题.

18.【答案】(1)证明：因为平面4BCD平面4BEF,平面4BCDn平面4BEF=AB,AB1

AD,

所以AD1平面ABEF,

因为4Gu平面4BEF,所以4D1AG,

在菱形4BEF中，G为线段BE的中点，Z.ABE=60°,易证4G1BE,

因为4F〃BE,所以AG14F.

因为=4所以AG1平面ADF；

解：(2)由ABCD是矩形,即AB〃CD,

ABu面4BEF,CDC面4BEF,所以CO〃面4BEF,

故C,。至I」面ABEF的距离相等，

由(1)知：4D_L平面ABEF,故。到面ABEF的距离为4。=2代，

又又HE=；AG-GE=^，

则%-4CG=^C-AGE=^SAAGE,力。=9.

【解析】(1)由面面垂直的性质得4。1平面4BEF,再根据线面垂直、菱形及等边三角

形性质可得4G1BE,进而有AG1AF,最后由线面垂直的判定证结论.

(2)由线面平行判定有CD〃面A8EF,则C,。到面A8EF的距离相等，根据线面垂直有。

到面力BEF的距离为AD=2V3.最后由=%_AGE及棱锥的体积公式求体积.

本题考查了线面垂直的证明以及几何体体积的计算，属于中档题.

19.【答案】解：(1)根据频率分布直方图可得(2a+0.02+0.03+0.04)x10=1,解得

a=0.005.

所以该校学生这次学业水平测试数学成绩的平均分为0.05x55+0.4X65+0.3x75+

0.2x85+0.05x95=73.

(2)由频率分布直方图可得，最后一组［90,100］的频率为0.005x10=0.05,

后两组［80,90),［90,100］的频率之和为(0.005+0.02)x10=0.25,

后三组［70,80),［80,90),［90,100］的的频率之和为(0.005+0.02+0.03)x10=0.55,

则［70,80),ze［80,90),

0.02x(90-z)+0.05=0.2,

解得z=82.5,

又0.03x(80-y)+0.25=0.2+0.3,解得y«71.7.

所以成绩等级为B的得分范围为［71.7,82.5).

【解析】(1)根据频率分布直方图可得(2a+0.02+0.03+0.04)x10=1,解得a,进

而可得答案.

(2)由频率分布直方图即可得出答案.

本题考查频率分布直方图，解题中注意数形结合思想的应用，属于基础题.

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20.【答案】解：（1）因为在△ABC中，AB=V2,BC=V3,cos^BAC=—

8

所以由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2-2ABACcos^BAC,

可得：3=2+4。2-•越，整理可得4c2-|4C-1=0,

8N

解得4C=2,或一g(舍去).

(2)在4ABC中，AC2=AB2+BC2-2AB-BCcos乙ABC=5-2限os〃8C,

XA4CD的面积为[AC2=|-V6COSZ?1FC,△Z8C的面积为-BCsin乙ABC=

—sinZ-ABCf

2

所以四边形ABC。的面积为j—逐cos乙48c+当sinZJlBC=|+等sin(乙48c—乎)，其

中=2,

故四边形48C0面积的最大值为三+回.

22

【解析】(1)由题意在A/IBC中，由余弦定理可得力。2—|力。一1=0,解方程可得4c的

值.

(2)由题意在^ABC中，由余弦定理可得AC?=5-2V6COSZ/1BC.利用三角形的面积公

式，三角函数恒等变换的应用可得四边形4BO)的面积为]-&COSNABC+

qsinN4BC=|+等sin(N4BC—R)，其中ta”=2,利用正弦函数的性质即可求解四

边形ABCD面积的最大值.

本题考查了余弦定理，三角形的面积公式，三角函数恒等变换以及正弦函数的性质在解

三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题.

21.【答案】解：(1)设事件&="甲在第一轮测试中的成绩合格”，事件&="甲在第

二轮测试中的成绩合格”，事件当="乙在第一轮测试中的成绩合格”，事件外="乙

在第二轮测试中的成绩合格”，

则事件4出="甲同学在本次测试中成绩合格”，PJi/)=P(4i)P(4)=|x|=|,

事件当为="乙同学