2021-2022学年北京市怀柔七年级（下）期末数学试卷（附答案详解）

2021-2022学年北京市怀柔五中七年级（下）期末数学试

卷

1.4的算术平方根是（）

A.16B.2C.-2D.±2

2.不等式x+1>0的解是（）

A.—3B.一2C.—1D.0

3.如果a>b,那么下列不等式不成立的是（）

A.a+2>b+2B.a—b>0C.—<-D.—2a<—2b

44

4.如图，直线a,6被c所截，下列四个结论：

①N1和47互为对顶角；

②/2和46是同位角；

③43=Z5；

④N4和45是同旁内角.

其中，结论一定正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

5.若方程ax+3y=2+4x是关于x,y的二元一次方程，则a满足（）

A.aWlB.a#2C.a蕾3D.a44

6.下列调查活动，适合使用全面调查的是（）

A.调查某班同学课外体育锻炼时间

B.调查全市植树节中栽植树苗的成活率

C.调查某种品牌照明灯的使用寿命

D.调查抗美援朝纪录片《为了和平》在线收视率

7.程大位，明代商人，珠算发明家，被称为珠算之父、卷尺之父.少年时，读书极为

广博，对数学颇感兴趣，60岁时完成其杰作《直指算法统宗》（简称《算法统宗》）.

在《算法统宗》里记载了一道趣题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人

分一个，大小和尚各几丁？意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人

分3个，小和尚3人分1个，正好分完.试问大、小和尚各多少人？

下列是四位同学的解答：

（x+y=100

①小明：设大和尚有X人，小和尚有y人，根据题意可列方程组为2,1；

[3%4--y=1i0n0n

fx+y=100

②小丽：设大和尚有X人，小和尚有y人，根据题意可列方程组为inn1》

I。人-LUU-i3

③小东：设大和尚有x人，则小和尚有（100-％）人，根据题意可列方程为3x+

"匕义二100

3

④小华:设大和尚有x人,则小和尚有(100-％)人,根据题意可列方程为100-3%=

100-x

~3~•

其中，以上解答一定正确的是()

A.①②③B.②③④C.①④D.①③

8.某校七年级在学习了“平面直角坐标系”一章后，开展了“描述位置”数学学习活

动，老师为同学们印制了我区现有七年级学校分布图，如图1.小明同学拿到分布图

后，首先以1个单位长度为边长，作出如图2的网格图，再建立平面直角坐标系,

将怀北学校的坐标记作(1,3),汤河口中学的坐标记作G，11).

同学们借助小明的做法和图2,开展了集中讨论，下列是几位同学的结论：

①小明同学是以红中为坐标原点，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向

建立平面直角坐标系的；

②位于第四象限的学校有二中、三中、五中、张中、北房中学、杨宋中学；

③桥梓中学和杨宋中学的坐标分别是(一2,-1.5),(1.5,-2)；

④汤河口中学在101怀柔分校北偏西30度方向；

⑤若渤海中学的坐标为(-051.5),九渡河中学的坐标为则怀北学校的

坐标为(5,2).

其中，以上结论一定正确的是()

，再中京\\；

二、一一一v「一、1。电/兮校

电•丝/•fl：•

.■■>

•多・・

图

1图2

A.①③⑤B.②④⑤C.①②④D.③④⑤

9.写出一个比2大且比3小的无理数.

10.写出一•个以为解的方程.

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11.在平面直角坐标系中，点P是第二象限内的点，它到X轴的距离是它到y轴距离的

2倍.请写出一个满足条件的点P的坐标.

12.关于x的不等式ax+l>7的解集为则a的取值范围是.

13.小东同学做了直角三角形模具，如图所示.在AC,BC,AB三八

边中，根据，可知最长.|\

------\

14.小刚同学为准确得出直角边为1分米和3分米的直角三角形斜

边的长度，做了下列尝试，请你帮他补充完整：

①将四个直角边为1分米和3分米的直角三角形按图示进行无

缝拼接，在拼接图中得到一个大正方形和一个小正方形；

②计算可得小正方形的面积是平方分米；

③根据三角形面积公式求得四个直角三角形的面积6平方分米；

④利用割补法求得大正方形面积；

⑤可知直角三角形斜边为分米.

is.如图是小强同学解方程组二七二过程的框图表示，请你帮他补充完整:

十T,y—/

16.北京市生态环境局5月13日发布《2020年北京市生态环境状况公报》，对2020

年全市生态环境状况进行总结和回顾.《公报》显示，2020年北京全市空气质量、

地表水水质改善明显，土壤环境状况总体良好，声环境质量保持稳定，辐射环境质

量保持正常，生态环境状况持续向好，万元地区生产总值二氧化碳排放保持全国最

优水平.如图是2016-2020年北京市空气质量达标（空气质量达到优良）天数及年

增长率的统计图.

.达标天数/天

400

15%

5.7%

30()-^7fr

14*.11%%4

2262Z网?--

200

100qwnf

0n201n6201n720n1820n1920r20.年度/年

根据图中提供的信息填空:

(1)2020年，北京市空气质量达标天数的年增长率是%；

(2)若2021年北京市空气质量达标天数突破300天大关，那么2021年的年增长率

至少是%(结果取整数).

17.计算：V25-7r8-(V2)2-|-V2|.

18.解方程组：幻；短)

19.x取哪些正整数时，不等式2%+1>%-1与x+834%-1都成立？

20.已知％=4,y=-2与久=-2,y=-5都是方程丫=kx+b的解，求k—b的值.

21.下面是小征同学求不等式告2)25解集并在数轴上表示解集的解答过

程：

第一步：(4x-1)—1(3x-2)>^；

第二步：|x4%-ix1>~

第三步：16x-4-18x+1225；

第四步：-2x2-3；

第五步：.

(1)请将第二、五步和在数轴上表示解集补充完整；

(2)第二步变形的依据是；

(3)第三步变形的目的是.

一4一3-2—101234

22.如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC的三个顶点分别是4(0,4),B(-4,1),

C(-1,2),请你解答下列问题：

(1)在平面直角坐标系中画出三角形ABC；

(2)将三角形ABC先向下平移5个单位，再向右平移3个单位.画出平移后的三角

形为B1G.

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(3)把(2)三角形41aG各个顶点的横坐标保持不变，纵坐标增加2,得到三角形

4282c2，直接写出三角形4282c2的面积.

23.小钢同学在学校组织的社会调查活动中负责了解他所居住的小区440户居民的家

庭年收入情况，他从中随机调查了40户居民家庭年收入(单位：万元).对数据(年收

入)进行整理、描述和分析.

a.绘制了被抽取的40户居民的家庭年收入的频数分布表和频数分布直方图.

b.家庭年收入在12.5<x<14.5这一组的是：

12.512.512.612.713.013.713.814.114.3

根据以上信息，完成下列问题：

(1)将两个统计表(图)补充完整；

(2)估计小钢同学所居住的小区多少户家庭年收入不低于13万元？

家庭年收入的频数分布表

家庭年收入的频数分布直方图

户数

年收入分组(万

划记频数

元)

6.5<x<8.5T2

8.5<x<10.5正一6

10.5<x<12.5

12.5<%<14.5正T

14.5<x<16.53

16.5<x<18.5T2

24.完成下面的证明：

己知：如图，BE//FG,41=42,求证：DE//BC.

证明：vBE//FG,

■■42:①(②).

vN1=42,

•••③(④____).

•••⑤(⑥)•

25.如图，4c=90°,A尸平分NB4C,交BC于点P,PM1AB于点M,PN〃4C交AB

于点N.

(1)依题意补全图形；

(2)设NB=a,

①z/L4P=(用含a的式子表示)；

②猜想乙4PN与4PNB的数量关系，并证明.

26.我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经

过一系列变形、运算就可以求出方程组的解.因此，在现代数学的高等代数学科将

系数和常数项排成一个表的形式,规定:关于3的二元一次方程组匿:设二::

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可以写成矩阵(徐的形式•例如：朦黑二鸵可以写成矩阵(5丫急)的形

式.

(1)填空：将写成矩阵形式为：;

(2)若矩阵(二；二；)所对应的方程组的解为［；二:，求a与b的值.

27.对于平面直角坐标系尤。)，中的图形Q和图形。上的任意点P(x,y),给出如下定义：

将点P(x,y)平移到P'(a+x,b+y)称为将点P进行型相反平移”(其中，a,b

互为相反数)，点P'称为将点P进行“〃型相反平移”的对应点；将图形Q上的所

有点进行“a型相反平移”称为将图形。进行“a型相反平移”.

例如，将点「(须丫)平移到「'(1+%-1+、)称为将点尸进行“1型相反平移”，将

点P(x,y)平移到P'(—2+x,2+y)称为将点尸进行“一2型相反平移”.

已知点M(2,3)和点N(2,6).

(1)将点”(2,3)进行“1型相反平移”后的对应点M'的坐标为；

(2)将线段MN进行“—1型相反平移”后得到线段M'N',点PI(l,4.5),P2(3.5,l),

「3(1,6)中，在线段M'M上的点是；

(3)若线段MN进行“a型相反平移”后与坐标轴有公共点，则a的取值范围是

(4)已知点E(2,5),F(-2,9),点H是线段E尸上的一个动点，将点M进行“a型相

反平移”后得到的对应点为M'画图、观察、归纳可得，当a的取值范围是

时，HM'的最小值保持不变.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：4的算术平方根是2,

故选：B.

根据算术平方根定义求出即可.

本题考查了对算术平方根的定义的应用，主要考查学生的计算能力.

2.【答案】D

【解析】解：：x+1>0,

x>—1,

4、—3<—1>故4不符合题意；

B、-2<-1,故B不符合题意；

C、-1=-1,故C不符合题意；

。、0>-1,故。符合题意；

故选：D.

按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答.

本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式是解题的关键.

3.【答案】C

【解析】解：A.a>b,

a+2>b+2,

故A不符合题意；

B、•：a>b,

a-b>0,

故8不符合题意：

C、a>b,

、

-4a>4b,

故C符合题意；

£）、a>b9

:.-2aV—2b»

故D不符合题意；

故选：C.

根据不等式的性质，进行计算即可解答.

本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键.

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4.【答案】B

【解析】解：①N1和47不是对顶角，原说法错误；

②42和46是同位角，原说法正确；

③43与N5是内错角，但是不一定相等，原说法错误；

④乙4和是同旁内角，原说法正确.

结论一定正确的有2个.

故选：B.

根据对顶角，同位角，同旁内角以及内错角的定义解答即可.

本题考查了同位角、内错角、同旁内角以及对顶角，解答此类题确定三线八角是关键，

可直接从截线入手.对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到

对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义.

5.【答案】D

【解析】解：移项，得ax-4x+3y-2=0,

整理，得(a-4)x+3y-2=0.

•.•方程是关于小y的二元一次方程，

二a—440.

*'•aH4.

故选：D.

移项整理给出的方程，根据二元一次方程组的定义确定”的范围.

本题考查了二元一次方程的定义，理解二元一次方程的定义是解决本题的关键.二元一

次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1,像这样的方程叫

做二元一次方程.

6.【答案】A

【解析】解：4调查某班同学课外体育锻炼时间，适合全面调查，故本选项符合题意；

A调查全市植树节中栽植树苗的成活率，适合抽样调查，故本选项不符合题意；

C.调查某种品牌照明灯的使用寿命，适合抽样调查，故本选项不符合题意；

D调查抗美援朝纪录片•《为了和平》在线收视率，适合抽样调查，故本选项不符合题意.

故选：A.

根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的

调查结果比较近似解答.

本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象

的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价

值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查.

7.【答案】D

【解析】解：设大和尚有x人，则小和尚有(100-乃人，根据题意得：

3x+(ioo-x)=100)

3

故③正确；

设大和尚X人，小和尚)，人，根据题意得：

fx+y=100

[3x+1y=100，

故①正确.

故选：D.

根据100个和尚分100个馒头，正好分完.大和尚一人分3个，小和尚3人分一个得到

等量关系为：大和尚的人数+小和尚的人数=100,大和尚分得的馒头数+小和尚分得的

馒头数=100,依此列出方程即可.

本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键以和尚数和馒头数作为等量关系列

出方程.

8.【答案】A

【解析】解：••・怀北学校的坐标记作(1,3),汤河口中学的坐标记作弓,11).

小明同学是以红中为坐标原点，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向建立

平面直角坐标系的，故①正确；

由图得：位于第四象限的学校有五中、张中、北房中学、杨宋中学，故②不正确；

桥梓中学和杨宋中学的坐标分别是(—2,—1.5),(1.5,-2),故③正确；

汤河口中学不在101怀柔分校北偏西30度方向，故④不正确；

若渤海中学的坐标为(-0.5,1.5),九渡河中学的坐标为(-1,-0.5),则怀北学校的坐标为

(5,2),故⑤正确.

以上结论一定正确的是①③⑤.

故选：A.

根据点的特点确定平面坐标系的位置；再在平面直角坐标系中找到学校的坐标即可.

此题考查了由点的坐标确定平面坐标系的方法与点的坐标的确定方法；识图是解题的关

键.

9.【答案】有(答案不唯一)

【解析】解：请写出一个比2大且比3小的无理数：遍(答案不唯一).

故答案为：遍(答案不唯一).

首先根据：22=4,32=9,可得：一个比2大且比3小的无理数的平方可以是5,这

个无理数可以是石，据此判断即可(答案不唯一).

此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是可以先求出这个

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无理数的平方的大小.

10.【答案】x+y=4

【解析】解：把代入x+y得：1+3=4,

二以｛；二；为解的方程可以是：x+y=4,

故答案为：x+y=4（答案不唯一）.

先任意写出一个代数式％+y得出方程的左边，把；代入求出尤+y的值得出方程的

右边，即可得出答案.

本题考查了二元一次方程组的解，理解二元一次方程组的解的定义是解决问题的关键.

11.【答案】（-2,4）（答案不唯一）

【解析】解：•••点P在第二象限，

二点P的横坐标为负，纵坐标为正，

•・•点P到x轴的距离是它到y轴距离的2倍，

二点P的坐标可以为：（一2,4）（答案不唯一）.

故答案为：（一2,4）（答案不唯一）.

直接利用第二象限内点的坐标特点得出答案.

本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键,

四个象限的符号特点分别是：第一象限（+,+）；第二象限（—,+）；第三象限（一,一）；第四

象限（+,-）.

12.【答案】a<0

【解析】解：ax+1>7,

ax>7—1,

ax>6,

•••不等式的解集为X<,

:.QV0,

故答案为：a<0.

按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答.

本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式是解题的关键.

13•【答案】垂线段最短AB

【解析】解：TACIBC,

AC<AB,BC<AB,

4B最长.

即在AC,BC,A8三边中，根据垂线段最短，可知AB最长.

故答案为：垂线段最短，AB.

根据垂线段最短即可求解.

本题考查了垂线的性质，掌握垂线段最短是解题的关键.

14.［答案］4V10

【解析】解：由题意可得：小正方形的边长=3-1=2分米，

•••小正方形的面积=4(平方分米)，

•••大正方形的面积=小正方形的面积+四个直角三角形的面积，

二大正方形的面积=4+6=10(平方分米)，

二直角三角形斜边为VTU分米.

由正方形的面积=边长的平方，可求小正方形的面积，由大正方形的面积=小正方形的面

积+四个直角三角形的面积，可求大正方形的面积，由正方形的面积=边长的平方，可求

斜边.

本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关

键.

15.【答案】代入消去y

【解析】解：由代入法求解二元一次方程组的步骤可知：

①为代入，②为消去y,

故答案为：代入，消去y.

利用代入法求解二元一次方程组的一般步骤，即可得出答案.

本题考查了解二元一次方程组，掌握代入法求解二元一次方程组的一般步骤是解此题的

关键.

16.【答案】159

【解析】解：(1)由统计图得：2020年，北京市空气质量达标天数的年增长率是15%,

故答案为：15；

(2)2021年的年增长率至少是(300-276)+276«0.86«9%,

故答案为：9.

(1)由统计图直接可得答案；

(2)由2021年空气质量达标比2020年空气质量达标增长的天数除以2020年空气质量达

标天数列出算式，即可算得答案.

本题考查有理数的混合运算，解题的关键是读懂题意，能列出算式.

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17.【答案】解：侬一g—(71)2-I—&|

=5-(-2)-2-V2

=5—V2.

【解析】首先计算乘方、开平方、开立方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式

的值即可.

此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数

运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要

先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行.

18.【答案】解：｛:“一:=及

3x+2y=8②

由①得y=2x—3③，

把③代入②得3x+2(2x-3)=8,

7x=14,

x=2f

把x=2代入③得：y=2x2—3=1,

所以这个方程组的解是

【解析】由①得y=2x—3③，把③代入②求出x,把x的值代入③求出y即可.

本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关

键.

19.【答案】解：解不等式2x+1>x-1得：x>-2,

解不等式x+8>4x-1得：x<3,

则不等式组的解集是：一2<xW3.

则满足条件的正整数是：1,2,3.

【解析】先求出每个不等式的解集，然后求出其公共解集，最后求其整数解即可.

本题考查不等式组的解法及整数解的确定.求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大

取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了.

20.【答案】解：把x=4,丫=一2与久=一2,y=-5代入方程得：厂广空,*八，

1—5=-2k+b

解得:卜:4,

lb=—4

••・k—b=A—4=—3.5.

2

【解析】把x与y的两对值代入方程计算，即可求出女与人的值，再代入式子进行计算

即可.

此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值.

21.【答案】一［*3乂+9*2%式|乘法分配律去分母

【解析】解:(1)第一步：(4x—1)—(3x—2)>

第二步：|x4x-|xl-ix3x+|x2>^-；

第三步：16x-4-18x+1225；

第四步：一2刀2-3；

第五步：x<|,

-：5~~~:3_:2_0132>

2

故答案为：—gx3x+Tx2,x<|；

(2)第二步变形的依据是乘法分配律，

故答案为：乘法分配律；

(3)第三步变形的目的是去分母，

故答案为：去分母.

(1)根据解一元一次不等式的步骤逐一求解即可；

(2)根据乘法分配律求解即可；

(3)根据不等式的基本性质求解即可.

本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤

其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变.

22.【答案】解：(1)如图，△ABC为所作；

(2)如图,△4/10为所作;

(3)如图，为所作,

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r

△2c2的面积=［x3x4-|x3xl-l-|x2xl=2.5.

【解析】（1）利用点A、B、C的坐标描点即可；

（2）利用点的坐标变换规律得到&、Bi、Q的坐标，然后描点即可；

（3）把点2］、B］、G的横坐标保持不变，纵坐标增加2得到A2、B2、的坐标，再描点

得到△4282c2,然后用一个大直角三角形的面积分别减去2个小直角三角形的面积和一

个正方形的面积去计算44B2c2的面积.

本题考查了作图-平移变换：作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照

平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形.

23.【答案】解：（1）两个统计表（图）补充完整如下:

年收入分组（万

划记频数

元）

6.5<%<8.5T2

8.5<x<10.5正一6

10.5<x<12.5lElEiFT18

12.5<x<14.5ZEIF9

14.5<x<16.5T3

16.5<x<18.5T2

家庭年收入的频数分布直方图

户数

答：小区110户家庭年收入不低于13万元.

【解析】（1）根据频数分布表就可以补全；

（2）用总户数乘以不低于13万元所占的百分比即可.

本题考查了频数分布表和频数分布直方图，掌握频数、频数、数据总数之间的关系是解

题的关键.

24.【答案；UCBE两直线平行，同位角相等N1=NCBE等量代换DE〃BC内错角相等，

两直线平行

【解析】证明：--BE//FG,

.•・42=NCBE（两直线平行，同位角相等）.

Zl=Z2,

zl=NCBE（等量代换）.

・•.DE//BC（内错角相等，两直线平行）.

故答案为：乙CBE；两直线平行，同位角相等；N1=NCBE；等量代换；OE〃BC；内

错角相等，两直线平行.

根据平行线的判定与性质进行求解即可得出答案.

本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练应用平行线的判定与性质进行求解是解决本

题的关键.

25.【答案】45。-7

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