2021-2022学年福建省泉州市鲤城区高二（下）期末数学试卷（附答案详解）

2021-2022学年福建省泉州市鲤城区北大培文学校高二

（下）期末数学试卷

1.已知集合4={x|x<1},B=[x\3x<1},则（）

A.A[}B=[x\x<0}B.AUB=R

C.AUB={x\x>1}D.AC\B=0

2.已知正数x,y满足：+：=1,则x+2y的最小值为（）

A.8B.4C.2D.0

3.集合｛al/OT+^WaWkzr+?keZ｝中的角所表示的范围（阴影部分）是（）

5.曲线y=2sinx+cos》在点（兀—1）处的切线方程为（）

A.X—y—n—1=0B.2x—y—2n—1=0

C.2x+y-2?r+1=0D.x+y-7r+l=0

6.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1

名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）

A.120种B.90种C.60种D.30种

7.（1+2刀2）（1+刀）4的展开式中式的系数为（）

A.12B.16C.20D.24

8.在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷

偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样.马

吃了牛的一半，羊吃了马的一半.”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗

心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮

食（1斗=10升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同.马吃

的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半.问羊、马、牛的主人应该分别向青苗

主人赔偿多少升粮食？（）

卜2550100P252550

7771477

厂100200400「50100200

*7，7，7・7，7，7

9.下列函数在定义域内是增函数的有（）

2X-1）«

---%----,X<—1

{x2+4%+3,x>—1

C.y=2X—2~xD.y=^x2-2%+In%

10.若圆C"%2+、2=1与圆。2：（%-Q）2+（y-力>=i的公共弦A3的长为］,则下

列结论正确的有（）

A.a24-h2=1

B.直线AB的方程为2ax+2"-3=0

C.AB中点的轨迹方程为/+y2=：

D.圆Cl与圆C2公共部分的面积为零

11.已知三个正态分布密度函数物（x）=忘厂（xeR"=1,2,3）的图象如图所示,

则下列结论正确的是（）

A.q=a2B.%>/z3C.%=%D.a2<0

12.如图，“六芒星”是由两个全等正三角形组成，中心重合于点。且三组对边分别平

行，点A,8是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点P在“六芒星”上（内部以及边

界），若方=xd7+y而，则x+y的取值可能是（）

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图1图2六芒星

A.-6B.1C.5D.9

13.i是虚数单位，复数舞=.

14.已知扇形的圆心角为半径为2声，则扇形的面积为.

15.函数y=cos?%—siMx的最小正周期是.

16.已知点和抛物线C：y2=4x,过C的焦点且斜率为左的直线与C交于A,

B两点.若乙1MB=90。，则k=.

17.已知公差不为0的等差数列｛册｝中，的=1,a’是a2和&8的等比中项.

(1)求数列｛。工的通项与；

(2)令%=—^，求数列｛%｝的前n项和

an,an+i

18.在△48C中，角A,B,C的对边分别为mb,c,2acosA=bcosC+ccosB.

(1)求角A的大小；

(2)若a=2如,b+c=6,求△ABC的面积.

19.如图3,在四棱锥P—4BCD中，P4JL平面ABCZZZB14D,AB//CD,AB=2AD=

2CD=6,PD=3V5,E为PA上一点,S.PE=2AE.

(1)证明：平面EBC_1_平面PAC；

(2)求直线PB与平面BEC所成角的正弦值.

20.2019年4月，江苏省发布了高考综合改革实施方案，试行“3+1+2”高考新模

式.为调研新高考模式下，某校学生选择物理或历史与性别是否有关，统计了该校

高三年级800名学生的选科情况，部分数据如表：

性别

男生女生合计

科目

物理300

历史150

合计400800

(1)根据所给数据完成」匕述表格，并判断是否有99.9%的把握认为该校学生选择物理

或历史与性别有关；

(2)该校为了提高选择历史科目学生的数学学习兴趣，用分层抽样的方法从该类学

生中抽取5人，组成数学学习小组.一段时间后，从该小组中抽取3人汇报数学学习

心得.记3人中男生人数为X,求X的分布列和数学期望E(X).

附./=____n(ad-bcy_____

r-A(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)’

P(x2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

21.已知函数/'(x)=e'-x-1.

(团)求/(%)的极值；

(团)若f(x)W/+(a-l)x在xG(0,+8)时有解，求实数a的取值范围.

22.椭圆冬+\=1(。>/?>°)的左右焦点分别为尸1，尸2,其中尸2(隹0)，。为原点.椭

圆上任意一点到F1，尸2距离之和为2百.

(1)求椭圆的标准方程及离心率；

(2)过点P(0,2)的斜率为2的直线/交椭圆于A、8两点.求AOZB的面积.

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答案和解析

1.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查交集和并集的求法，考查指数不等式的解法，属于基础题.

先求出集合8,再求出anB和AUB,由此能求出结果.

【解答】

解：•••集合4={x|x<l},

B={x\3x<1]={x|x<0},

二4DB={x[%<0},所以A正确，。错误，

A\JB={x\x<1),所以B和C都错误，

故选4

2.【答案】A

【解析】解：1+L=1,

*y

二x+2y=(x+2y)♦(|+*=4+y+连4+2=8,

当且仅当丝=工即x=2y=4时等号成立，

・•・x+2y的最小值为8.

故选：A.

先把X+2y转化成x+2y=(x+2y).(|+)展开后利用均值不等式即可求得答案，注

意等号成立的条件.

本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用.基本不等式一定要把握好“一正，二

定，三相等”的原则.属于中档题.

3.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查象限角、轴线角的表示方法，体现了数形结合、分类讨论的数学思想.

先看当左取偶数时，角的终边所在的象限，再看当k取奇数时，角的终边所在的象限,

把二者的范围取并集.

【解答】

解：当上取偶数时，比如化=0时，aW多故角的终边在第一象限.

当左取奇数时，比如k=l时，?故角的终边在第三象限.

42

综上，角的终边在第一、或第三象限.

故选C.

4.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查函数的性质和赋值法的应用，属于基础题.

直接利用函数的奇偶性和特殊值求出结果.

【解答】

解：根据函数的解析式y=2团sin2x,2卜泪sin（—2x）=—2阳sin2x=—y,

得到函数为奇函数，其图象关于原点对称，故排除A和B.

当x时，函数的值为0,故排除C.

故选D.

5.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查利用导数研究在曲线上某点处的切线方程，熟记基本初等函数的导函数是关键,

属于基础题.

求出原函数的导函数，得到导函数在》=兀时的函数值，即切线斜率，再由点斜式直线

方程得答案.

【解答】

解：由y=2sinx+cosx,得y'=2cosx-sinx,

Ay'\x=n—2COS7T—sinre——2,

二曲线y=2sinx+cos尤在点（兀,-1）处的切线方程为y+1=-2（x-兀），

即2x+y—2兀+1=0.

故选：C.

6.【答案】C

【解析】解：因为每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆

安排3名，

甲场馆从6人中挑一人有：弓=6种结果；

乙场馆从余下的5人中挑2人有：盘=10种结果；

余下的3人去丙场馆；

故共有：6x10=60种安排方法;

故选：C.

让场馆去挑人，甲场馆从6人中挑一人有：盘=6种结果；乙场馆从余下的5人中挑2

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人有：髭=10种结果；余下的3人去丙场馆；相乘即可求解结论.

本题考查排列组合知识的应用，考查运算求解能力，是基础题.

7.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查二项式定理，以及二项展开式的特定项系数，属于基础题.

利用二项展开式的通项直接求解即可.

【解答】

解：(1+x)4的展开式的通项为4+1=C\xr,

则(1+27)(1+x)4的展开式中短的系数为：

1x盘+2x玛=12.

故选：A.

8.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查等比数列的前3项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能

力，是基础题.

设羊、马、牛吃的青苗分别为由，。2,。3,则8n｝是公比为2的等比数列，由此利用等

比数列的性质能求出羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食.

【解答】

解：设羊、马、牛吃的青苗分别为由,«2,。3，

则｛即｝是公比为2的等比数列，

­,.即+g+=%+2%+4al=7al=50,

解得即=y.

二羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿日升，一升，一升粮食.

故选：D.

9.【答案】ACD

【解析】解：因为，>0,所以y=/单调递增，又因为y=A为奇函数，所以y=/在

R上单调递增，故选项A正确，

当xW-l时，丫=宁=2-3在(一8,-1］单调递增，

当x>—1时，y=/+4x+3在(―1,+8)单调递增，但2——>(―I)2+4x(―1)+3,

(T)

2—-1v_1

-,在R上不是单调递增函数，故选项B不正确，

｛%2+4x+3,%>—1

y=2"在R上单调递增,y=-2-丫在R上单调递增，所以y=2丫一2一在R上单调递增，

故选项C正确，

y'=x-2+：=*二j+i2。恒成立,所以y=-2x+Inx在(0,+8)单调递增，故选

项£)正确，

故选：ACD.

由题意逐一考查所给的函数是否在定义域内具有单调性即可.

本题主要考查了由函数的性质，或利用导数判断函数的单调性，属于基础题.

10.【答案】BC

【解析】解：两圆方程相减可得直线43的方程为a2+b2-2ox-2by=0,即2ax+

2by—a2—b2=0,

因为圆G的圆心为G(0,0),半径为1,且公共弦AB的长为1,则的(0,0)到直线2以+

2by-a2-b2=0的距离为当，

所以产;〃：=[,解得。2+炉=3,

yj4(a2+b2)2

所以直线A3的方程为2ox+2by-3=0,故A错误，5正确；

由圆的性质可知直线GC2垂直平分线段AB.所以G(0,0)到直线2ax+2by-a2-b2=0

的距离即为AB中点与点G的距离，

设AB中点坐标为(x,y),因此—0)2+(y—0/=冬B|J%2+y2=^,故。正确；

因为/8=Cp4=Ci8=l,所以N8Cp4=3即圆G中弧A8所对的圆心角为以所以扇

形的面积为FX7TX12

2n6

三角形Cp4B的面积为:x1x1x曰=?，

所以圆Q与圆C2公共部分的面积为2x/-当=十条故。错误.

故选：BC.

两圆方程相减求出直线AB的方程，进而根据弦长求得。2+炉=3,即可判断A8选项；

然后由圆的性质可知直线CQ垂直平分线段AB进而可得6(0,0)到直线2ax+2by-

&2-炉=0的距离即为48中点与点小的距离，从而可求出A8中点的轨迹方程，因此

可判断C选项；对应扇形的面积减去三角形的面积乘以2即可求出圆G与圆C?公共部分

的面积，即可判断。选项.

本题考查圆与圆的位置关系，考查学生的运算能力，属于中档题.

11.【答案】AD

【解析】解：根据题意，因为X=4是对称轴，观察图象可知：〃1<〃2=的，

而y=0i(x)与y=%(x)的图象可以相互平移得到，且y=03(x)的图象显得更“矮

胖”，

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故0=为<内.

故选：AD.

根据正态分布曲线的性质，即对称轴为％=〃:b表示的是标准差,反映在图象的“高瘦”

或“矮胖”，由此分析选项，即可得答案.

本题考查正态分布曲线的性质，注意正态曲线的含义，属于基础题.

12.【答案】BC

【解析】解：如图，

设成=落行=正求x+y的最大值，只需考虑图中6个顶点的向量即可，讨论如下：

(1)若点P在A点处，•••耐=日，二(x,y)=(LO)；

(2)若点P在8点处，•••布=赤+而=石+3落••.(%/)=(3,1)；

(3)若点P在C点处，•••元=而+定=方+2万，二(x,y)=(2,l)；

(4)若点P在。点处，•••而=步+豆+丽=亍+五+(B+2砌=33+23,(x,y)=

(3,2)；

(5)若点P在E点处，•.•而=而+而=3+落.♦.(>/)=(1,1)；

(6)若点P在尸点处，•••/=1,二(x,y)=(O,l).

x+y的最大值为3+2=5.

根据其对称性，可知x+y的最小值为-5.

故x+y的取值范围是[-5,5],

观察选项，选项8、C均符合题意.

故选：BC.

根据题意，画出图形，结合图形，得出求x+y的最大值时，只需考虑图中6个顶点的

向量即可，分别求出即得结论.根据其对称性，可知x+y的最小值.

本题考查了平面向量的加法运算及其几何意义问题，解题时应根据题意，画出图形，结

合图形解答问题.

13.【答案】4-1

【解析】

【分析】

本题考查复数的四则运算，属于基础题.

利用复数的四则运算法则，直接计算即可得出答案.

【解答】

解:9+2i_(9+2i)(2-t)

2+i—(2+i)(2T)

18+2+4i-9i=4—i,

22+l

故答案为：4—i.

14.【答案】n

【解析】

【分析】

本题考查了扇形的面积计算公式，属于基础题.

利用S房形=：a-R2即可得出.

【解答】

解：S^=^a-R2=1x^x(2V2)2=n.

故答案为兀

15.【答案】n

【解析】解：：y=cos2%—sin2x=cos2x,

二最小正周期7=温=与=兀・

.••故答案为:7T.

根据已知条件，结合三角函数的二倍角公式，以及周期公式，即可求解.

本题考查了三角函数的二倍角公式，以及周期公式，属于基础题.

16.【答案】2

【解析】

【分析】

本题主要考查了直线与抛物线的位置关系的应用，解题的难点是本题具有较大的计算量.

由已知可求过A,B两点的直线方程为y=/c(x-1),然后联立直线与抛物线方程组可

22

得，_2(2+/c)x+k=0,可表示出尤1+x2,%i%2-+%，y1y2,由乙4MB=90°,

再由加•丽=0,代入整理可求k.

【解答】

解：・.・抛物线C：y2=4x的焦点为F(l,0),

二过A,B两点的直线方程为y=-1),

联立『二;j])可得，k2x2—2(2+fc2)x+k2=0,

A=[2(2+fc2)]2-4k4=16+16k2>0,

设4(%,月),B(x2,y2)>

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rn.l,4十NT3

灼工1+%2=~^2'%1%2=1，

4

•••%+丫2=k(Xi+x2-2)=-)

2

丫。2=-1)(%2-1)=fc[XlX2-(^1+上)+1]=-4，

VM(-l,l),

MA—(%1+l,yi—1),MB=(%2+1,丫2—1)，

•■-乙4MB=90。，•••AM•MB=0

(xi+i)(x2+1)+(yi-1)(72-i)=°，

整理可得，XiX2+(X1+X2)+丫，2-31+丫2)+2=0，

44

・・・1+2+六一4-；+2=0,

fczk

即1-4k+4=0,

••k=2,

故答案为2.

17.【答案】解:(1)设等差数列｛时｝的公差为d.

由于破=a2-a8,

所以(1+3d>=(1+d)(l+7d),

解得d=1.

所以即=n.

(2)由⑴得bn=|=3-W，

所以〃=(：_｝+&-》+•••+&_・)=1-±=羔.

【解析】(1)直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式；

(2)利用裂项相消法在数列求和中的应用求出数列的和.

本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，数列的求和，裂项

相消法的求和，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题.

18.【答案】解：(1)因为2acos4=bcosC+ccosB所以由正弦定理可得2sia4cos4=

sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C),

又B+C=7T—4所以2sin/cos4—sin(7r—A)=sinA,

因为4G(0,兀)，所以sia40。所以cos/=

所以/=全

222

(2)由余弦定理小=h4-c-2bccosA9得b24-c-be=12,

又b+c=6,所以be=8,

由三角形面积公式S=^besinA得三角形ABC的面积为2g.

【解析】(1)已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公

式变形，根据sinA不为0求出cos4的值，即可确定4的度数；

(2)利用余弦定理列出关系式，利用完全平方公式变形后，将a与b+c的值代入求出6c

的值，再由sinA的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形A8C面积即可.

本题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的

关键.

19.【答案】(1)证明：在四棱锥P-4BCD中，

vPA_L平面ABCD,BCu平面ABCD,

•••PA1BC,

••,在直角梯形ABCD中，AB//CD,ABLAD,AB=2AD=2CD=6

••AB=6,AD=CD=3,

AC=BC-3V2,

AC2+BC2=AB2,

AC1BC,

又PADAC=4,PAu平面PAC,ACu平面PAC,

•••BC_L平面PAC,

vBCu平面EBC,

二平面EBC_L平面PAC；

(2)解：建立如图空间直角坐标系：

•••PA，平面ABCD,ADu平面ABCD,

•••PA1AD,

■：AD=3,PD=3V5,

・•・PA=6,

・・・E为PA上一点，且PE=24E,

・•・AE=2,

易知山(0,6,0),C(3,3,0)，P(0,0,6),E(0,0,2),

则比=(3,-3,0),=(0,-6,2),而=(0,-6,6),

设元=(x,y,z)是平面BCE的法向量，

贝唱嚼U即已；冷2,所以可取元=(LL3),

—低，函=需等，

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•••sin。=|cos(n,RP)|=答，

直线PB与平面BEC所成角的正弦值为等.

【解析】(1)根据线面垂直的定义可证P418C,利用勾股定理可证4C1BC,进而说明

BCJL平面PAC；

(2)利用空间向量求线面夹角sin。=|cos<n,BP)|.

本题考查了面面垂直的证明和线面角的计算，属于中档题.

20.【答案】解：(1)根据所给数据完成列联表:

性别

男生女生合计

科目

物理300250550

历史100150250

合计400400800

22

2800x(300xl50-250xl00)(450-250)160.AOQO

550x250x400x40055x25x211

••.有99.9%的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关.

(2)按照分层抽样的方法，抽取男生2人，女生3人,

随机变量X的所有可能取值为0,1,2,

,..pP((vX—-0)一以百一—痛]

P(X=1)=^=3

g'

C5

P(X=2)=等/

X的分布列为:

X012

33

P1

10510

.•.E(X)=0x±+lx|+2x^=|.

【解析】本题考查独立性检验的应用、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考

查了推理能力与计算能力，属于中档题.

(1)根据所给数据完成列联表，求出/2=詈>10.828,从而有99.9%的把握认为该校学

生选择物理或历史与性别有关；

(2)按照分层抽样的方法，抽取男生2人，女生3人，随机变量X的所有可能取值为0,

1,2,分别求出相应的概率