2021-2022学年北京市石景山区高二下学期期末考试数学试卷（含详解）

2022年北京市石景山区高二下学期期末

数学试卷

本试卷共8页，共100分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作

答无效.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项.

I.己知等差数列｛为｝的通项公式为。“=5-2〃，则它的公差是

A.-5B.-2C.2D.5

2.如果一个物体的运动方程为$（7）=/”>0）,其中s的单位是千米，「的单位是小时，那么物体在4小

时末的瞬时速度是（）

A.12千米/小时B.24千米/小时C.48千米/小时D.64千米/小时

3.一名老师和四名学生站成一排照相，学生请老师站在正中间，则不同的站法为

A.4种B.12种C.24种D.120种

4.在（犬一工）的展开式中，含x项的系数为（）

A.21B.-21C.35D.-35

5.已知曲线y=/（x）在（5,/（5））处的切线方程是y=-x+5,则/（5）与/'（5）分别为（）

A.5,-1B.-1，5C.-1，0D.0,-1

6.从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A=”取到的2个数之和为偶数”，事件8="取到两个数均

为偶数”,则P（8|A）=

112I

A.-B.-C.-D.—

8452

7.下列命题错误的是（）

A.随机变量4~8（〃,；），若£管）=30,贝iJ〃=90

B.线性回归直线y=加+a一定经过样本点的中心（X,y）

C.两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1

D.设且p(4<())=().2,则尸(1<4<2)=0.2

8.已知数列｛4｝的前〃项和为S“，若4=[+2+3++〃，贝|」$5=()

35

A.2B.-C.一D.

235

9.已知函数/(X)=X+1—恁力有两个零点，则实数a的取值范围为()

A卜5'°)B.1J+8)C.(-e2,0)

D.-e2

10.等差数列｛4｝的前〃项和为S“，前〃项积为已知4=-11，4=-7,则()

AS“有最小值，7.有最小值B.S“有最大值，T“有最大值

C.S,有最小值，7；有最大值D.S,有最大值，T“有最小值

第二部分(非选择题共60分)

二、填空题共5小题，每小题4分，共20分.

11.离散型随机变量J的分布列如下表：

自012

Pa

24

则土)=；。⑷=

12.在(1+3x)4的展开式中，二项式系数之和为.各项系数之和为.(用数字作答)

13.已知函数/("=-丁+/一犬-1在R上是单调函数，则实数a的取值范围是.

14.在数列｛4｝中，«,=1.anail+i+l=a〃，〃eN*，则。22=.

15.若存在常数々和〃，使得函数/(x)和g(x)对其公共定义域上的任意实数x都满足：丘+力和

g(x)Khc+b恒成立或(f(x)Vh+b和恒成立),则称此直线y=Ax+b为和g(x)

的“隔离直线”.已知函数/(x)=f,g(x)=J(尤＜0),有下列命题：

①直线y=0为〃x)和g(x)的“隔离直线”.

②若y=f+b为/(X)和g(x)的“隔离直线”，则/，的范围为一4,一;

③存在实数Z，使得“X)和g(x)有且仅有唯一的“隔离直线”.

④“X)和g(x)之间一定存在“隔离直线”，且〃的最小值为T.

其中所有正确命题的序号是.

三、解答题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

16.已知数列｛4｝是公比为2的等比数列，且%+1,4成等差数列.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)记勿=4+四2。向，求数列他」的前〃项和T”.

17.某射手每次射击击中目标的概率是：，且各次射击的结果互不影响，假设这名射手射击3次.

(1)求恰有2次击中目标的概率；

(2)现在对射手3次射击进行计分：每击中目标1次得1分，未击中目标得0分；若仅有2次连续击

中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分.记X为射手射击3次后的总得分，求X的概率分布

列与数学期望E(X).

18.已知函数/(%)=公3+反2,当兀=1时，“X)取得极值一3.

(1)求4,b值；

(2)若对于任意x〉0,不等式/(x)+262一加NO恒成立，求实数加的取值范围.

19.某单位共有员工45人，其中男员工27人，女员工18人.上级部门为了对该单位员工的工作业绩进行

评估，采用按性别分层抽样的方法抽取5名员工进行考核.

(1)求抽取的5人中男、女员工的人数分别是多少；

(2)考核前，评估小组从抽取的5名员工中，随机选出3人进行访谈，设选出的3人中男员工人数为

X,求随机变量X的分布列和数学期望；

(3)考核分笔试和答辩两项.5名员工笔试成绩分别为78,85,89,92,96；结合答辩情况，他们的考

核成绩分别为95,88,102,106,99.这5名员工笔试成绩与考核成绩的方差分别记为s：,s；,试比较

s；与s；的大小.(只需写出结论)

20.已知函数/(同二'》一与。-.

(1)求曲线y=/(x)在点(1,/。))处的切线方程；

(2)存在尤0>1,当XG(1,%)时，恒有—1),求实数％的取值范围.

2022年北京市石景山区高二下学期期末

数学试卷

本试卷共8页，共100分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作

答无效.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.

第一部分(选择题共40分)

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项.

I.己知等差数列｛为｝的通项公式为。“=5-2〃，则它的公差是

A.-5B.-2C.2D.5

【答案】B

【解析】

【分析】求得4,4,由此求得公差.

【详解】依题意4=3,4=1，故公差为4一弓=一2,故选B.

【点睛】本小题主要考查利用等差数列通项公式求等差数列的公差，属于基础题.

2.如果一个物体的运动方程为s(1)=/(t>0),其中s的单位是千米，。的单位是小时，那么物体在4小

时末的瞬时速度是()

A.12千米/小时B.24千米/小时C.48千米/小时D.64千米/小时

【答案】C

【解析】

【分析】

对v求导，代入♦值即可.

【详解】由u=s'(r)=3/，则当r=4,v=48

故选：C.

【点睛】本题考查了瞬时变化率、导数的概念的问题，属于基础题.

3.一名老师和四名学生站成一排照相，学生请老师站在正中间，则不同的站法为

A.4种B.12种C.24种D.120种

【答案】C

【解析】

【详解】一名老师和四名学生站成一排照相，老师站在正中间，则不同的站法为阀=4x3x2x1=24种,

选C.

4.在(x—2)的展开式中，含x项的系数为()

A.21B.-21C.35D.-35

【答案】D

【解析】

【分析】首先写出二项式展开式的通项，再令7-2r=1求出，再代入计算可得；

【详解】解：二项式(工-工)展开式的通项为7；+1=C"7-(一

=C；x7-2r(-l)r«

令7-2「=1,解得r=3,所以含*项的系数为C；(—l)3=—35：

故选：D

5.己知曲线＞=/(力在(5J(5))处的切线方程是y=-x+5,则“5)与/'(5)分别为()

A.5,-1B.-1,5C.-1,0D.0,-1

【答案】D

【解析】

【分析】利用导数的几何意义得到f'(5)等于直线的斜率-1,由切点横坐标为5,

得到纵坐标即f(5).

【详解】由题意得f(5)=-5+5=0,f(5)=-1.

故选D.

【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题.

6.从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件4=”取到的2个数之和为偶数”，事件8="取到两个数均

为偶数”，则P(B|A)=

2

C.D.

5~2

【答案】B

【解析】

【分析】先求得P(A)和P(AB)的值，然后利用条件概率计算公式，计算出所求的概率.

1

4211

+//W

做

C;--=-(--(切-----

【详解】依题意PA）CW5\\24.故选B.

10-

5

【点睛】本小题主要考查条件概型的计算，考查运算求解能力，属于基础题.

7.下列命题错误的是（）

A.随机变量若矶4=30,则〃=90

B.线性回归直线y=区+。一定经过样本点的中心伍可

C.两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1

D.设。〜N（l,b2）,且尸（。＜0）=0.2,则尸（1＜《＜2）=0.2

【答案】D

【解析】

【分析】对A,根据二项分布的数学期望求解即可：

对B,根据回归直线的性质判断即可；

对C,根据相关系数的性质判断即可；

对D,根据正态分布的对称性判断即可

【详解】对A,随机变量4若£4）=30,贝iJ〃xg=30,即〃=90,故A正确；

对B,线性回归直线丁=灰+。一定经过样本点的中心故B正确；

对C,两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1,故C正确；

对D,设J~N（1Q2）,且P信＜（））=02,则P（1＜J＜2）=P（O＜4＜1）=（）.5-P（J＜（））=（）.3,故

D错误；

故选：D

8.已知数列｛可｝的前〃项和为S“，若4=]+2+3一+7则55=（）

358

A.2B.-C.一D.一

235

【答案】C

【解析】

【分析】根据等差数列前〃项和公式求出数列｛%｝通项，再利用裂项相消法即可得解.

112=2%1

【详解】解：a>,1+2+3+…+〃/(1+〃)+n+17>

2

所以S5=2(1=2xP45

\223jO3

故选：C.

9.已知函数〃X)=X+1-肥7有两个零点，则实数。的取值范围为()

T，+°°2

人•生。B.C.(-e,0)D.(-e2,+oo)

【答案】A

【解析】

【分析】令〃x)=0,转化为a=(x+l>e',设g(x)=(x+l>e)利用导数求得函数g(x)单调性和

最值，把函数的零点，转化为丁=。与g(x)=(x+l)-e'的图像有两个交点，结合图像，即可求解.

【详解】由题意，函数/(x)=x+l-aeT的定义域为R,

令/(x)=0,即x+l-ae-，=0,即a=(x+l>e*,

设g(x)=(x+l>e",可得8，(%)=6*+(%+1>6，=(%+2>1,

当x<-2时，g'(x)<0,

当x>-2时，g'(x)>0,

所以g(x)在(-8,-2)上单调递减，在(-2,+00)上单调递增.

要使得函数〃x)=x+l-aeT有两个零点,

只需y=a与g（x）=（x+l>e'图像有两个交点，所以—[vavO,

e

即实数。的取值范围是

e

故选：A.

10.等差数列｛4｝的前"项和为s“，前〃项积为，，已知4=T1，4=-7,则（）

A.S“有最小值，T,有最小值B.S“有最大值，7；有最大值

C.S“有最小值，7；有最大值D.S“有最大值，7；有最小值

【答案】C

【解析】

【分析】根据已知条件求得4，4,进而求得外,结合数列的有关性质确定正确选项.

ciid——15

【详解】依题意<-rnq=_13,d=2n4=2〃—15,由%<0解得〃<，，neN*,所以

4+3d=-72

等差数列｛/｝的前几项和S"满足：s’最小，无最大值.

q=-13,a,=—1l,a3=—9,a4=—7,a5=—5,«6=—3,a7=—1,6—1,...

7；=—13,4=143/=-1287,7；=9009,7；=—45045,"=135135,7；=-135135,...

当〃28时：（,<0,且为递减数列，故（有最大值135135,没有最小值.

故选：C

第二部分（非选择题共60分）

二、填空题共5小题，每小题4分，共20分.

11.离散型随机变量4的分布列如下表：

4012

]_2_

Pa

24

贝；0(/=

【答案】①.1②."#0.5

【解析】

【分析】根据分布列的性质求出参数“，再计算期望和方差.

【详解】由分布列可知：a+-+-=l,得a=L；

244

所以E(J)=0x；+lxg+2x；=l；

222

£>(^)=(0-l)xi+(l-l)xl+(2-l)xl=l

故答案为：1；■

12.在(l+3x)4的展开式中，二项式系数之和为；各项系数之和为.(用数字作答)

【答案】①16256

【解析】

【分析】根据二项式系数和公式2"求得二项式系数之和；再用赋值法求各项系数之和.

【详解】在(1+3x)4的展开式中，二项式系数之和为24=16；

令x=l,(1+3)4=256,即各项系数和为256.

故答案为：①16；②256.

13.已知函数〃苫)=-丁+以2—X-1在R上是单调函数，则实数4的取值范围是.

【答案】[—6,6]

【解析】

【分析】判断函数导数为开口向下的二次函数，则应满足△<(),即可求解

【详解】f\x)=-3x2+2ax-\,因为函数在A上是单调函数，

故只能满足/(%)=一3犬2+2社一140在R上恒成立，即A<0,A=4a2-12<0>解得

aw[-6，6]

故答案为：[-6,G]

aa

14.在数列｛a,,｝中，4=；，nn+\+1=a”，〃eN*，则a2022=.

【答案】2

【解析】

【分析】根据数列的递推公式，发现规律，即数列｛%｝为周期数列，然后求出々022即可.

,1

【详解】由见4+1+1=%，可得《1+1=1—一，

1,1,1c,11

从而可得：q=—，4=1---=T，%=1---=2,%=1----T

2«,a2%2

故数列｛4｝是周期为3的数列，

可得：a2022—%*674==2

故答案为：2

15.若存在常数攵和方，使得函数/(X)和g(x)对其公共定义域上的任意实数X都满足：履+。和

g(x)MAx+b恒成立或(/(%)WAx+b和g(x)NAx+b恒成立),则称此直线y=Ax+b为和g(x)

的“隔离直线”.已知函数〃力=/，g(x)=l(x<0),有下列命题：

①直线y=0为“X)和g(x)的“隔离直线”.

②若y=-x+。为“X)和g(x)的“隔离直线”，则》的范围为一4,一；.

③存在实数A，使得/(力和g(x)有且仅有唯一的“隔离直线”.

④/(力和g(x)之间一定存在“隔离直线”，且b的最小值为T.

其中所有正确命题的序号是.

【答案】①④

【解析】

【分析】根据“隔离直线”的定义逐个分析判断即可

【详解】对于①，因为当x<0时，/(6=/>0,g(x)=j<o,所以直线y=0为/(x)和g(x)的

“隔离直线”，所以①正确，

对于②，因为y=—尤+人为和g(x)的“隔离直线"，所以人恒成立，所以

b<x2+x=fx+—>所以—■-,

L2j44

，4一%+/％<0)恒成立，所以匕Zx+L(x<0)恒成立，

XX

因为x+'=—(-X)+—1<-2J(-x).—=-2(X<0),当且仅当一x—即X=—1时取等号，所以

x-xV—X-x

b>-2,

综上一2«匕4一4，所以②错误，

4

对于③④，设〃x)=%2,g(x)=J(x<0)之间的隔离直线为y=H+"即/之依+人

一—米一820恒成立，所以攵2+4。40，所以6W0,

因为‘Wfcc+b(%<()),所以丘2+区一1<0(%<0)恒成立，

x

当人>0时，不合题意，

当左=(),〃=()时、符合题意，

当女<0时，令丫=小+队_1,对称轴为％=——<0,

2k

所以只需满足/+4左W0，

所以％2«7。且力24_4左，

所以左4W16Z/2W-64左，所以T〈左40,

同理可得_4«b«0,

所以/(x)和g(x)之间一定存在“隔离直线”,且〃的最小值为-4,7(x)和g(x)之间有无数条“隔

离直线”，且实数々不唯一，所以③错误，④正确，

故答案为：①④

三、解答题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

16.己知数列｛4｝是公比为2的等比数列，且4,4+1，4成等差数列.

(1)求数列SJ的通项公式；

(2)记2=an+log2an+i,求数列｛么,｝的前n项和Tn.

【答案】(1)an=2"-'；(2)〃(〃+1)+2“-1

2

【解析】

【详解】(1)由题意可得2(%+1)=%+%，

即2(24+1)=电+44，

解得：%=2,

2

数列｛4｝的通项公式为4=2"T.

nl

(2)bn=an+log2an+}=2~+n,

Tn=4+/?)+a+…+=(1+2+3+...+〃)+(20+21+2?+…+2"।)

_〃(〃+l)J-2"+।2“]

21-22

2

17.某射手每次射击击中目标的概率是：，且各次射击的结果互不影响，假设这名射手射击3次.

(1)求恰有2次击中目标的概率；

(2)现在对射手的3次射击进行计分：每击中目标1次得1分，未击中目标得0分；若仅有2次连续击

中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分.记X为射手射击3次后的总得分，求X的概率分布

列与数学期望E(X).

【答案】(1)—；(2)E(X)=—

9''27

【解析】

【分析】(1)先记“射手射击3次，恰有2次击中目标”为事件A,根据题中条件，即可得出结果；

(2)先由题意确定X的可能取值，求出对应概率，进而可得出分布列，再由分布列求出期望即可.

【详解】(1)记“射手射击3次，恰有2次击中目标”为事件A,

因为射手每次射击击中目标的概率是2|,

所以尸⑷5目“高V

(2)由题意可得，X可能取值为01,2,3,6,

(2丫12

P(X=0)=1-£P(X=I)=C；

\3J279

21242211228

P(X=2)=-x-x-=——，p(X=3)=-X-X-+-X-X-=2,

3332733333327

尸(X=6)=62

I27

所以X的分布列如下:

X01236

12488

p

279272727

1248886

因此,E(X)=Ox—+lx-+2x—+3x—+6x—

27927272727

【点睛】本题主要考查独立重复试验，以及离散型随机变量的分布列与期望，熟记概率计算公式，以及分

布列与期望的概念即可，属于常考题型.

18.已知函数〃6=加+加，当％=1时，〃X)取得极值-3.

(1)求。，6的值；

(2)若对于任意尤>0,不等式/(x)+262—加20恒成立，求实数机的取值范围.

a=6

【答案】(1)匕八

b=-9

.3

(2)(-00,-1]U[,T,+00)

2

【解析】

【分析】(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式组，求出〃，〃的值；

(2)问题转化为/(x)之〃-2序对任意尢>0恒成立，求出/(X)的最小值，从而求出机的范围即可.

【小问1详解】

由/'(X)=+2bx，

当尸1时，f(x)的极值为-3,

••f'(\•]=[3a/+2"b=I0，解得：|a=6

,八，经检验，符合题意.

。=一9

【小问2详解】

f(x)+2/-/n>o对任意%>0恒成立,

即/(x)>m-2加对任意x>0恒成立,

由⑴知/(%)=6/-9/,/(X)=18X2-18X,

由/'(x)>0得x<0或x>l,由J"(x)<0得0<x<l

函数/(x)在(1,+8)上单调递增，在(0,1)上单调递减

所以当41,篇(％)=/⑴=一3

•e•-3>m-2n^>即一,〃一320，

3,3

〃?<一1或加,即"？的取值范围为(-8,-l[U[],+8).

19.某单位共有员工45人，其中男员工27人，女员工18人.上级部门为了对该单位员工的工作业绩进行

评估，采用按性别分层抽样的方法抽取5名员工进行考核.

（1）求抽取的5人中男、女员工的人数分别是多少；

（2）考核前，评估小组从抽取的5名员工中，随机选出3人进行访谈，设选出的3人中男员工人数为

X,求随机变量X的分布列和数学期望；

（3）考核分笔试和答辩两项.5名员工的笔试成绩分别为78,85,89,92,96：结合答辩情况，他们的考

核成绩分别为95,88,102,106,99.这5名员工笔试成绩与考核成绩的方差分别记为,试比较

S；与学的大小.（只需写出结论）

【答案】（1）男员工抽取3人，女员工抽取2人

（2）分布列见解析，数学期望为19

（3）s；=s；

【解析】

【分析】（1）求出男员工与女员工人数比，从而利用分层抽样求出抽取的5人中男、女员工的人数；

（2）求出X的可能取值及对应的概率，求出分布列，数学期望；（3）计算出这5名员工笔试成绩与考核

成绩的平均值，进而求出S；,S；,比较出大小.

【小问1详解】

男员工与女员工的人数比例为27:18=3:2,所以抽取的5人中男员工的人数为5x—23一=3人，女员工

3+2

人数为5x二一=2人，

3+2

【小问2详解】

X的可能取值为1,2,3,

尸（X=D=鲁*尸。=2）=普|，P（X=3）=||q，

所以X的分布列为:

X123

331

P

10510

数学期望为EX=3+■1+3g

105105

【小问3详解】

78+85+