2021-2022年高二上学期期末考试数学试卷含答案

2021年高二上学期期末考试数学试卷Word版含答案

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，将答案填在答题纸上）

1.若直线经过两点，，则的倾斜角为.

2.抛物线的焦点到其准线的距离为.

3.已知两条直线，，则与的距离是.

4.函数的图象在点处的切线方程为.

5.一质点的运动方程为（位移单位：；时间单位：），则该质点在时的瞬时速度为

6,若函数在区间上的最大值是，则实数的值为.

7,将一个圆锥沿母线剪开，其侧面展开图是半径为的半圆，则原来圆锥的高

为.

8,设是等腰三角形，，则以，为焦点且过点的双曲线的离心率是.

9,关于异面直线，，有下列四个命题：

①过直线有且只有一个平面，使得；②过直线有且只有一个平面，使得；

③在空间存在平面，使得，；④在空间不存在平面，使得，

其中，正确命题的序号是（把所有正确命题的序号都填上）.

10,在平面直角坐标系中，已知点，直线.点是圆上的动点，，，垂足分别为，，则线段的最大值是

11,已知三棱锥的各个顶点都在一个半径为的球面上，球心在上，底面，，则球的体积与

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三棱锥体积之比是.

12.如图，在平面直角坐标系中，，分别是椭圆()的左、右焦点，，分别为椭圆的上、

下顶点，直线与椭圆的另一个交点为，若，则直线的斜率为.

13.如图，一根长为

米的竹竿斜靠在直角墙壁上，假设竹竿在同一平面内移动，当竹竿的下端点从距离墙角点米的地

方移动到米的地方，则的中点经过的路程米.

14.已知函数(),若对于任意，不等式(其中是自然对数的底)恒成立，则实数的取值范围

是__________

二、解答题(本大题共6小题，满分90分.解答应写出文字说明、证明过程或

演算步骤•)

15.(本题满分14分)

已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为.

(1)求顶点的坐标；

(2)求直线的方程.

16.(本题满分14分)

如图，在三棱锥中，，，分别是棱，，的中点.已知，，，.

(1)求证：直线平面；

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（2）求证：平面平面.

B

17.（本题满分14分）

某景点为了提高门票收入，需要进一步改造升级，经过市场调查，门票新增额（万元）与改造投

入资金（万元）之间满足：（）.当时，景点新增毛收入（万元）为门票新增额扣除改造投入资

金.

（1）求的解析式；

（2）若将定义为投入改造资金的收益率，试确定投入资金（万元）的大小，使得改造资金的收

益率最高，并求出最高收益率.（参考数据：）

18.（本小题满分16分）

如图，圆内有一点，是过点且倾斜角为的弦.

（1）求弦的长；

（2）若圆与圆内切且与弦相切于点，求圆的方程.

19.（本小题满分16分）

已知，是椭圆的左、右顶点，是其右焦点，是椭圆上异于，的动点，且面积的最大值为.

（1）求椭圆的方程及离心率；

（2）直线与过点关于轴的垂直交于点，当直线绕点转动时，试判断以为直径的圆与直线的位置

关系，并加以证明.

20.（本小题满分16分）

已知函数，，其中为常数.

（1）当时，试判断的单调性；

（2）若在其定义域内为增函数，求实数的取值范围；

（3）设函数，当时、若存在，对任意的，总有成立，求实数的取值范围.

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苏州市XX学年第一学期期末考试

高二数学（附加题）

21.（本小题满分10分）

求函数的最小值.

22.（本小题满分10分）

求与圆外切，且与轴相切的动圆圆心的轨迹方程.

23.（本小题满分10分）

如图，四棱锥的底面为正方形，侧棱底面，且，，，分别是线段,，的中点.

（1）求直线与平面所成角的大小；

（2）求二面角的大小.

24.（本小题满分10分）

已知抛物线（）的准线方程为.

（1）求抛物线的方程；

（2）设是抛物线的焦点，直线（）与抛物线相交于，两点，记，的斜率之和为.求常数，使得对

于任意的实数（），直线恒过定点，并求出该定点的坐标.

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苏州市XX学年第一学期期末考试

高二数学答案

填空题：本大题共14小题'每小题5知共了。分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.

1.若直。经过两点状1次NEG4）,UIR的倾斜帝为..

答案；/

也设解法：直发/的斜率止二二［，其倾腾弃M满足场（T二】，且。丘^听，所以CI二乌

2-抛物线尸一的焦点到其准线的距离为,

答案：J.

建设解法；抛物携的标槌方程是营=之叭焦点到椎线的距离斤I,

3-L2知两条直线匕Fx+I3=0,侵：既I6y-9=0.贝U勺［姐的距离涯

答案：｝

建设解法,直线。的方程即为服十敏+&=J_两平行直线［岛间的距离"=理。乐

另解：点玳"一】）在直线h上'点P到上的距离d_L三三=

4.函＞j）=sirx的阳象在点S0J处的切戏方程为

建以衅法：，二&?三JT时，切金菱的制率*=；：明汗=—L所求的切线方程为｝*—0=——r）＞•即x+

y-a=0.

5一—质J.t的运动方程为3=/+10（偷.移血位：E；时间单.位：s）.划该质，点在，=3时的境时速度为_ni/s.

答案3.

建说解法；因为廿俳=$'（「）=NL所以u（3）=&,

若函数丁口）=/-3/十奁在区间［-LL］上的最大值是2,划变敝《的便为

答骚2.

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建议解法：f(x)=--6x=3?(7-2,易得F⑴在[-1.Q]L通增，^[D.1LisSM,所以「&inm=/P)三亚=2.

7.将一个圆锥沿母^啊开’其例面1展开图是半役为2的华圆，则原来圆镣的高为

建议解法：设圆钳的图为人底面华径为人母线氏为/=2.则2xr=Jt/=2n.即r=1.

所以h=7口-厂=

8.设2BC是等腰三角豚ZABC=120•.则以A.B为焦点且过点C的双曲线的离心率是

答案：、一.

建议解法；不妨设A8=ec=l.则AC=百，离心率e=与=-^―=空L

2a12

关于异面直线“，石有下列P-I个命题；

①过直倍有」L只有一个平面爪使得"氏彳勤过宜线H有II只有一个平面爪使得&_LP3

③在空间存在平面研使得勃此城们函在空间不存在平面#,使帚IL^ALfi.

其中，/E碰命题的序号是（把所有iE〈-的序号都质上）1

答案：①③④一

建议解法：

M.在平面直角坐标系上口了中，已知点A（0“2>.百.践仆x4-y-4=0.点6应力是圆匚：『+f-2

I•.的动以〃±,近乂,垂足分别为少E,则既段PE的鼠大值是

答案；注

业误解法：圆匚；（X->=2,圆心为匚（LU、半径1-MI

AC-（i「2）在直线r的方向向fir=（J,-l）上的it澎长为d

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1L已知上校篥S-胸的答个顶点都住•个半径为『的球面上，球心.在上，SO_L底面4阳4C=则球的体枳

上J询i排体枳之比是.

答案:4re.

地议解法3底面△漳且仁内接于球的大圆，所以|》C=£C=：蜂T曲w§△细1阮=扩一

2.1

]么如图.在平面直角坐标系匚（为中，舄,当分别是柿圆r5〉。）

的左一右焦点.艮c分别为捅罔的匕卜顶点，直线房与帼周的另一个

交点为心若皿方8。=%则直投〃的辩率为

也议解法：由如□•&瞧二一£得虹凸•（1\11\-虹肺认业二“'，砰c4T

本题4」r>.6X=5：4：3、

J3-如图.一根长为2米的竹竿AJ?斜靠在直角埼壁I、假设竹竿在同•平面内移动.当y

竹竿的卜端」."A从距离崩帝6点】米的地方移动到由米的地方,

则四的中点〃经过的胳程为.

AA，*

答案：,?-

地区解法：点。的路经是：以。为圆心，1为争径的圆瓠，圆心角为§频长为£米一fltl

Li知函数/（.XI=a-rlufl（tl<£T<1）”若对于任意re[-L1J,不等式/（J）c-1（其中仁是自然文寸散

的底）恒借立■,则笑数时取值范闱是_

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二.解答题；本大题共占小题，共计90分.靖在答题卡指定整域内作答「解答时应写出文字说明、证明过程或

演算步骚，

15.（本小题满分14分）

已知的顶点jfiABI：的中线匚财所在欧J线的方程为凶一甘-5=0.liACL的高EH所在F涡£的方程

为耳一芬一S=吐

⑴戒顶以匚的坐标；

⑵求直线优1的方程一

解：

（I）因方丸匚与垂直，所以直^孔匚的一个法向览为（NIL直税AC的

方程为2K工•5）*3•1）二（L即如中y-H=0.

分

点c是1T线〃1与CM的交点一

由',得口4玖..............................T分

（Zx+y-II二0.

C2）由点B在宜堤EH：J-2y-5=0.11,讨设顶站十5JL）,

用JA百的中点M①+5.导）在H线匚AL2r-v-5=01一

即羽*]0-史fl-5=0,解得/»=-知所以B(-1-£.1I分

因为我=1所以屯戢占仁的方程为尸+3=?”+1）,即&*一力一9=。14分

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临，（本小题淌宗14）

如图.在匚桂雉P—避疗仁中，/XEF分别是棣PGM,部的中点,

已知PAA.AC,尸次=£BC=1：PF=1

⑴求证；直平面DEF；

解；

⑴在AE4匚中，囚为口M分划是2c4。的中舟,，所..................................…3分

又因为PAZ平面DEF、/'仁平面OEF,所以PA#平面DEF................................6

分

（2）因为OEF分别是PC,AC4?的中点，

所以DE==S,EF=；序。=4...................................................................................................8分

在中.DE?+Df2-=42-k32=25=断以睥_EF.10分

由（1｝知心E//M,乂丹14c所以占EJJG

因ACnEf-E,力C跖匚平面所成f）E一平面4%.........................12分

因为DE口平面被5；所以平面8DE,平而乂£E匚...................................14分

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J7.(长小题一满分14介)

某时为r提高门票收入，需矍进一步改造升级.经过市场调查.门票新增额」(厅兀)“故造投入俺金XI

万元)之间满足：J=踪/一A-x一xIn(ax)(.1x60J当式-1。时，g=102.景

点新增•毛收大为门票新增颇扣除改及“贫金

(｝求.=的解析式：

因若将乎定义为役人改造资金的收益率，试确定^人资金*!万元｝的大小，使得改造资金的收益率金高，并

求出最高收益率」零考数据：ln5=L.6J)

解:

⑴把Jt=10时*s=102代入n=_Jt:x'+JC-J：

50100

102=102-10-M0-10KIDirt),即力=土......................................3分

所以厂爵-岛‘十…咔"5财，

所职/(A〉=5-A=希F-点#-2C111(IXftfl).............................&苛

令=此停上二I成工二50.

列表如下！

ft1(顷50(30*«0>60

(14-0—

/梃大值X1

由上表可悯一£(50)是报大他I，也是最大值.

点心丽'-g(5tl)=51—25—IF5=....................—1.61Z：24.3".......13

分

答」当投入资金5。万兄时，改造资金的收益率最高，最高收益率24.39.....14分

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J8.（本心题淌分15命）

如图.圆0：/十丁=8内有一点「（一」，巩他是过点尸且使斜角为135,的弦.

⑴求蚣AF的长；

⑵若圆C与圆0内切且与炒4/相切于点巴求胸＜7的方程，

解：

（1）弦＞8所在的翎率为皿涉三T.

直绶方程为y—2一—（X+I）iN|IA：+y—1=0...................................................................2分

弦心距「==美....................................................................4分

所以弦长八8=2寸£-小二\A30...........................................................................................................—..&

分

⑵日为阮C。曾腿相切于点〃所以圆心C在直线y=n3E.Vf

设圆心为e*玖广又）一、、

蛔半径F=b=衙+I）吉心4一邛=皿|5]|-•分A^N'

由两C、与隔I。内切，得9。=2仍・小................-Io分-4_——A-\-------『J

fill\[（?+（«+3）-=2Vi-Vz\a-F11,*\''、j

用如一T心一一3匚''…I................................5'、-r

所'顷I苗c的方程为C+A+C-二,

或Z命+3-俞■峭..........................................比分

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J9（本小题滴分话夺）

已知4（-2,0）,是椭圆C的左、右顶点，F是同；右焦戌.〃是椭同“毋于九8

的如LI|△洛尸臼面段的最大便为2v3.

⑴求me的方程及高心率：

⑵直线AP与过点夕美顼Jt轴的整线交于点口与直线1.〃绕点力转幼

M.试判断以fiD为直径的^与tt绶仔•的位置关系，并加以证明一

解：

（I匕由题意.得I队的最大值为尚.所以以a二四展而H,1.................................2・分

fflfj圆C,的方’程为守为■二1.其离心率#=!.....................................4分

⑵由⑴如屋皿•设以月口为直糅的圆的圈心为州已叽则半役r=刑I.DQW.&分

P（\y0）,14P.O共金戋，得切1删财卜勤.......................................8砰

宜税FF的方程为＞o（A-1）--l）y=0..........................................I.分

圆心,犷到宜戏期的距高j-幅*一叫.二牛5〃叫

|/而贝-罗―茨+W知-

皿=阿一命=阿一州=同"J12_3蚌十4（刊一TP.............................V〈'~"尸

所以以fij）为宜径的圆与住姓PF总相切............................................16分

说明实际」、「1线口召的法向kM一（歹成一（Jr。-I）,的模In|=卜钊・=a--ex'=2

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20.（本小题满分\6钳

匕知函数/上=lnx-~,fir—61nA.其中舟EF为常数.

X

⑴当也二I时.试判断了⑴的恨调性：

（2）若就砂在M提义域内为增函数.求实数，的取值范围：

（3）设函数血（洋）-X2-?HX+4,当皿=,时！I若存存口仁（QIL文寸任意的xae11,21,总有&内）¥人（3））成立，求

实数“仙取值范围，

（1）*口=I时，＜（x＞』in*-?的定义域为皿4-M）.

因为tAU在是乂设'上恒成立.

所以而犬一！在定义域0+8）1•.是单圈逆增函数.....................................3分

(z)g(j)=J.v-----5InJt的定义域为皿,

因为、（x＞在皿4gj阿是增函数,

所以多3=占+分一{=竺三二引材-。0恒成"•....................................5分

I且H：P~z_L：/t＞{[ti'i.........................................../—

\x+i-

|山基本不等式."i工=1网.兰L=/+J的:坡小值如一所以疽」.的坡人但为=Kx~X~=1

I所以二；,即实裁11的取值范闱是1；.+8）一.........................................9分|

3。-2|=j上"x）=2i-i-51nx.*。）一径工——・-

易得U又砂在（。.；II'.递增，I；nL：速敞所以此点校9=5]心-3......................12分

由二次雨数/）（鹤的图象如」松少瞄={mi静⑵}g...................-...................14分

形¥8—5吊211*.一

所以」y.

51n2—38—为诉m4-Ln2,

右Xa-■I

T■-16|

而(8—5ln2)■(¥ETIn2)=(I=In2)>0,所以得wi#8■'

综1•.所述，实数加的取值范市是18-5hi2.+皿.........

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2].（本小题满分10分）求函数/（x）=h—2—+x的最小值.

1X4-L

1（1;.）———■e

解：函数，（力==-Jnf2.\+114的廷义■域为十世）■r.,-

，%

-十［=—

2xt2xf1

令，E被fX■=*.....................4分

列表如下；

才J1L?（扣g）

°+.....■■-，.&分

梃小值/

由上表可如'In=；时，，⑴取槌小值，也是最小慎，

所以/{"）丽—/（；）二-

22.（曼小题满余10窝）

求与圆C：外切’且与p轴相切的动is圆心M的轨迹方程.

，、腓：F卜护一帖三o的标准方程为Qc-卫沪+护三

圈心为匚0Q>,半径为1...............2分

I设动圆的圆心为MO,PI,平被为己则」一、十七......................史5分

H|x|=r>0,

■叩v'（x~2）2十/=w+；闵（jc尹o）...........

”.....................&分

化简.得/=4*+41jcL（A0}...........R分

HP>=O（.v<ojnfeJ!=8jt（i>ck

所以动同圆心的时通方程为JJ=O（2C<□）或y2=（X>a）................................10

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23.（协小题满分分）

如图.四-力威力的底面为正方形.仅4楼PM_L底面ABCD.

I[PAR）=2.EF,，分别是^段27%力£的中点”

⑴求I擞AH忖平面以//所成角的大小i

⑵求二而角H-EF-A的大小

解；以酷舌.而I天户｝为正交基底向量建立空同1”；常嫖标系A-#加

则&D.ILOL<1(2,0.0)入C(Zp2pO)t0皿40),F(0H01.2)T£(0.0FI),F(0.LTD#I分

(|>A77=(1.0.0),FF=(O,ko),'Ti=(],oT-i),

设平面ETH的一个法向量为Frt=0¥、疝

由m/成FN1EH.■（晶手妨取.........................3分

一卜一二=（1