2020年数学高考真题卷-全国Ⅱ卷理数（含答案解析）

2.2020年普通高等学校招生全国统一考试•全国II卷

理科数学

一、选择题:本题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的.

1.已知集合%{-2,T,0,1,2,3},4={-1,0,1},4={1,2},贝!

A.{-2,3}B.{-2,2,3}

C.{-2,-1,0,3}D.{-2,-1,0,2,3}

2.若。为第四象限角，则

A.cos2。X)B.cos2a<0

C.sin2。X)D.sin2a<0

3.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务,每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅

增加,导致订单积压.为解决困难,许多志愿者踊跃报名参加配货工作,已知该超市某日积压500份订单未配

货,预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成50份订单的配货,为使第二天

完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95,则至少需要志愿者

A.10名B.18名

C.24名D.32名

4.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称

为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构

成第一环，向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环

依次也增加9块.已知每层环数相同,且下层比

中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石)

A.3699块B.3474块

C.3402块D.3339块

5.若过点⑵1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x-y-3=0的距离为

A.史r3衣4V5

B.雪-------1J.

55-------------------5

6.数列{4}中，句2a陪产丛4.若&八+为连+…+azo电'气、,则k=

A.2B,3C.4D.5

7.如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点|---]匚二

为M,在俯视图中对应的点为N,尚『下

则该端点在侧视图中对应的点为

A.EI-------------

B/m-----

C.G

D.H

8.设。为坐标原点,直线x=a与双曲Q2b2线(aA),6和)的两条渐近线分别交于D,£两点.若△〃必的面

积为8,则。的焦距的最小值为

A.4B.8C.16D.32

9.设函数f(x)-In12x+l-In12xT|,则9(x)

A.是偶函数,且在§+8)单调递增

B.是奇函数,且在(-j,|)单调递减

C.是偶函数，且在(-用-i)单调递增

D.是奇函数,且在(-叫-?单调递减

10.已知是面积为度的等边三角形,且其顶点都在球。的球面上.若球。的表面积为16n,则。到平面

4

｛比的距离为

A•娼B.|C.lD4

11.若则

A.In(y-^+1)X)B.In(y-^+1)<0

C.In|x-y\X)D.In|x-y\

12.0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列a包…a“…满足a代{0,1}(?=1,2,…)，且存在正整数处

使得a,.=a,g,2,…)成立，则称其为0T周期序列，并称满足2,-)的最小正整数必为这个序

m

列的周期.对于周期为勿的0T序列aa…a尸•,取）』Ea⑶虱k=L2,…,0-1)是描述其性质的重要指标.

mi=i

下列周期为5的0T序列中，满足以%)W：(A=1,2,3,4)的序列是

A.11010-B.11011-

C.10001-D.11001-

二、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分.

13.已知单位向量a,b的夹角为45°,ka-b与a垂直,则k-.

14.4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去1个小区,每个小区至少安排1名同学,则不

同的安排方法共有种.

15.设复数zi,Z2满足|©|=|Z21=2,©3个月+i,则|©-Z21=.

16.设有下列四个命题：

6两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.

Q：过空间中任意三点有且仅有一个平面.

R：若空间两条直线不相交,则这两条直线平行.

Pi：若直线lu平面a,直线/〃_[_平面a,则ml,1.

则下述命题中所有真命题的序号是.

①0八”②口八m③％VR④RJVRI

三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17题为必考题,每个试题考生都

必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.

(一)必考题:共60分.

17.(12分)

△45C中，sin^-sin'e-sinZrin8sinC.

⑴求/；

(2)若8c=3,求△46C周长的最大值.

18.(12分)

某沙漠地区经过治理,生态系统得到很大改善,野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量,

将其分成面积相近的200个地块,从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本

数据(右/)(，=1,2,…,20),其中笛和匕分别表示第，个样区的植物覆盖面积(单位:公顷)和这种野生动物

2020202020

的数量，并计算得Z*,=60,E力=1200,£(必力WO,E但切为000,E⑸子)(■引400.

i=li=li=li=li=l

(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数

乘以地块数)；

⑵求样本(必,％)(£=1,2,…,20)的相关系数(精确到0.01);

(3)根据现有统计资料,各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物

数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法,并说明理由.

n

E(Xi-x)(yt-y)

附：相关系数r",72^1.414.

£(“同2£5-加

#=1i=i

19.(12分)

己知椭圆G:捺若=l(a»X)的右焦点厂与抛物线G的焦点重合,G的中心与心的顶点重合.过尸且与x轴垂

直的直线交6于48两点,交0于6；〃两点，且|切,四|.

(1)求G的离心率；

⑵设."是G与G的公共点.若|如与，求G与&的标准方程.

20.(12分)

如图，已知三棱柱ABC-ABG的底面是正三角形，侧面防GC是矩形，必N分别为BC,BC的中点,〃为4"上一

点，过和尸的平面交4r于£交立于F.

(1)证明：44〃砌丫且平面44始比平面EBCF;

(2)设。为△464的中心.若4〃〃平面EBCF,且40=仍求直线6历与平面44网'所成角的

正弦值.

21.(12分)

已知函数f(x)=sirT'xsinlx.

(1)讨论/Xx)在区间(0,n)的单调性；

(2)证明：1/1(x)|W学;

⑶设〃£N：证明：si/xsin’ZxsinNx…sin'2"xWJ

(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.

22.［选修4Y:坐标系与参数方程］(10分)

露R为参数),G:X=t+

己知曲线G,G的参数方程分别为G:(力为参数).

y=

(1)将G,G的参数方程化为普通方程；

(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设G,G的交点为P,求圆心在极轴上,且经过极点和

P的圆的极坐标方程.

23.［选修4节:不等式选讲］(10分)

已知函数f(x)=|x-a|+1x-2a+l|.

(1)当a=2时,求不等式f{x)24的解集；

(2)若f(x)》4,求a的取值范围.

12345678910111213141516

V2

ADBCBCABDCAC362V3①③④

T

1.A【考查目标】本题主要考查集合的补集与并集，考查的核心素养是数学运算.

【解析】解法一由题意，得4U庐{-1,0,1,2},所以＞G4U0={-2,3},故选A.

解法二因为2G&所以2G4U比所以2就,（4U0,故排除B,D;又OW4所以OW/U氏所以。就百，故

排除C,故选A.

2.D【考查目标】本题主要考查任意角的三角函数值，考查的核心素养是数学运算.

【解析】通解由题意，知＜a（ACZ）,所以-n掰*n＜2。＜44“（ACZ）,所以cos2aWO或

cos2aX）,sin2a＜0,故选D.

优解当a=」时,cos2aO,sin2a=-l,排除A,B,C,故选D.

4

3.B【考查目标】本题主要考查概率知识在生活中的应用，考查的核心素养是数学运算、数据分析.

【解析】由题意知超市第二天能完成1200份订单的配货，如果没有志愿者帮忙，则超市第二天共会积压

超过500+（1600-1200）400份订单的概率为0.05,因此要使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概

率不小于0.95,至少需要志愿者鬻=18（名），故选B.

【真题互鉴】从2019年高考全国II卷理科数学及本卷的第3,4题可以发现：（1）前4题的阅读量有所增

加；（2）高考数学不一定就是指定要考高中知识,如本题初中生也可以做.

4.C【考查目标】本题主要考查等差数列的性质，考查的核心素养是逻辑推理、数学建模、数学运算.

【解析】由题意知，由天心石开始向外的每环的扇面形石板块数构成一个等差数列,记为{&},易知其首项

国0、公差d2所以aka产S-l）d^n.设数列{a.}的前n项和为S,,由等差数列的性质知S“,也

成等差数列，所以26，£）=£6,一源所以（£.£）-（£“-$）成"-25工小9；1刎-2刃？9,得〃可

所以三层共有扇面形石板的块数为国产（9；27"）_3X9X（：27X9&如2，故选C.

【难点突破】解答本题的突破点：（1）由材料联想到从天心石开始向外的每环的扇面形石板块数构成一个

等差数列；（2）利用等差数列前〃项和的性质，知S,,酝构成一个等差数列.

5.B【考查目标】本题主要考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查的核心素养是逻辑推

理、直观想象、数学运算.

【解析】因为圆与两坐标轴都相切，点⑵1)在该圆上，所以可设该圆的方程为(x-a)，(y-a)2=a2(aX),所

以(2-a)2+(l-a)2=a；即才"6a拈旬,解得a=l或a=5,所以圆心的坐标为(1,1)或⑸5),所以圆心到直线2x-y-

34)的距离为给吗差或勒马书,故选B.

6.C【考查目标】本题主要考查等比数列的定义、通项公式及前〃项和公式，考查的核心素养是逻辑推

理、数学运算.

【解析】令片1,则由a*=a&得a*a\a",即皿二国之,所以数列｛&｝是首项为2、公比为2的等比数列，

an

所以a;所以廿aKa+az”•%。)X(2W-1)=2,5-25=25X(2,0-l),解得

1—2

故选c.

7.A【考查目标】本题主要考查空间几何体的三视图，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象.

【解析】由三视图知，该几何体是由两个长方体组合而成的,其直观图如图所示，由图知该端点在侧视图

中对应的点为笈故选A.

8.B【考查目标】本题主要考查双曲线的几何性质、基本不等式，考查的核心素养是逻辑推理、直观想

象、数学运算.

【解析】由题意知双曲线的渐近线方程为y-±-x.因为D,£分别为直线x=a与双曲线C的两条渐近线的

a

交点，所以不妨设〃(a,t>),£(a,-6),所以S^m^XaXiDE《XaX2b=abg所以c'a"?22a6=16,所以c》

4,所以2c28,所以。的焦距的最小值为8,故选B.

9.D【考查目标】本题主要考查函数的奇偶性与单调性，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.

【解题思路】首先确定函数f(x)的定义域,并判断函数/U)的奇偶性,然后针对选项给出的区间化简函

数解析式,最后根据对数函数的单调性与复合函数的单调性判断函数f(x)的单调性.

【解析】由「无:二:。得函数Ax)的定义域为(-RT)uT，；)U(i+8),其关于原点对称，因为/(-

(ZX-l^U,2222

*)=ln/2(-x)+l/Tn/2(-x)T/=ln/2xT/Tn/2x+l/=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,排除A,C.当xC(-|,|)

时，f(x)=ln(2x+l)Tn(l-2x),易知函数f(x)单调递增,排除B.当xd(-，1)吐fj)=ln(-2*T)-ln(l-

易知函数/Xx)单调递减,故选D.

2X-12X-1

【解题关键】解答本题的关键点：(1)判断函数的奇偶性通常利用定义，但必须要先判断函数的定义域是

否关于原点对称；(2)确定函数的单调性时,要注意化简函数的解析式,并利用复合函数的单调性进行判断.

10.C【考查目标】本题主要考查球的表面积、球心到截面的距离，考查的核心素养是直观想象、逻辑

推理、数学运算.

【解题思路】首先根据等边三角形的面积公式求得边长AB,并求得△/以外接圆的半径r,然后根据球的

表面积求得球的半径其最后利用球的截面的性质求得球心到平面的距离.

【解析】由等边三角形4比'的面积为见I得立命方,得48=3,则的外接圆半径r上乂乌4比咚俗=万.

444323

设球的半径为R,则由球的表面积为16口，得4n〃=16n,得必2,则球心。到平面的距离庐尹=1,

故选C.

【拓展结论】(1)若等边三角形/窈的边长为a,则△/8C的面积为f，；(2)球的截面的性质:若球的半径

为R,截面圆的半径为r,则球心到截面的距离八环Z

11.A【考查目标】本题主要考查函数的单调性，考查的核心素养是逻辑推理、数学建模、数学运算.

【思维导图】

2J2B-3一型2,-(/出电f(x)之飞)必幽里/U)单调递增一”的大小关系一片*+1乂

对数函数的性质

【解析】由2'-2'<3"3-',得23r<2'-3;即2'-9设/(%)之'-(9；则f(x)<f(y).因为函数产2'

在R上为增函数，尸-g)'在R上为增函数,所以f(x)至-(>在R上为增函数，则由/U)</(/),得xO,所以

y-xX),所以y-x+\>\,所以ln(y-x+l)X,故选A.

【解题关键】解答本题的关键点：(1)对于结构相同(相似)的不等式,通常考虑变形,构造函数；(2)利用指

数函数与对数函数的单调性得到x,y的大小关系及ln(y-x+l)的符号.

12.C【考查目标】本题主要考查新定义、周期序列，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.

【思维导图】

新定义周期序列_%az+aza3+a3a-1

z-/o\J21a3+Q2a4+03的+04a6+。5。72不满足

g工D新定义周期序列3丁年口

对于B»C(1)[一不)两足。(4)

对于C新定如期序”c⑴q,以2)4C(3)R,(7(4)3一满足ak).

对于口新定如期序列》c⑴2一不满足C(k)W

【解析】对于A,因为C(D-1X1+1XO+°^1+1XO+OX14C(2)^lx0+lxl+0^0+lxl+0xl4不满足以A)故A不

正确;对于B,因为C(l)^lxl+lx0+0^1+lxl+lxl4不满足C(k)〈泉故B不正确;对于C,因为

八,八1X04-0X0+0X0+0X1+1X11Zc、1x0+0x04-0x1+0x1+1x00⑶_ixo+oxi+oxi+oxo+ixo

Cd)二-------------------；-------------------WC(2)-4),(7(4)=

555

1X1+OX1+OXO+OXO+1XO^满足以公0故C正确;对于D,因为。⑴」xl+lx0+0:+0xl+lxiq,不满足以公.

故D不正确.综上所述，故选C.

【解题关键】解答本题的关键点：(1)理解周期序列的定义,正确写出各选项中的序列；(2)根据所给公式

正确求出C⑴，C⑵，以3),。⑷的值,从而作出判断.

13.学【考查目标】本题主要考查向量的数量积，考查的核心素养是数学运算.

【解析】由题意，得a•6=/a/•/b/cos45。因为向量Aa-b与a垂直，所以(Aa-6)•。=后-^•6=4-

4码解得A

14.36【考查目标】本题主要考查分步计数原理、排列组合的实际应用，考查的核心素养是逻辑推理、

数学建模、数学运算.

【解析】由题意,分两步进行安排,第一步,将4名同学分成3组,其中1组2人,其余2组各1人,有鬣的

种安排方法;第二步,将分好的3组安排到对应的3个小区,有Ag=6种安排方法,所以不同的安排方法有6X

6=36(种).

15.2V3【考查目标】本题主要考查复数的模，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.

【解析】解法一设(xi,yiGR),诙=质小i(&姓WR),则由/©/二怎/之,得好因为

Z13玄i=乃+i,所以

1z\+zz『Ax'+xT+<y\+y32M人母镑也汨兹我力先丁企汨兹攵耳乃=(四)泊,工所以2小热f2必理二-4,所以

)

/zi-z2!=/x\-X2Ky\-J2)i/、/(%I-%22+(%・乃)2二/好+*+据+光・2%62・2%9248+4之百.

解法二设(a,b£R),则劭二百i,则:噎°::2即，°十"一?所以

22

t|z2|=(y/3-a)+(1-b)=4,(V3a+b=2,

Iz「zj二Qa心+(2b7y工炫+於Y(遮a+A)网刊X4YX2刊=12,所以/©-勿/之百.

解法三题设可等价转化为向量a,b满足/a/=/b/N,a+6=（遮,1）,求/a-4因为（a物二9-犷之乃/*"/2,

所以4+（己-。）2=16,所以2V即,z1-Z2/之百.

解法四设z、“z$+i,则Z在复平面上对应的点为八倍,1）,所以/z产Z2/=/Z/N由平行四边形法则知

曲外是边长为2,一条对角线也为2的菱形,则另一条对角线的长为/z「Z2/=2X当X2=2次.

16.①③④【考查目标】本题主要考查复合命题真假的判断、空间直线与平面的位置关系，考查的核心

素养是逻辑推理、直观想象.

【思维导图】

对于PC＞设出三条直线给/2,4两两分别相交于点儿AC—、，

4确定一个平面a生?*然12,4共面于o是真命题——

对于分两种情况广三点不共线T有且仅有一个平面卜P,是假命题-

"L►三点共线r有无数个平面------

对于根据空间两条直线的位置关系r两条直线也

,%可能异面------►P）是假命题一

对于〃,里直曳法也是真命题

【解析】解法一对于必，由题意设直线/mAwUzCA包/m/3=c则由知上，心共面,设此平

面为。，由beA,Aua,知a,由CGh,Aua,知CGa,所以hua,所以7b12,2）共面于a,所以口是

真命题.对于当A,B,C三点不共线时,过4瓦。三点有且仅有一个平面；当4氏C三点共线时,过46,C

的平面有无数个,所以.是假命题，M是真命题.对于出,若空间两条直线不相交,则这两条直线可能平行，

也可能异面,所以外是假命题，无是真命题.对于R,若直线lu平面。，直线〃江平面a,则mil,所以口是

真命题，不是假命题.故为真命题，"八R为假命题，下V》为真命题，MV为真命题.综上可知，真

命题的序号是⑷

解法二对于pi,由题意设直线7iDI-i=A,12cls=B,ZDh=C,则A,B,C三点不共线,所以此三点确定一个平面

a,则4ca,BGa,ga,所以ABCLa,BCUa,Oua,即/ua,hua,73ca,所以n是真命题.以下同

解法一.

【易错警示】解答本题时,需注意以下易错点：（1）判断命题R时,忽视三点在同一条直线上的情况,从而

误认为R为真命题；（2）判断命题R时，易受同一平面内的影响,误认为两条直线不是相交就是平行,从而误

认为R为真命题.

17.【考查目标】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.

【解题思路】(1)首先根据正弦定理及已知条件得BCi-Ad-A^=AC-AB,然后结合余弦定理求出cosA的

值,从而求得角A-,(2)首先利用正弦定理及已知条件表示出AC,AB,然后用角6的三角函数表示出兆的周

长,再利用两角和的正弦公式化简,最后由正弦函数的性质求出最大值.

解：⑴由正弦定理和己知条件得BC-Ae-A&=AC-AB.①

由余弦定理得初刃-打4-2/C•/氏os4②

由。②Mcos[=]因为,所以

(2)由正弦定理及(1)得2s若之百,从而

sinBsinCsin/1

402遮sin6,46=2Wsin(Jt-A-B)^cos2?-V3sinB.

故BC+AC+AB专电sin8+3cos8=3+26sin(5，).

又01《所以当8』时,比1周长取得最大值32/1

【方法点拨】求三角形周长的最大值是一种常见题型,常用的解法有两种:一是找到边之间的关系,利用

基本不等式求最值;二是将周长表示为关于某个内角的函数，利用三角函数的图象与性质求最值.

18.【考查目标】本题主要考查用样本估计总体、抽样方法的选择、相关系数的计算，考查的核心素养是

逻辑推理、数学建模、数学运算、数据分析.

【解题思路】(1)首先求出样区这种野生动物数量的平均数,然后对该地区这种野生动物的数量进行估

计；(2)利用公式直接求解即可；(3)根据总体个数的多少、个体的差异是否较大及所学知识选择合理的抽样

方法.

20

解：(1)由已知得样本平均数歹噂£y,W0,从而该地区这种野生动物数量的估计值为60X200=12000.

20i=l

(2)样本3,%)(41,2,…,20)的相关系数

20

三⑺团(y㈤80020八球

「1一1二一—=0.94.

(2020,80X90003

工(X㈤2工(y..y)2

Ji=li=i

(3)分层抽样:根据植物覆盖面积的大小对地块分层,再对200个地块进行分层抽样.

理由如下：由(2)知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关.由于各地块间植物覆盖面

积差异很大，从而各地块间这种野生动物数量差异也很大,采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总

体结构的一致性,提高了样本的代表性,从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计.

19.【考查目标】本题主要考查椭圆与抛物线的标准方程与几何性质、抛物线的定义，考查的核心素养是

逻辑推理、直观想象、数学运算.

【解题思路】（1）首先根据题意设G的方程为/Ncx,然后由/与/或/的关系得关于a",c的方程,结

合d=S-lJ,得到关于a,c的方程,即可求得结果；（2）首先用c分别表示出a,b,从而用c表示出椭圆的标准

方程,设必施,H）,得看苧=1,然后结合抛物线的定义求得c的值,即可求出G,G的标准方程.

4C，3c

解：（1）由已知可设G的方程为y^cx,其中庐

不妨设4c在第一象限，由题设得46的纵坐标分别为纥4;C〃的纵坐标分别为2c,-2G故

aa

[AB]今,ICDRc.

由ICDl^lABl得4c年,即3X土壬-2（-）2.解得£=-2（舍去），话.

33aaaaa2

所以G的离心率为今

（2）由（1）知a3G故C\•，7~2

4c23c2

设M（xo,yo）,则段嚷二1，yl力。照，故段号^二L①

由于C的准线为XF所以/肺/二施乜而/好”5,故刖节-C,代入©导锣誓以1,即C2-2C-34）,解得k

4c23c

1（舍去），eV.

22

所以G的标准方程为¥£=1,G的标准方程为7=12%.

3627

【方法点拨】离心率的求解在圆锥曲线问题中是考查的重点，也是难点,求离心率一般有以下两种方法：

。直接求出a,c,进而求出e：②构造关于a,c的齐次式,求出e.

20.【考查目标】本题主要考查空间中直线、平面的位置关系及直线与平面所成的角，考查的核心素养是

逻辑推理、直观想象、数学运算.

【解题思路】（1）首先利用矩形的性质及棱柱的性质证得AAJ/MN,然后通过证明6C垂直平面44AV内的

两条相交直线,证得8c平面AM从而证得面面垂直；（2）先以材为坐标原点，加的方向为x轴正方

向，丽/为单位长,建立空间直角坐标系,再求出直线8遂的方向向量与平面/4A部的法向量,最后利用夹角

的余弦公式求解即可.

解：⑴因为M,N分别为BC,台G的中点，所以MN//CG.又由已知得AA//CG,故AAJ/MN.

因为△/山G是正三角形,所以84,4成又5GL妣故平面A^AMN.

所以平面44匹L平面EBCF.

0

(2)由已知得AMVBC.以材为坐标原点,近?的方向为x轴正方向，/丽/为单位长,建立如图所示的空间直角

坐标系M-xyz,则AB2J.I/W3.

连接NP,则四边形40快为平行四边形,故掰考,E手0).由⑴知平面44阶。平面ABC.作NQLAM,垂

足为Q,则MU•平面ABC.

2Z

设0(a,0,0),则NQ=J4-(停-a)2,R(a,1,J4-(当-a)2),故B1E=(当-a,J-J4—(^--a)),BrE.~^°.

又27-(0,-1,0)是平面44邮的法向量,故

sin(--71,电)气os〃,Bc^―—

11

2'1/|n|•\BXE\10

所以直线8历与平面44胧所成角的正弦值为唱.

【方法点拨】利用空间向量法解答立体几何问题的一般步骤：(1)观察图形,建立恰当的空间直角坐标

系；(2)写出相关点的坐标,求出相应直线的方向向量；(3)设出相应平面的法向量,利用两直线垂直,方向向

量的数量积为零列出方程组求出法向量；(4)将空间位置关系转化为向量的位置关系；(5)求出相应的角和距

离.

21.【考查目标】本题主要考查函数的单调性、导数的应用、三角恒等变换、不等式的证明，考查的核心

素养是逻辑推理、直观想象、数学运算.

【思维导图】

(l)F(x)»f(x)---------(x)Nsinxsin3才---------------＞单倜性

(2)的单调性一*F(x)的最值一不等式得证

3-绵

(3)利用等价转化一^(sin'xsin'Zx…sin22"x”=/sinx〃/'(x)f(2x)…f(2'i)〃sin，2"x/(2)的结论结论

解：⑴F'3气osx(sinxsin2x)+sinx(sinxsin2A)’

Nsinxcosxsin2x+2sin，cos2x

Nsinxsin3x.

当XG