直线、平面垂直关系的判定与性质

路漫漫其修远兮，吾将上下而求索-路漫漫其修远兮，吾将上下而求索-百度文库1111115节直线、平面垂直关系的判定与性质一、直线与平面垂直1.直线与平面垂直的定义2.直线与平面垂直的判定定理文字语言图形语言ab符号语言2.直线与平面垂直的判定定理文字语言图形语言ab符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直abOl⊥lalbα3.直线与平面垂直的性质定理文字语言图形语言3.直线与平面垂直的性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行⇒a∥bl、m、nm、nα内,则“l⊥α”是“l⊥m的(A)(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析:l⊥α⇒l⊥m,l⊥n,反之因为m、n不一定相交,故l⊥m且l⊥n不一定推出l⊥α.故选A.m、n,α、β(B)(Am⊥α,n⊥αm⊥n(Bm∥n,m⊥αn⊥α(Cm⊥β,α⊥βm⊥α(D)若α∩β=m,m⊥n,解析:由m⊥α,n⊥α可得m∥n,故A错;B.平行线中一条垂直平面,另一条必垂直平面,所以正确;C中,由m⊥β,α⊥β,则有m∥α或m⊂α,故C错.D选项n与α的关系不确定,路漫漫其修远兮，吾将上下而求索-路漫漫其修远兮，吾将上下而求索-百度文库222222故选B.平面垂直”是真命题吗?其逆命题呢?(不是、是)二、直线与平面所成的角定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角平面所成的角.如图,∠PAOAPα所成的角.线面角θ

2 质疑探究:(1)直线与平面所成的角为α,与该平面内的直线所成的角为β,则α与β的关系如何?(2)直线与平面平行(垂直)时所成角等于多少?提示:(1)α≤β.(2)0(2)02. (1)二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱.两个半平面叫做二面角的面.如图,记作:二面角αlβ或二面角αABβPAB(2)二面角的平面角在二面角αlβ的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作lOAOB,OAOBAOB2.平面与平面垂直定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角平面互相垂直.平面与平面垂直的判定定理.文字语言文字语言图形语言符号语言路漫漫其修远兮，吾将上下而求索-路漫漫其修远兮，吾将上下而求索-百度文库333333判定定理判定定理一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直llα⊥β(3)平面与平面垂直的性质定理.文字语言图形语言(3)平面与平面垂直的性质定理.文字语言图形语言符号语言 性质定理直于交线的直线与另一个平面垂直alla⊥αl如图,AB是☉O的直径,PA垂直于☉O所在的平面,C是圆周上不同于A,B的意一点,则图中互相垂直的平面共有( B)(A)4(B)3(C)2(D)1解析:∵PA⊥平面ABC,∴平面PAB⊥平面ABC,平面PAC⊥平面ABC,又AB是☉O的直径,∴BC⊥AC,又PA⊥BC,PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC,故平面PBC⊥平面PAC,共3对,故选B.直吗?(垂直)吗?(不一定)如果两个平面都和第三个平面垂直,那么这两个平面平行吗?(不一定,可能平行也可能相交)一．与垂直相关命题的判定路漫漫其修远兮，吾将上下而求索-路漫漫其修远兮，吾将上下而求索-百度文库4444441】m、n,α、β、γ中,①若m⊥α,n∥α,则m⊥n;②若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β;③若m⊥α,n⊥α,m⊥n;④若α∥β,β∥γ,m⊥α,则m⊥γ.正确的命题是( (A)①③ (B)②③(C)①④ (D)②④解析:①显然正确;对于②,若α⊥γ,β⊥γ,则α与β也可能相交,故②错误;对于③,若m⊥α,n⊥α,则m∥n,故③错误;④显然正确.故选C.变式训练11:给出下列命题:在空间里,垂直于同一平面的两个平面平行;l,m,αl⊥α,l∥m,m⊥α;已知α,β表示两个不同平面,mα内的一条直线,则“α⊥β”是“m⊥β”的充要条件;a,b,PPa,b与另一个平行.其中正确命题的个数是( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:(1.(2.(3)“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件,命题错误.(4a,ba、ba⊥bB.二．直线与平面垂直的判定及其性质2如图所示,P△ABC,PAABC,∠ABC=90°,AE⊥PBE,AF⊥PCF.求证:(1)BC⊥(2)AE⊥平面PBC;(3)PC⊥EF.证明:(1)∵PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,∴PA⊥BC.∵AB⊥BC,AB∩PA=A,∴BC⊥平面PAB.∵BCPAB,AE⊂PAB,∴BC⊥AE.∵PB⊥AE,BC∩PB=B,路漫漫其修远兮，吾将上下而求索-路漫漫其修远兮，吾将上下而求索-百度文库555555∴AE⊥平面PBC.∵AEPBC,PC⊂PBC,∴AE⊥PC,∵AF⊥PC,AE∩AF=A,∴PCAEF.EF⊂∴PC⊥EF.变式训练21:如图,在正方体ABCDABCD,M,N,P,OA

的中点.求证:

111111MNP∥ACB;11MOACB.11证明:(1DC,1MNDDC11所以MN∥DC.DC∥A111 11MN∥AMP∥C1MNMP,MN、MP⊂MNP,1AB、BC⊂ACB.1 1 11MNPACB.11(2)法一CMAM,a,1 1ABCDABCDCM=A

11111 111OAC11ACMO.11BOBM,OB=OB=62a,MO=32a,BM=a,OB2+MO2=MB2,BO⊥MO.AC,BO⊂ACB,ACBO=O,11 11 11MOACB.11法二AB,BD,BD1 1 11OBD1111ADABBA11111AB⊂ABBA111AD⊥AB.1AB⊥AB,ADABABD1 1 1 1ABABD,1 1BD⊂ABD,1 1路漫漫其修远兮，吾将上下而求索-路漫漫其修远兮，吾将上下而求索-百度文库666666AB⊥BD.1 111同理,BCBD.11ABBCA

内两条相交直线,1 1 1 1BDABC1 1 1OMDBD11OM∥BD.1OMABC1 1三．平面与平面垂直的判定及其性质3】(高考新课标全国卷)ABCAB

中,侧棱垂直底面,∠ACB=90°,AC=BC=AA∠ACB=90°,AC=BC=AA,1D是棱AA的中点.1BDCBDC;1BDC1证明:BC⊥CC,BC⊥AC,CC1

∩AC=C,1BCACCA11DC⊂ACCADCBC.1 11 1由题设知∠ADCADC=45°,1 111所以∠CDC=90DCDC.11又DC∩BC=C,所以DC⊥平面BDC,1DC⊂BDCBDCBDC.1 1 1解:BDACCV,AC=1,VV=×1131 2×1×1=.12ABCABCV=1,111的平面互相垂直,EC⊥AC,EF∥AC,AB=,EF=EC=1.变式训练31:在如图所示的多面体中,已知正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直,EC⊥AC,EF∥AC,AB=,EF=EC=1.所以(V-V)∶V=1∶1.1BDC1

1分此棱柱所得两部分体积求证:EC⊥BD;BEF⊥DEF.证明:(1ACEFABCD,EC⊥AC,ACEFABCD=AC,∴ECABCD.∵BD⊂ABCD,∴EC⊥BD.正方形ABCD的边长为,(2BDACOFO.正方形ABCD的边长为,路漫漫其修远兮，吾将上下而求索-路漫漫其修远兮，吾将上下而求索-百度文库777777∴AC=BD=2.在直角梯形ACEF中,EF=EC=1,OACFO∥ECFO=1.易求得DF=BF=,DE=BE=,由勾股定理知DF⊥EF,易求得DF=BF=,DE=BE=,由BF=DF=,BD=2可知DF⊥BF.∵EF∩BF=F,由BF=DF=,BD=2可知DF⊥BF.∴DF⊥平面BEF.∴平面BEF⊥平面DEF.【例题】ABCDABC

中,E、FCD、A

的中点.1111 11求证:AB⊥BF;1求证:AE⊥BF;CCP,BF⊥AEP?P1说明理由.证明:AB,1ABAB,1 1ABAF,1 1AB∩AF=A1 1 1∴ABABF,1 1BF⊂ABF,11∴AB⊥BF.1证明:ADFG、BG,则FG⊥AE,∵易知△BAG≌△ADE,∴∠ABG=∠DAE.∴AE⊥BG.又∵BG∩FG=G,∴AEBFG.BF⊂∴AE⊥BF.1解:CCEP、AP、C11

中点P,即为所求.111∵EP∥CD,CD∥AB,111∴EP∥AB.1由(1)知AB⊥BF,1∴BF⊥EP.又由(2AE∩EP=E,∴BF⊥平面AEP.路漫漫其修远兮，吾将上下而求索-路漫漫其修远兮，吾将上下而求索-百度文库8888881..如图,四棱锥PABCD,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,点ECE∥AB.(1)求证:CE⊥平面PAD;(2)若PA=AB=1,AD=3,CD=,∠CDA=45°,求四棱锥PABCD的体积.(1)证明:PAABCD,CE⊂PA⊥CE.(2)若PA=AB=1,AD=3,CD=,∠CDA=45°,求四棱锥PABCD的体积.因为AB⊥AD,CE∥AB,所以CE⊥AD.PA∩AD=ACE(2)由(1CE⊥AD.Rt△ECD,DE=CD·cos45°=1,CE=CD·sin45°=1.又因为AB=CE=1,AB∥CE,所以四边形ABCE为矩形.所以S

=S=AB·AE+CE·DE四边形ABCD=AB·AE+CE·DE

+S△ECD=1×2+×1×1=,又PA⊥平面ABCD,PA=1,所以V=1×2+×1×1=,又PA⊥平面ABCD,PA=1,

四棱锥-PABCD==S ·PA=××1=5.四边形ABCD 6若n是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )若若n与、ABCD，当直线mn平行时，直线n与两平面α、β所成的角也相等，均为0°，故D不正确．答案D设a，b为两条直线，α，β为两个平面，则下列结论成立的是( A．若a⊂α，b⊂β，且a∥b，则α∥β路漫漫其修远兮，吾将上下而求索-路漫漫其修远兮，吾将上下而求索-百度文库999999a⊂α，b⊂β，a⊥b，则α⊥βa∥α，b⊂α，a∥ba⊥α，b⊥α，a∥b解析分别在两个相交平面内且和交线平行的两条直线也是平行线，故选项BCDD.设l是直线，a，β是两个不同的平面（）若l∥a，l∥β，则a∥β B.若l∥a，l⊥β，则a⊥βC.若a⊥β，l⊥a，则l⊥β D.若a⊥β,l∥a，则l⊥β答案B为两个不同的平面，下列四个命题：其中正确的命题是 (填上所有正确命题的序号)．解析②若m∥α，n∥β，m⊥n