2018年数学热门考点与解题技巧考点4平面向量

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE21-学必求其心得，业必贵于专精考点4平面向量热门题型题型1平面向量的概念及线性表示题型2平面向量基本定理及坐标运算题型3平面向量的数量积题型4平面向量的平行与垂直题型1平面向量的概念及线性表示例1在△ABC中,，若点D满足则=（）A.B。C。D。解析：解法1：=.故选A.【解题技巧】用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：（1）①观察各向量的位置;②利用回路法,寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．（2）也可以利用定比分点,若则。变式1.(2015全国1理7）设为所在平面内一点，，则（）。A．B．C．D．解析由题可得，所以，所以．故选A．变式2.如图5-10所示，在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若,其中，则。解法2：特殊化思想。如图，把此平行四边形特殊为正方形，并把点A置于原点，且各边边长为1.则各点坐标为B(1，0），C(1，1)，D（0，1），E（，1），F(1,)，，可得得所以,故。变式3。在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F，若，，则=（）分析结合题意，利用向量的几何表示画出草图,如图5—46所示解法2:特殊化思想。如图所示，由，由，得故题型2平面向量基本定理及坐标运算例2如图所示，在平行四边形ABCD中，M和N分别为DC和BC的中点，已知，,试用，表示和.分析本题若直接用，表示，.有一定的困难，可转化一下角度,用，作为平面的一组基底，表示出，，进而求出，。解析因为M和N分别为DC和BC的中点，所以，，于是有。解得，即，.【解题技巧】注意转化思想在本题中的应用，通过本题可以发现，只要是平面内不共线的两个向量都可以作为一组基底,而恰当地选取平面的一组基底，往往可以提高解题效率.变式1．如图所示，|eq\o（OA，\s\up11(→））|＝|eq\o(OB，\s\up11（→））|＝1，|eq\o（OC,\s\up11(→)）|＝eq\r(3），∠AOB＝60°，eq\o（OB,\s\up11（→））⊥eq\o(OC,\s\up11(→））,设eq\o（OC,\s\up11(→）)＝xeq\o(OA，\s\up11（→）)＋yeq\o（OB,\s\up11（→)）.求实数x，y的值．例3点P在AB上，求证：且（，O是AB外一点）.分析如图5-13所示，由于点P在AB上,可知与共线，设=，可利用以点O为起点的向量进行转化。解析因为P在AB上，所以与共线，所以=，故，所以，令,，则且（）.【解题技巧】三点共线定理：A，B,P三点共线的充要条件是：存在实数，使,其中，O为AB外一点。变式1。在△ABC中，eq\o(AD,\s\up11（→)）＝2eq\o（DB，\s\up11(→）),eq\o（CD,\s\up11(→)）＝eq\f（1,3）eq\o(CA,\s\up11(→)）＋λeq\o（CB，\s\up11（→）），则λ＝________．变式2。如图所示，在△ABC中，eq\o（AN，\s\up11（→)）＝eq\f（1,3）eq\o（AC,\s\up11(→）），P是BN上的一点，若eq\o（AP,\s\up11（→)）＝meq\o(AB，\s\up11（→)）＋eq\f（2，11）eq\o(AC，\s\up11（→）)，则实数m的值为________．【解析】注意到N，P，B三点共线，因此有eq\o(AP,\s\up11(→))＝meq\o(AB，\s\up11(→）)＋eq\f(2,11）eq\o（AC,\s\up11（→）)＝meq\o（AB,\s\up11（→）)＋eq\f（6，11)eq\o（AN,\s\up11(→）），从而m＋eq\f（6，11)＝1⇒m＝eq\f（5,11).题型3平面向量的数量积例4（2017全国1理13）13。已知向量,的夹角为,,，则。解析，所以.【解题技巧】理解掌握向量数量积的几何意义，，.变式1.（2016全国丙理3）已知向量，，则（）A.B。C.D.解析由。又，所以.故选A。变式2。(2016全国甲理3）已知向量，,且,则（）.A。 B。 C。6 D。8解析因为，且，所以，解得.故选D．变式3.(2017山东理12）已知是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值是.题型4平面向量的平行与垂直例5．(1）（2015全国2理13）设向量不平行，向量与平行，则实数．(2)（2016山东理8）已知非零向量,满足，。若，则实数的值为（）。A．B．C．D．–解析：（1）根据向量平行的条件，因为向量与平行，所以，则有解得，所以．（2)解析因为,由，所以，即，所以-4.故选B.【高考真题链接】1。（2016北京理4）设是向量，则“”是“”的（).A.充分而不必要条件B。必要而不充分条件C.充分必要条件D。既不充分也不必要条件2。（2017全国3理12）在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上．若,则的最大值为（).A．3 B． C. D．23。解析解法一:由题意，作出图像，如图所示．设与切于点，联结．以点为坐标原点，为轴正半轴,为轴正半轴建立直角坐标系,则点坐标为．因为，．所以．因为切于点．所以⊥．所以是斜边上的高．，即的半径为．因为点在上．所以点的轨迹方程为．设点的坐标为，可以设出点坐标满足的参数方程,而，，．两式相加得(其中，）,当且仅当,时，取得最大值为3．故选A.解法二：如图所示，考虑向量线性分解的等系数和线，可得的最大值为3。3.（2017浙江理15）已知向量,满足，，则的最小值是,最大值是.解析解法一：如图所示，和是以为邻边的平行四边形的两条对角线，则，是以为圆心的单位圆上的一动点,构造2个全等的平行四边形，平行四边形．所以．易知当,B，C三点共线时，最小,此时；当时，最大，此时．解法二：4．（2015北京理13）在中，点，满足，.若，则；。解析在中，点满足，点满足，则，因此,.5.（2017江苏12）如图所示，在同一个平面内，向量，,的模分别为，，，与的夹角为，且,与的夹角为．若，则．将（＊）式化简为式①加式②，得．故填．解法二（坐标法)：如图所示，以所在的直线为轴，过且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，由题意结合解法一可得，，，由，得,即,解得，故．故填．解法三(解三角形)：由，可得，,如图所示，根据向量的分解，易得，即,即，解得，所以．6．(2015年江苏6）已知向量，，若，则的值为．评注也可以将用与线性表示，如：．7。（2017江苏13）在平面直角坐标系中,点,，点在圆上．若，则点的横坐标的取值范围是．解析不妨设，则，且易知．因为，故．所以点在圆上,且在直线的左上方（含直线）.联立，得，,如图所示，结合图形知．故填．评注也可以理解为点在圆的内部来解决,与解析中的方法一致．8．（2015安徽理8）是边长为的等边三角形,已知向量,满足,,则下列结论正确的是（）。A．B．C．D．解法二：对于选项D，过点作于点，则点为的中点，所以．故选D．9．（2015福建理9）．已知，若点是所在平面内一点,且，则的最大值等于（）.A．13B．15C．19D．2110．(2015全国1理5)已知是双曲线上的一点，，是的两个焦点，若，则的取值范围是（）.A．B．C．D．解析由题可得，,且,即,所以，解得．故选A．11．(2015山东理4)已知菱形的边长为，，则(）。A． B． C． D．解析解法一:如图所示，在菱形中,，各边长均为，，，所以．故选D．解法二:由题可求得,与的夹角为，所以．故选D．12．(2015陕西理7）对任意向量，下列关系式中不恒成立的是(）．A．B．C．D．解法二：从几何上考虑.如图所示，由三角形两边之差小于第三边得,，B不正确.故选B。13．(2015四川理7）设四边形为平行四边形,，。若点满足，,则（）。A.B.C。D。解析，，所以。故选C。14．（2015重庆理6)若非零向量，满足，且，则与的夹角为（）.A。B.C.D.15．（2015年湖北理11）．已知向量,,则．解析因为，所以即,，故填9。16．（2015年广东理16）在平面直角坐标系中,已知向量,.若，求的值；若与的夹角为,求的值。解析（1）因为,，且，所以，所以,所以．（2）由（1）依题知，所以．又因为，所以，即．17.(2016天津理7)已知是边长为1的等边三角形,点，分别是边,的中点，连接并延长到点,使得,则的值为（)。A.B。C。D.解析由题意作图，如图所示。则.故选B.18。（2016全国乙理13）设向量，，且,则.解析因为,故，即.所以，得。19。(2016上海理12）在平面直角坐标系中，已知，，是曲线上一个动点，则的取值范围是．20。（2016江苏13）如图所示,在中，是的中点，是上两个三等分点，,，则的值是．解法二（建系法）：可以考虑以为原点,所在直线为轴，的中垂线为轴建立如图所示的平面直角坐标系,不妨设，,则，，．则，，,,，,由题意，,因此，.故．21。（2017天津理13)在中,,，。若，，且，则的值为___________.解析解法一：如图所示，以向量，为平面向量的基底，则依题意可得.又因为,则，则，解得。22。（2017北京理6)设，为非零向量，则“存在负数，使得”是“"的（）.A.充分而不必要条件 B。必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件解析若，使，即两向量方向相反，夹角为，则.若,也可能夹角为,方向并不一定相反,故不一定存在。故选A。23。（2017全国2理12）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（）。A.B。C.D。解析解法一（几何法）：如图所示,取的中点，联结,取的中点，由，则，当且仅当，即点与点重合时，取得最小值为，故选B。24。(2017全国3理12）在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上．若，则的最大值为（）.A．3 B． C。 D．2解析解法一：由题意，作出图像，如图所示．设与