等差数列选择题专项突破训练-高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第四章4.2等差数列（选择题专项突破训练）选择性必修第二册高中数学同步专题1．已知等差数列{an}满足a3+a6+a8+a11＝12，则2a9﹣a11的值为（）A．﹣3 B．3 C．﹣12 D．122．等差数列{an}，{bn}前n项和分别为Sn与Tn，且（3n+2）Tn＝（2n+1）Sn，则＝（）A． B． C． D．3．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a3+S5＝18，a6＝a3+3，则数列{}的最大项为（）A． B． C． D．4．疫情防控期间，某单位把120个口罩全部分给5个人，使每人所得口罩个数成等差数列，且较大的三份之和是较小的两份之和的3倍，则最小一份的口罩个数为（）A．6 B．10 C．12 D．145．一百零八塔位于宁夏青铜峡市，是喇嘛式实心塔群（如图）．该塔群随山势凿石分阶而建，依山势自上而下，第一阶1座，第二阶3座，第三阶3座，第四阶5座，第五阶5座，从第五阶开始塔的数目构成一个首项为5，公差为2的等差数列，总计108座，故名一百零八塔．则该塔群最下面三阶的塔数之和为（）A．39 B．45 C．48 D．516．据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多n（n为常数）盏，底层的灯数是顶层的13倍，则塔的底层共有灯（）A．2盏 B．3盏 C．26盏 D．27盏7．《九章算术•均输》中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，乙所得为（）A．钱 B．钱 C．钱 D．钱8．已知等差数列{an}中，a5，a15是函数f（x）＝x2﹣3x﹣2的两个零点，则a3+a8+a12+a17＝（）A．2 B．3 C．4 D．69．若{an}是等差数列，且a2，a2022是方程x2﹣4x+3＝0的两个根，则2…×＝（）A．4046 B．4044 C．24046 D．2404410．已知数列{an2}为等差数列，且a1＝1，a3＝2，则a12+a22+…+a82＝（）A．81 B．72 C．64 D．5011．已知函数f（x）是定义在R上的单调增函数且为奇函数，数列{an}是等差数列，若前2022项和小于零，则f（a1）+f（a2）+⋯+f（a2022）的值（）A．恒为正数 B．恒为负数 C．恒为0 D．可正可负12．已知函数f（x）是定义在R上的单调递减函数，且f（x）为奇函数，数列{an}是等差数列，a158＞0，则f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a313）+f（a314）+f（a315）的值（）A．恒为负数 B．恒为正数 C．恒为0 D．可正可负13．已知数列{an}的各项为互异正数，且其倒数构成公差为3的等差数列，则＝（）A． B． C．3 D．614．已知等差数列{an}中，，则a2+a4的取值范围是（）A． B． C． D．15．设{an}是递减的等差数列，前三项的和是15，前三项的积是105，当该数列的前n项和最大时，n等于（）A．4 B．5 C．6 D．716．△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinA，2sinB，sinC成等差数列，且，则＝（）A． B． C．2 D．17．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5＜S6，S6＝S7，S7＞S8，则下列结论错误的是（）A．a6+a8＝0 B．S5＝S8 C．数列{an}是递减数列 D．S13＞018．已知等差数列{an}，满足a2019+a2020＜0，a2019•a2020＜0，且数列{an}的前n项和Sn有最大值，那么Sn取最小正值时，n＝（）A．4037 B．4036 C．4035 D．403419．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若当且仅当n＝10或11时Sn取得最小值，则下列选项错误的是（）A．数列{an}的首项a1＜0 B．数列{an}的公差d＞0 C．存在k∈N*，使得Sk＝Sk+4 D．存在k∈N*，Sk＝S2k，使得a11是ak+1和a2k的等差中项20．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知，且a6a7＜0，则（）A．当n＝6时，Sn取最大值 B．当n＝7时，Sn取最大值 C．当m＝6时，Sn取最小值 D．当n＝7时，Sn取最小值21．已知等差数列{an}的公差为﹣2，前n项和为Sn，a3，a4，a5为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为120°，若Sn≤Sm对任意的n∈N*恒成立，则实数m＝（）A．7 B．6 C．5 D．422．已知数列{an}是正项等差数列，在△ABC中，＝t（t∈R），若＝a3+a5，则a3a5的最大值为（）A．1 B． C． D．23．已知数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，数列{bn}满足关系：，数列{bn}的前n项和为Sn，则S5的值为（）A．454 B．450 C．446 D．44224．等差数列{an}的首项为2，公差d≠0，前n项和为Sn，若是非零常数，则＝（）A． B． C． D．225．已知数列{an}为等差数列，且a8＝1，则2|a9|+|a10|的最小值为（）A．3 B．2 C．1 D．026．已知a＞0，b＞0，并且，，成等差数列，则a+9b的最小值为（）A．16 B．9 C．5 D．427．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，am﹣1与am+1的等差中项的3倍等于am2，S2m﹣1＝57，其中m≥2，且m∈N*，则m＝（）A．8 B．9 C．10 D．1128．设Sn为等差数列{an}的前n项的和，a1＝﹣2017，﹣＝2，则a2017的值为（）A．﹣2015 B．﹣2017 C．2015 D．201729．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sk＝2，S3k＝18，则S4k＝（）A．24 B．28 C．32 D．5430．已知数列{an}的前n项和Sn＝an2+bn+c，则数列{an}是等差数列的充要条件为（）A．a≠0，c＝0 B．a＝0，c＝0 C．c＝0 D．c≠0

第四章4.2等差数列（选择题专项突破训练）参考答案与试题解析1．已知等差数列{an}满足a3+a6+a8+a11＝12，则2a9﹣a11的值为（）A．﹣3 B．3 C．﹣12 D．12解：∵a3+a6+a8+a11＝12，∴4a7＝12，解得a7＝3．设等差数列{an}的公差为d，则2a9﹣a11＝a7＝3．故选：B．2．等差数列{an}，{bn}前n项和分别为Sn与Tn，且（3n+2）Tn＝（2n+1）Sn，则＝（）A． B． C． D．解：因为等差数列{an}，{bn}前n项和分别为Sn与Tn，且（3n+2）Tn＝（2n+1）Sn，即＝，设Sn＝kn（3n+2），Tn＝kn（2n+1），b4＝T4﹣T3＝4k×9﹣3k×7＝15k，a7＝S7﹣S6＝7k×23﹣6k×20＝41k，所以，故选：A．3．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a3+S5＝18，a6＝a3+3，则数列{}的最大项为（）A． B． C． D．解：∵a3+S5＝a3+＝6a3＝18，∴a3＝3，又a6＝a3+3＝3+3＝6，∴a1＝1，d＝1，∴an＝＝，当n＝7，或n＝8时，数列{}取得最大项，且最大项为．故选：B．4．疫情防控期间，某单位把120个口罩全部分给5个人，使每人所得口罩个数成等差数列，且较大的三份之和是较小的两份之和的3倍，则最小一份的口罩个数为（）A．6 B．10 C．12 D．14解：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d＞0，由条件可知，，a3+a4+a5＝3（a1+a2），即3（a1+3d）＝3（2a1+d），即，解得a1＝12，d＝6，所以最小一份的口罩个数为12个．故选：C．5．一百零八塔位于宁夏青铜峡市，是喇嘛式实心塔群（如图）．该塔群随山势凿石分阶而建，依山势自上而下，第一阶1座，第二阶3座，第三阶3座，第四阶5座，第五阶5座，从第五阶开始塔的数目构成一个首项为5，公差为2的等差数列，总计108座，故名一百零八塔．则该塔群最下面三阶的塔数之和为（）A．39 B．45 C．48 D．51解：设该塔群共有n阶，自上而下每一阶的塔数所构成的数列为{an}，依题意可知a5，a6，•••，an成等差数列，且公差为2，a5＝5，∴1+3+3+5+5（n﹣4）+＝108，解得n＝12，∴该塔群最下面三阶的塔数之和为：a10+a11+a12＝3a11＝3（5+2×6）＝51．故选：D．6．据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多n（n为常数）盏，底层的灯数是顶层的13倍，则塔的底层共有灯（）A．2盏 B．3盏 C．26盏 D．27盏解：塔的每层的灯数形成等差数列{ak}，公差d＝n．由题意可得：126＝9a1+n，a9＝a1+8n＝13a1，联立解得：a1＝2，n＝3．∴塔的底层共有灯13×2＝26盏．故选：C．7．《九章算术•均输》中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，乙所得为（）A．钱 B．钱 C．钱 D．钱解：设等差数列的公差是d，首项为甲所得为a1，由题意可得，，即，解得，所以＝，即乙所得为钱，故选：B．8．已知等差数列{an}中，a5，a15是函数f（x）＝x2﹣3x﹣2的两个零点，则a3+a8+a12+a17＝（）A．2 B．3 C．4 D．6解：由题意知a5+a15＝3，又{an}是等差数列，所以a3+a8+a12+a17＝2（a5+a15）＝6．故选：D．9．若{an}是等差数列，且a2，a2022是方程x2﹣4x+3＝0的两个根，则2…×＝（）A．4046 B．4044 C．24046 D．24044解：∵a2，a2022是方程x2﹣4x+3＝0的两个根，∴a2+a2022＝4，又{an}是等差数列，∴a1+a2023＝a2+a2022＝•••＝2a1012，即a1012＝2，∴2×2×2ו••×2＝2＝2（1011×4+2）＝24046．故选：C．10．已知数列{an2}为等差数列，且a1＝1，a3＝2，则a12+a22+…+a82＝（）A．81 B．72 C．64 D．50解：设数列的公差为d，则由题意可得＝1，，即，则，故选：D．11．已知函数f（x）是定义在R上的单调增函数且为奇函数，数列{an}是等差数列，若前2022项和小于零，则f（a1）+f（a2）+⋯+f（a2022）的值（）A．恒为正数 B．恒为负数 C．恒为0 D．可正可负解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数且是单调增函数，∴f（0）＝0，且当x＞0，f（x）＞0；当x＜0，f（x）＜0．故若x+y＜0，即x＜﹣y，则f（x）＜f（﹣y）＝﹣f（y），即f（x）+f（y）＜0．∵数列{an}是等差数列，S2022＝＝1011×（a1+a2022）＝1011×（a1011+a1012）＜0，∴a1+a2022＝a2+a2021＝a3+a2020＝•••＝a1011+a1012＜0，∴f（a1）+f（a2022）＝f（a2）+f（a2021）＝f（a3）+f（a2020）＝•••＝f（a1011）+f（a1012）＜0，∴f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a2021）+f（a2022）＝[f（a1）+f（a2022）]+[f（a2）+f（a2021）]+[f（a3）+f（a2020）]+•••+[f（a1011）+f（a1012）]＜0，故选：B．12．已知函数f（x）是定义在R上的单调递减函数，且f（x）为奇函数，数列{an}是等差数列，a158＞0，则f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a313）+f（a314）+f（a315）的值（）A．恒为负数 B．恒为正数 C．恒为0 D．可正可负解：∵函数f（x）是R上的奇函数且是减函数，∴f（0）＝0，且当x＞0，f（x）＜0；当x＜0，f（x）＞0．∵数列{an}是等差数列，a158＞0，故f（a158）＜0．再根据a1+a315＝2a158＞0，∴f（a1）+f（a315）＜0．同理可得，f（a2）+f（a314）＜0，f（a3）+f（a313）＜0，…，∴f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a315）＜0，故选：A．13．已知数列{an}的各项为互异正数，且其倒数构成公差为3的等差数列，则＝（）A． B． C．3 D．6解：由题意，得﹣＝3（n≥2，n∈N*），则an﹣1﹣an＝3an﹣1an，即an﹣1an＝，所以＝＝3•＝3．故选：C．14．已知等差数列{an}中，，则a2+a4的取值范围是（）A． B． C． D．解：设等差数列{an}的公差为d，a6＝a1+5d，∵，∴a12+(a1+5d)2＝8，故令a1＝2cosθ，a1+5d＝2sinθ，则d＝（2sinθ﹣2cosθ）a2+a4＝2a1+4d＝4cosθ+(2sinθ﹣2cosθ)＝2(cosθ+sinθ)，且2•＝,故﹣≤a2+a4≤，故选：D．15．设{an}是递减的等差数列，前三项的和是15，前三项的积是105，当该数列的前n项和最大时，n等于（）A．4 B．5 C．6 D．7解：∵{an}是等差数列，且a1+a2+a3＝15，∴a2＝5．又∵a1•a2•a3＝105，∴a1a3＝21．由及{an}是递减数列，可求得a1＝7，d＝﹣2．∴an＝9﹣2n，由an≥0得n≤4故选：A．16．△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinA，2sinB，sinC成等差数列，且，则＝（）A． B． C．2 D．解：依题意，sinA，2sinB，sinC成等差数列，所以4b＝a+c，又，∴解得cosA＝，∴cosA＝＝，∵4b＝a+c，∴c＝4b﹣a，∴＝，化简得＝2．故选：C．17．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5＜S6，S6＝S7，S7＞S8，则下列结论错误的是（）A．a6+a8＝0 B．S5＝S8 C．数列{an}是递减数列 D．S13＞0解：由S6＝S7，则，即a1+6d＝a7＝0，又S5＜S6，S7＞S8，易知：d＜0，故数列{an}是递减数列，故C正确；根据a6+a8＝2a7＝0，A正确；，，则5a3﹣4a2＝a1+6d＝0，故S5＝S8，故B正确；再根据S13＝＝13a7＝0，故D错误，故选：D．18．已知等差数列{an}，满足a2019+a2020＜0，a2019•a2020＜0，且数列{an}的前n项和Sn有最大值，那么Sn取最小正值时，n＝（）A．4037 B．4036 C．4035 D．4034解：∵数列{an}的前n项和Sn有最大值，∴数列{an}为递减数列，又∵a2019+a2020＜0，a2019•a2020＜0，∴a2019＞0＞a2020，即该数列前2019项为正数，从第2020项开始为负数，由等差数列求和公式和性质可得S4037＝＝4037a2019＞0，S4038＝＝2019（a2020+a2019）＜0，∴当Sn取最小正值时，n＝4037．故选：A．19．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若当且仅当n＝10或11时Sn取得最小值，则下列选项错误的是（）A．数列{an}的首项a1＜0 B．数列{an}的公差d＞0 C．存在k∈N*，使得Sk＝Sk+4 D．存在k∈N*，Sk＝S2k，使得a11是ak+1和a2k的等差中项解：依题意，等差数列{an}的前n项和为Sn，当且仅当n＝10或11时Sn取得最小值，所以数列{an}为递增数列，即d＞0，且a1～a10为负项，a11＝0，故AB正确；对于C选项，Sk＝Sk+4，即ak+1+ak+2+ak+3+ak+4＝0，设等差数列{an}的公差为d，所以4a1+（4k+6）d＝0，又因为a11＝a1+10d＝0，所以4a1+40d＝0，故4k+6＝40，解得k不为整数，故C错误；对应D选项，Sk＝S2k，即S2k﹣Sk＝0，所以ak+1+a2k＝0，所以当k＝7时，ak+1+a2k＝0＝2a11，∴a11是ak+1和a2k的等差中项，故D正确；故选：C．20．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知，且a6a7＜0，则（）A．当n＝6时，Sn取最大值 B．当n＝7时，Sn取最大值 C．当m＝6时，Sn取最小值 D．当n＝7时，Sn取最小值解：依题意，数列{an}是等差数列，设首项为a1，公差为d．由等差数列的前n项和公式Sn＝na1+，所以＝+，即数列{}是以为公差的等差数列，因已知，所以数列{}是递减数列，所以＜0，所以d＜0．所以数列{an}为递减数列，又因为a6a7＜0，所以a6＞0，a7＜0，即数列前6项为正项，从第7项起为负项，所以前6项的和最大．故选：A．21．已知等差数列{an}的公差为﹣2，前n项和为Sn，a3，a4，a5为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为120°，若Sn≤Sm对任意的n∈N*恒成立，则实数m＝（）A．7 B．6 C．5 D．4解：等差数列{an}的公差为﹣2，a3，a4，a5为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为120°，∴＝﹣2a4•a5cos120°，∴＝++2a4，化为：﹣5a4＝0，a4≠0，解得a4＝5，∴a3＝7，a5＝3，a6＝1，a7＝﹣1．∵Sn≤Sm对任意的n∈N*恒成立，则实数m＝6．故选：B．22．已知数列{an}是正项等差数列，在△ABC中，＝t（t∈R），若＝a3+a5，则a3a5的最大值为（）A．1 B． C． D．解：∵＝t，故B，C，D三点共线，又∵＝a3+a5，∴a3+a5＝1，数列{an}是正项等差数列，故a3＞0，a5＞0∴1＝a3+a5≥2，解得：a3a5≤，故选：C．23．已知数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，数列{bn}满足关系：，数列{bn}的前n项和为Sn，则S5的值为（）A．454 B．450 C．446 D．442解：由题意可得：an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1．∵，∴n≥2时，……+＝1﹣，相减可得：＝，可得bn＝（2n﹣1）•2n．n＝1时，＝1﹣，可得b1＝2．则S5＝2+3×22+5×23+7×24+9×25＝454．故选：A．24．等差数列{an}的首项为2，公差d≠0，前n项和为Sn，若是非零常数，则＝（）A． B． C． D．2解：设Sn＝An2+Bn．∵n＝1时，2＝S1＝A+B，可得B＝2﹣A．∴Sn＝An2+（2﹣A）n．＝＝是非零常数，∴2﹣A＝0，解得A＝2．∴Sn＝2n2，∴n≥2时，an＝2n2﹣2（n﹣1）2＝4n﹣2．则＝＝．故选：B．25．已知数列{an}为等差数列，且a8＝1，则2|a9|+|a10|的最小值为（）A．3 B．2 C．1 D．0解：设等差数列{an}的公差为d，又a8＝1，∴a9＝d+1，a10＝2d+1，则2|a9|+|a10|＝2|d+1|+|2d+1|＝．作出分段函数f（d）＝|＝的图象如图，∴2|a9|+|a10|的最小值为1．故选：