研究生入学考试-高等代数2

研究生入学考试——高等代数2研究生入学考试——高等代数2研究生入学考试——高等代数25一(15'）求知足以下条件的X12101101X02135010102解；11252353110120111110212221021011011011210112101X102512135010110101030022141111222二（15‘）设P是一个数域，p（x)是P[x]中次数大于0的多项式，证明：假如关于任何多项式f(x),g(x),由p(x)|f(x)g(x)能够推出p(x)|f(x)或p(x)|g(x),那么p(x)是不行约多项式。证明：假定p(x)是可约多项式，则存在p1(x),p2(x)使得p(x)=p1(x)p2(x),且（pi(x))<(p(x)),i=1,2取f(x)=p1(x),g(x)=p2(x),所以f(x)g(x)=p(x)则p(x)|f(x)g(x)但p(x)不整除f(x)且不整除g(x)与题设矛盾！所以p(x)是不行约多项式-1-5三（’）设是数域上的维向量空间的一个线性变换，2，证明：25PnV（）1{（）V}（）10|（）V1(V)（）20(3)假如是V的线性变换，1=（），(V)都是的不变子空间，则有0证明：（1）V,则则（）1（）0又取12（）,( )01（）（）0{|

(（）)=( )-2( )( )-( )01{（）V}（）0|0,（）{（）V}|V}所以1（）V}（）0{|（）V,则（）1（）20=1（）+（）（）(V)0即V=任取

（0）(V)1（0）V，使得

，则( )=0( )进而()=2( )=（()）=( )=0所以1（）(V)={0}0所以V1(V)（）0（3）因为1（），(V)是的不变子空间01(V)，V，且=+（），0（）1，（（））=0，（（））=（）（），（）(V)0（）（（））=（（+））=（（）+（））=（（））=（）( )=0，( )=（）（（））=（（+））=（（）+( )）=（）进而（）=（）-2-5四（20）设是数域P上的向量空间V的一个线性变换，1是属于特点值的特点向量，向量组1，2，s知足关系（-E）i+1=i，i=1，2?s-1,此中E是恒等变换证明：1，2，?s线性没关证明：因为（-E）i+1=i所以（i+1）ii+1，i=1，2?s-1设k11+k22+?+ks0,即ski0sii1(k11+k22+?+kss)0k1(1)s1ki+1(i1)0,i=1，2?s-1i1s1s1k11ki+1iki+1i10i1i1ss1skiiki+1i因为kii00,i1i1i1s1ki+10i1iSo,k21+k32+?+ks-1s0(k21+k32+?+ks-1s)0重复上述过程可得k31+k42+?+ks-2s0持续重复上述过程，我们有ks1，因为明显不为，所以ks0010进而我们有k11+k22+?+ks-1s10再持续上边步骤，可得ks-110ks-10由概括法得k1k2?+ks0所以1，2，s线性没关-3-5五(20)用正交线性替代三元二次型f(x1,x2,x3)=x12-2x22-2x32-4x1x2+4x1x3+8x2x3为标准型,并给出所用的正交线性替代.122解:设A为二次型矩阵,A=224242令|EA|022即224(2)2(7)02421,22,3对应于1,2对应于3正交化

72的特点向量为7的特点向量为

1(0,1,1),2(2,0,1)3(1,2,2)令1(0,1,1)22(12)1(2,1,1)(1,1)223(1,2,2)021进而令C11221212200进而CAC020007令XCY则f(x1,x2,x3)=XAX=(CY)A(CY)Y'C'ACY2y122y227y32-4-5六(15)设A,B为两个n阶方阵,r(A)r(B)n1,此中n1齐次线性方程组AX=0与BX=0同解,证明:A*的非零列与B*的非零列的非零列成比率,此中A*,B*分别是A,B的陪伴矩阵.证明:sincer(A)r(B)n1so,r(A*)r(B*)1becauseAA,*AE0,BB*BE0A*的列向量是AX=0的解,B*的列向量是BX=0的解For,AX=0与BX=0同解设是A*的非零列,是B*的非零列=k七(15)设,是n维欧式空间V的线性变换,对随意,V,都有((),)(,()),证明:的核等于的值域的正交补证明:ker,so,()=0(,( ))((),)(0,)0(V)ker(V)...............................................(1)and,(V),(,())0((),)(,())0( )0ker,(V)ker(2)According(1)and(2)WeCanSee(V)ker-5-5八(15)设M是数域P上的n阶方阵(n1),f(x),g(x)P[x]且(f(x),g(x))1Af(M),Bg(M),W,W1,W2分别是方程组ABX0,AX0,BX0的解空间,证明:c.证明:(1)A101W相同W2WW12

1W1,2W2f(M)10AB1f(M)g(M)1g(M)f(M)10W1WWW(2)because,(f(x),g(x))1,so,u(x),v(x)P[x]u(x)f(x)v(x)g(x)1u(M)f(M)v(M)g(M)EWW0,B0,f(M)0,g(M)012,A(u(M)f(M)v(M)g(M))E0WW{0}12(3)since,WWW12so,dim(W1W2)dim(W)WW{0}dim(WW)dim(W)dim(W)Also,121212dim(W1)dim(W2)dim(W)....................................................(1)Still,r(A)r(B)nr(AB)ndim(W1)ndim(W2)nndim(W)dim(W1)dim(W2)dim(W)....................................................(2)From,(1)and(2),dim(W1)dim(W2)dim(W)also,W1W{0}2WW{0}12-6-5九设V是数域P上的n维线性空间,,是V的线性变换,有n个互异(10)的特点值,证明:与可互换的充分必需条件是:是E,,2,..........n1的线性组合,此中E是恒等变换.证明:因为=,设i是的n个互异的特点值,i是属于i的特点向量则i也是的特点向量(事实上,关于每个i(i1,2..........n)有((i))(i)(i)=((i))=(ii)=i(i)进而(i)因为互异,所以dim(Vi)1,(i1,2..........n)Vi,i故i也是的特点向量)进而uiV,使(ui)uii,(i1,2..........n)1于是有(1,n)(1,2..........n)22.........nu1(1,2.....n)(1,2n)u2.........unx1x.........n1xnu1211{xx.........n1xnu........................112.....................................xnx.........nn1xnun12因为系数队列式

111

n1112n12(ij)0(i互异）1ijnn1nn则方程组有独一解，设为（a1,a2......an)则a1ia