2019-2021北京初二（下）期中数学汇编：平行四边形的判定

18/182019-2021北京初二（下）期中数学汇编平行四边形的判定一、单选题1．（2019·北京市第四十三中学八年级期中）能够判定一个四边形是平行四边形的条件是（）A．一组对角相等 B．两条对角线互相平分C．两条对角线互相垂直 D．一对邻角的和为180°2．（2019·北京师大附中八年级期中）下列条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（

）A．∠A=∠C，∠B=∠D B．AB∥CD，AB=CD C．AB=CD，AD∥BC D．AB∥CD，AD∥BC3．（2019·北京·海淀教师进修学校附属实验学校八年级期中）四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是(

)A．AB=CD B．AC=BD C．AC⊥BD D．AD=BC4．（2019·北京市第四十一中学八年级期中）已知下列命题①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；②两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；③一组对边平行且两条对角线相等的四边形是矩形；④两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形．其中正确的命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．35．（2020·北京·北外附中八年级期中）四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（

）A．AB//DC，AD//BC B．AB=DC，AD=BCC．AO=CO，BO=DO D．AB//DC，AD=BC6．（2021·北京市师达中学八年级期中）下列给出的条件中，能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB∥CD，AD＝BC B．∠B＝∠C；∠A＝∠DC．AB＝CD，CB＝AD D．AB＝AD，CD＝BC7．（2021·北京师大附中八年级期中）下列选项中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（

）A．AB//CD，AD＝BC B．∠A＝∠D，∠B＝∠CC．AB//CD，∠A＋∠B＝180° D．∠A＝∠C，∠B＋∠D＝180°8．（2020·北京理工大学附属中学分校八年级期中）已知，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，给出下列四个条件①AB∥CD，②OA＝OC，③AD＝BC，④∠A＝∠C，任取两个条件，可得出四边形ABCD是平行四边形这一结论的情况有（）A．5种 B．4种 C．3种 D．2种9．（2020·北京市文汇中学八年级期中）下列命题中正确的是（

）A．对角线相等的四边形是矩形B．有一个角是直角的四边形是矩形C．对角线互相平分且相等的四边形是矩形D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形10．（2021·北京市第一六一中学八年级期中）下列命题中正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形二、填空题11．（2021·北京·北大附中八年级期中）如果四边形ABCD中∠A、∠B、∠C、∠D的大小之比是2：3：2：3，那么四边形ABCD是平行四边形，判定的依据是____．三、解答题12．（2019·北京四中八年级期中）如图，点O是△ABC内一点，连接OB，OC，并将AB，OB，OC，AC的中点D，E，F，G依次连接，得到四边形DEFG．求证：四边形DEFG是平行四边形；13．（2019·北京市第五十四中学八年级期中）已知：如图，在△ABD中，∠ABD＝90°，CD⊥BD，BC∥AD．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）如果AB＝2，BD＝4．求BC和AD之间的距离．14．（2020·北京理工大学附属中学分校八年级期中）已知：如图，在平行四边形ABDC中，点E、F在AD上，且AE=DF求证：四边形BECF是平行四边形．15．（2020·北京八中八年级期中）如图，已知等腰△ABC，AB=AC，AD平分∠BAC，E为AD上一动点，作EF平行AB，交AC于F，在AB上取一点G，使得AG=CF，连接GF.（1）根据题意补全图形；（2）求证四边形BEFG是平行四边形；（3）若∠BAC=50°，写出一个∠ABE的度数，使得四边形BEFG是菱形.16．（2021·北京一七一中八年级期中）下面是小东设计的“作平行四边形ABCD，使∠B＝45°，AB＝2cm，BC＝3cm”的作图过程．作法：如图，①画∠B＝45°；②在∠B的两边上分别截取BA＝2cm，BC＝3cm．③以点A为圆心，BC长为半径画弧，以点C为圆心，AB长为半径画弧，两弧相交于点D；则四边形ABCD为所求的平行四边形．根据小东设计的作图过程：(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）(2)完成下面的证明．证明：∵AB＝，CB＝，∴四边形ABCD为所求的平行四边形（）（填推理的依据）．17．（2019·北京市十一学校八年级期中）如图，AC是□ABCD的对角线，延长BA至点E，使AE=AB,连接DE.(1)求证:四边形ACDE是平行四边形;(2)连接EC交AD于点O,若∠EOD=2∠B，求证:四边形ACDE是矩形.18．（2020·北京市第四十四中学八年级期中）如图，在4×4的方格子中，ΔABC的三个顶点都在格点上，（1）在图1中画出线段CD，使CD⊥CB，其中D是格点，（2）在图2中画出平行四边形ABEC，其中E是格点.19．（2021·北京市第十七中学八年级期中）如图，在▱ABCD中，AC=8，BD=12，点E，F在对角线BD上，点E从点B出发以每秒1个单位的速度向点D运动，同时点F从点D出发以相同速度向点B运动，到端点时运动停止，运动时间为t秒．（1）求证；四边形AECF为平行四边形；（2）求t为何值时，四边形AECF为矩形．20．（2021·北京广渠门中学教育集团八年级期中）如图，已知在四边形ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，AE＝CF，BF＝DE，求证：四边形ABCD是平行四边形.

21．（2021·北京·北方工业大学附属学校八年级期中）下面是小明设计的“利用已知矩形作一个内角为30°角的平行四边形”的尺规作图过程．已知：矩形ABCD．求作：▱AGHD，使∠GAD=30°．作法：如图，①分别以A，B为圆心，以大于12AB长为半径，在AB两侧作弧，分别交于点E，F②作直线EF；③以点A为圆心，以AB长为半径作弧，交直线EF于点G，连接AG；④以点G为圆心，以AD长为半径作弧，交直线EF于点H，连接DH．则四边形AGHD即为所求作的平行四边形．根据小明设计的尺规作图过程，填空：(1)∠BAG的大小为；(2)判定四边形AGHD是平行四边形的依据是；(3)用等式表示平行四边形AGHD的面积S1和矩形ABCD的面积S2的数量关系为．22．（2019·北京四中八年级期中）在▱ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F（1）在图1中证明CE=CF；（2）若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数；（3）若∠ABC=120°，FG∥CE，FG=CE，分别连接DB、DG（如图3），求∠BDG的度数．

参考答案1．B【分析】平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定方法选择即可．【详解】解：根据平行四边形的判定可知B正确．故选B．【点睛】本题考查了平行四边形的判定，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法．2．C【分析】平行四边形的判定方法有：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．对选项进行一一分析判断即可．【详解】解：A、可以得到两组对边分别平行，根据：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；B、可以根据：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；C、不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；D、根据：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意．故选C．【点睛】本题考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题关键．3．C【分析】由已知条件得出四边形ABCD是平行四边形，再由对角线互相垂直，即可得出四边形ABCD是菱形．【详解】如图所示：需要添加的条件是AC⊥BD；理由如下：∵四边形ABCD的对角线互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）；添加其余选项的条件均得不到菱形，故选C．【点睛】本题考查平行四边形的判定方法、菱形的判定方法；熟练掌握平行四边形和菱形的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．4．C【分析】①根据平行四边形的判定方法即可得出结论；②本题根据对角线互相平分的四边形是平行四边形；③本题根据矩形的判定方法得出结论；④本题根据菱形的判定方法得出结论．【详解】解：①∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；∴故本选项正确；②∵两条对角线互相垂直且相等的四边形不一定是平行四边形，∴故本选项错误；③∵一组对边平行且两条对角线相等的四边形可能是等腰梯形．∴故本选项错误；④∵两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形．∴故本选项正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定，解题时要注意判定方法的综合应用．5．D【详解】A、由“AB//DC，AD//BC”可知，四边形ABCD的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；B、由“AB=DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的两组对边相等，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；C、由“AO=CO，BO=DO”可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；D、由“AB//DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形．故本选项符合题意．故选D．6．C

【分析】平行四边形的判定定理①两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，③两组对角分别相等的四边形是平行四边形，④对角线互相平分的四边形是平行四边形，判断即可．【详解】解：A、根据AD∥CD，AD＝BC不能判断四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；B、根据∠B＝∠C，∠A＝∠D不能判断四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；C、根据AB＝CD，AD＝BC，得出四边形ABCD是平行四边形，故本选项正确；D、根据AB＝AD，BC＝CD，不能判断四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；故选：C．【点睛】本题考查了对平行四边形的判定定理的应用，关键是能熟练地运用平行四边形的判定定理进行推理，此题是一道比较容易出错的题目．7．C【分析】平行四边形的判定定理：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定定理逐个分析即可解答．【详解】解：A、AB//CD，AD＝BC不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项错误；B、∠A＝∠D，∠B＝∠C不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项错误；C、因为∠A＋∠B＝180°，所以AD//BC，又因为AB//CD，所以四边形ABCD是平行四边形，故此选项正确；D、∠A＝∠C，∠B＋∠D＝180°不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项错误；故选C．【点睛】本题主要考查平行四边形的判定定理，解决本题的关键是要熟练掌握平行四边形的判定定理.8．D【分析】根据题目所给条件，利用平行四边形的判定方法分别进行分析即可．【详解】①②组合可证明△ABO≌△CDO，进而得到AB＝CD，可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；①④组合可利用两组对角分别相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；∴有2种可能使四边形ABCD为平行四边形．故选：D．【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是熟练掌握平行四边形的判定定理．9．C【分析】根据矩形和平行四边形的判定判断即可．【详解】A、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，原命题是假命题，故该选项错误；B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，原命题是假命题，故该选项错误；C、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，是真命题，故该选项正确；D、一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，原命题是假命题，故该选项错误；故选：C．【点精】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题叫定理．10．C【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，所以A选项错误；B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以B选项错误；C、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以C选项正确；D、一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，所以D选项错误．故选C11．两组对角分别相等的四边形是平行四边形．【分析】先根据四边形内角和求出每个内角，可得∠A=∠C、∠B=∠D，根据平行四边形的判定定理即可的结论．【详解】解：∵四边形ABCD中∠A、∠B、∠C、∠D的大小之比是2：3：2：3，设∠A=2x°、∠B=3x°、∠C=2x°、∠D=3x°，∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∴2x°+3x°+2x°+3x°=360°，∴x=36，∴∠A=72°、∠B=108°、∠C=72°、∠D=108°，∴∠A=∠C、∠B=∠D，∴四边形ABCD为平行四边形（两组对角分别相等的四边形是平行四边形，）故答案为：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．【点睛】本题考查平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定定理是解题关键．12．详见解析【分析】

根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF∥BC且EF=12BC，DG∥BC且DG=12BC，从而得到DE=EF，DG【详解】证明：∵D、G分别是AB、AC的中点，∴DG∥BC，DG=12BC∵E、F分别是OB、OC的中点，∴EF∥BC，EF=12BC∴DG=EF，DG∥EF，∴四边形DEFG是平行四边形．【点睛】本题考查的是中点四边形、平行四边形的判定和性质，掌握三角形中位线定理、平行四边形的判定定理和性质定理是解题的关键．13．(1)详见解析；(2)4【分析】（1）证明两组对边分别平行即可．（2）过点B作BE⊥AD于E．利用面积法求解即可．【详解】（1）证明：∵∠ABD＝90°，CD⊥BC，∴∠ABD＝∠BDC＝90°，∴AB∥CD，又∵BC∥AD，∴四边形ABCD是平行四边形．（2）解：过点B作BE⊥AD于E．∵在Rt△ABD中∠ABD＝90°，AD＝AB2+BD2∵S平行四边形ABCD＝AB×BD＝AD×BE，∴BE=AB×BDBE=2×4【点睛】此题主要考查平行四边形的判定与性质，解题的关键是熟知平行四边形的判定定理及勾股定理的应用．14．证明见解析.【分析】根据平行四边形的性质，可得对角线互相平分，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可得证明结论．【详解】解：如图，连接BC，设对角线交于点O．∵四边形ABDC是平行四边形，∴OA=OD，OB=OC．∵AE=DF，∴OA﹣AE=OD﹣DF，∴OE=OF．∴四边形BECF是平行四边形．15．（1）见解析；（2）见解析；（3）∠ABE=50°，理由见解析．【分析】（1）根据题意按步骤画图即可；（2）根据平行线的性质和角平分线的定义得出∠FAE=∠FEA，则AF=EF，进而有EF=BG，然后利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明；（3）根据菱形的性质有GF=EF，然后利用等腰三角形的性质和平行线的性质即可求解．【详解】（1）补全图形如下：（2）∵AB=AC,AG=CF，∴BG=AF．∵EF//∴∠BAE=∠FEA．∵AD平分∠BAC，∴∠BAE=∠FAE，∴∠FAE=∠FEA，∴AF=EF，∴EF=BG．∵EF//∴四边形BEFG是平行四边形；（3）∠ABE=50°，理由如下：若四边形BEFG是菱形，则有GF=EF，∵AF=EF，∴AF=GF，∴∠AGF=∠BAC=50°．∵四边形BEFG是平行四边形，∴GF//∴∠ABE=∠AGF=50°．【点睛】本题主要考查平行四边形的判定及性质，菱形的性质，掌握平行四边形的判定及性质和菱形的性质是解题的关键．16．(1)见解析(2)CD；AD；两组对边分别相等的四边形是平行四边形【分析】（1）根据题意补全作图即可；（2）根据作图方法和平行四边形的判定条件填空即可．(1)补全图形如下，(2)∵AB=CD，CB=AD∴四边形ABCD为所求的平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．故答案为：CD，AD，两组对边分别相等的四边形是平行四边形．【点睛】本题考查作图—复杂作图，平行四边形的判定．熟练掌握基本知识是解答本题的关键．17．（1）见解析；（2）见解析.

【分析】（1）由平行四边形的性质可得AB＝CD，AB∥CD，结合AE=AB由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证四边形ACDE是平行四边形；（2）由三角形的外角可证∠ADC＝∠OCD，可得OC＝OD，即可得AD＝EC，可证四边形ACDE是矩形．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵AE＝AB，∴AE＝CD，且AB∥CD，∴四边形ACDE是平行四边形；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠ADC，∵∠EOD＝2∠B∴∠EOD＝2∠ADC，且∠EOD＝∠ADC＋∠OCD，∴∠ADC＝∠OCD，∴OC＝OD，∵四边形ACDE是平行四边形，∴AO＝DO，EO＝CO，∴AD＝CE，∴四边形ACDE是矩形．【点睛】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定和性质，灵活运用平行四边形的性质是本题的关键．18．（1）见解析；（2）见解析.【分析】（1）过点C作CD⊥CB，且点D是格点即可.（2）作一个△BEC与△BAC全等即可得出图形.【详解】（1）解：如图，线段CD就是所求作的图形．（2）解：如图，▱ABEC就是所求作的图形【点睛】本题考查作图-应用与设计，平行四边形的判定等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．19．（1）见解收析；（2）当t=2或t=10时，四边形AECF为矩形【分析】(1)由题意证明△BEC≌△DFA，△BEA≌△DFC，得出CE=AF，AE=CF，即可证明.(2)根据矩形的判定只需要让一个角是直角的平行四边形即可得出矩形,由此思路计算即可.【详解】（1）在▱ABCD中，∵AD∥BC，AD=BC，∴∠EBC=∠FDA．由题意知，BE=DF．在△BEC与△DFA中，BE=DF∠EBC=∠FDA∴△BEC≌△DFASAS∴CE=AF，同理可得△BEA≌△DFC,∴AE=CF，∴四边形AECF为平行四边形．（2）当t=2或t=10时，四边形AECF为矩形．理由如下：由平行四边形的性质知OE=OF，O4=OC，要使∠EAF是直角，只需OE=OF=OA=1则∠1=∠2，∠3=∠4．∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴2∠2+2∠3=180°，∴∠2+∠3=90°，即∠EAF=90°．此时BE=DF=12BD−EF【点睛】本题考查平行四边形的判定和矩形的判定,关键在于灵活运用条件.20．见解析．【分析】由SAS证得△ADE≌△CBF，得出AD＝BC，∠ADE＝∠CBF，证得AD∥BC，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定四边形ABCD是平行四边形．【详解】

证明：∵AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，∴∠AED＝∠CFB＝90°，在△ADE和△CBF中，∵DE＝BF，∠AED＝∠CFB，AE＝CF，∴△ADE≌△CBF（SAS），∴AD＝BC，∠ADE＝∠CBF，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．【点睛】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的判定；熟练掌握平行四边形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．21．(1)60°(2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形(3)S2=2S1【分析】（1）连接BG，由作图知，EF是线段AB的垂直平分线，得到AG=BG，推出△ABG是等边三角形，于是得到结论；（2）根据矩形的性质得到∠BAD=90°，推出GH∥AD，得到四边形AGHD是平行四边形；（3）设EF与AB交于M，根据矩形和平行四边形的面积公式即可得到结论．(1)连接BG，由作图知，EF是线段AB的垂直平分线，∴AG=BG，∵AB=AG，∴AB=AG=BG，∴△ABG是等边三角形，∴∠BAG=60°；故答案为：60°；(2)∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，∵EF⊥AB，∴GH//AD，∵GH=AD，∴四边形AGHD是平行四边形，故答案为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形(3)设EF与AB交于M，∵S2=AD•AB，S1=HG•AM=AD•12AB=12AD•∴S2=2S1，故答案为：S2=2S1．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的性质，线段垂直平分