第四节曲线与方程

第四节曲线与方程第一页，共四十六页，2022年，8月28日1.了解解析几何的基本思想．2．了解坐标法．第二页，共四十六页，2022年，8月28日第三页，共四十六页，2022年，8月28日1．曲线与方程在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二

元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系：(1)曲线上点的坐标都是．(2)以这个方程的解为坐标的点都是．那么这

个方程叫做

，这条曲线叫做．这个方程的解曲线上的点曲线的方程方程的曲线第四页，共四十六页，2022年，8月28日[思考探究]如果只满足第(2)个条件，会出现什么情况？提示：若只满足“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，则这个方程可能只是部分曲线的方程，而非整条曲线的方程，如分段函数的解析式．第五页，共四十六页，2022年，8月28日2．求曲线方程的一般步骤第六页，共四十六页，2022年，8月28日3．曲线的交点求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成

的方程组的解的问题．第七页，共四十六页，2022年，8月28日1．方程x2＋xy＝x的曲线是(

)A．一个点B．一条直线C．两条直线D．一个点和一条直线解析：方程变为x(x＋y－1)＝0，∴x＝0或x＋y－1＝0，表示两条直线．答案：C第八页，共四十六页，2022年，8月28日2．到两定点A(0,0)，B(3,4)距离之和为5的点的轨迹是(

)A．椭圆B．AB所在的直线C．线段ABD．无轨迹解析：|AB|＝5，∴动点的轨迹为线段AB.答案：C第九页，共四十六页，2022年，8月28日3．已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M

(－1，2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是(

)A．2x＋y＋1＝0B．2x－y－5＝0C．2x－y－1＝0D．2x－y＋5＝0解析：设Q(x，y)，则P为(－2－x,4－y)，代入2x－y＋3＝0得2x－y＋5＝0.答案：D第十页，共四十六页，2022年，8月28日4．已知实数m，n满足x2＋y2＝1，则P(m＋n，m－n)的轨迹

方程是____________．解析：令得，又∵m2＋n2＝1，得x2＋y2＝2.答案：x2＋y2＝2第十一页，共四十六页，2022年，8月28日5．设P为双曲线－y2＝1上一动点，O为坐标原点，M

为线段OP的中点，则点M的轨迹方程是________．解析：设M(x，y)，则P(2x,2y)，代入双曲线方程得x2－4y2＝1，即为所求．答案：x2－4y2＝1第十二页，共四十六页，2022年，8月28日第十三页，共四十六页，2022年，8月28日1.如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关

系，或这些几何条件简单明了且易于表达，那么只需把

这种关系转化成含有数值的表达式，通过化简整理便可

得到曲线的方程，这种求曲线方程的方法是直接法．2．运用解析几何中一些常用定义(例如圆锥曲线的定义)，

可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出

发建立关系式，从而求出轨迹方程．这种求曲线方程的

方法是定义法．第十四页，共四十六页，2022年，8月28日3．应用直接法求曲线方程可套用求轨迹方程的五个基本

步骤，但有时可省略证明这一步．用定义法求轨迹方

程的关键是紧扣解析几何中有关曲线的定义，灵活应

用定义．第十五页，共四十六页，2022年，8月28日设点F(2,0)，动点P到y轴的距离为d，求满足条件|PF|－d＝2的点P的轨迹方程．[思路点拨]第十六页，共四十六页，2022年，8月28日

[课堂笔记]法一：设P点坐标为(x，y)由|PF|＝2＋d，得＝2＋|x|，即(x－2)2＋y2＝(2＋|x|)2.∴y2＝4|x|＋4x.当x≥0时，y2＝8x；当x<0时，y2＝0，即y＝0.故所求轨迹方程为y2＝8x(x≥0)和y＝0(x<0)．第十七页，共四十六页，2022年，8月28日法二：由题意|PF|＝2＋d，当P在y轴右侧时，可转化为|PF|＝x＋2，即点P到定点F的距离等于到定直线l：x＝－2的距离，∴点P在抛物线y2＝8x上．当P在y轴左侧时，|PF|＝2－x，即点P到F(2,0)的距离等于P到直线x＝2的距离，从而有y＝0(x<0)，综上可知所求轨迹方程为y2＝8x(x≥0)和y＝0(x<0)．第十八页，共四十六页，2022年，8月28日一动圆与圆x2＋y2＋6x＋5＝0外切，同时过点(3,0)，求动圆圆心M的轨迹方程．

解：x2＋y2＋6x＋5＝0配方得：(x＋3)2＋y2＝4.设圆心为A.则A点坐标为(－3,0)．(3,0)为点B，动圆半径为R，则由此得：|MB|＝R，|MA|＝R＋2.第十九页，共四十六页，2022年，8月28日因此：|MA|－|MB|＝2＜|AB|＝6.故M点轨迹为双曲线的右支，且2a＝2,2c＝6.即a＝1，c＝3，b＝2，因此其方程为：x2－＝1(x≥1).第二十页，共四十六页，2022年，8月28日1.动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点

P(x，y)却随另一动点Q(x′，y′)的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹方程为给定或容易求得，则可先将

x′、y′表示为x、y的式子，再代入Q的轨迹方程，然后整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法．第二十一页，共四十六页，2022年，8月28日2．用代入法求轨迹方程的关键是寻求关系式：x′＝f(x，y)，y′＝g(x，y)，然后代入已知曲线．而求对称曲线(轴对称、中心对称等)方程实质上也是用代入法(相关点

法)解题．

第二十二页，共四十六页，2022年，8月28日设F(1,0)，M点在x轴上，P点在y轴上，且

，当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹方程．[思路点拨]第二十三页，共四十六页，2022年，8月28日[课堂笔记]

设M(x0,0)，P(0，y0)，N(x，y)，点N为轨迹上任意一点．∵＝(x0，－y0)，＝(1，－y0)，∴(x0，－y0)·(1，－y0)＝0，∴x0＋＝0.由＝2得(x－x0，y)＝2(－x0，y0)，第二十四页，共四十六页，2022年，8月28日∴，即∴－x＋＝0，即y2＝4x.故所求的点N的轨迹方程是y2＝4x.第二十五页，共四十六页，2022年，8月28日在一些很难找到形成曲线的动点P(x，y)的坐标x，y所满足的关系式的情况下，往往借助第三个变量t，建立t和x，t和y的关系式x＝φ(t)，y＝φ

(t)，再通过一些条件消掉t就间接找到了x和y所满足的方程，从而求出动点P(x，y)所形成的曲线的普通方程．第二十六页，共四十六页，2022年，8月28日已知抛物线y2＝4px(p＞0)，O为顶点，A，B为抛物线上的两动点，且满足OA⊥OB，如果OM⊥AB于M点，求点M的轨迹方程．[思路点拨]第二十七页，共四十六页，2022年，8月28日[课堂笔记]

设M(x，y)，直线AB方程为y＝kx＋b.由OM⊥AB得k＝－.由y2＝4px及y＝kx＋b消去y，得k2x2＋x(2kb－4p)＋b2＝0.所以x1x2＝.消去x，得ky2－4py＋4pb＝0.第二十八页，共四十六页，2022年，8月28日所以y1y2＝.由OA⊥OB，得y1y2＝－x1x2，所以，b＝－4kp.故y＝kx＋b＝k(x－4p)．把k＝－代入，得x2＋y2－4px＝0(x≠0)．即M1的轨迹方程为x2＋y2－4px＝0(x≠0)．

第二十九页，共四十六页，2022年，8月28日轨迹方程的有关问题是高考的热点内容，几乎每年都会考查，通常是第一问求轨迹方程，第二问考查直线与圆锥曲线的位置关系.09年广东高考题以直线和抛物线位置关系为载体，考查了曲线轨迹方程的求法及两曲线的位置关系．第三十页，共四十六页，2022年，8月28日[考题印证](2009·广东高考)(14分)已知曲线C：y＝x2与直线l：x－y＋2＝0交于两点A(xA，yA)和B(xB，yB)，且xA＜xB.记曲线C在点A和点B之间那一段L与线段AB所围成的平面区域(含边界)为D.设点P(s，t)是L上的任一点，且点P与点A和点B均不重合．(1)若点Q是线段AB的中点，试求线段PQ的中点M的轨迹方程；(2)若曲线G：x2－2ax＋y2－4y＋a2＋＝0与D有公共点，试求a的最小值．第三十一页，共四十六页，2022年，8月28日【解】

(1)由解得A(－1,1)，B(2,4)．设点Q、M的坐标分别为Q(x1，y1)，M(x，y)，依题意得x1＝，y1＝.于是x＝，y＝，∴s＝，t＝. ①(4分)第三十二页，共四十六页，2022年，8月28日∵－1＜s＜2，∴－1＜＜2，即－＜x＜.又∵点P(s，t)在曲线C上，∴t＝s2.②(6分)将①代入②得＝()2.即y＝2x2－x＋(－＜x＜)．┄┄┄┄┄┄(7分)(2)曲线G的方程可化为(x－a)2＋(y－2)2＝，这是一个圆心为N(a,2)，半径为的圆．设圆G与直线l：x－y＋2＝0相切于点T(xT，yT)，第三十三页，共四十六页，2022年，8月28日则有，即a＝±.┄┄┄┄┄┄(9分)过点N(a,2)与直线l垂直的直线l′的方程是y－2＝－1×(x－a)，即x＋y－2－a＝0.由解得xT＝，yT＝＋2.当a＝－时，－1＜xT＝－＜2.┄┄┄┄(12分)∵－1,2分别是D上的点的最小和最大横坐标，∴切点T∈D，故amin＝－.┄┄┄┄┄┄┄┄(14分)第三十四页，共四十六页，2022年，8月28日[自主体验]已知定点A(0,1)、B(0，－1)、C(1,0)，动点P满足

＝2.(1)求动点P的轨迹D的方程；(2)从轨迹D外一点M向轨迹D引一条切线，切点为N，且有|MN|＝|MA|，求|MN|的最小值．第三十五页，共四十六页，2022年，8月28日解：(1)设动点P(x，y)，∵A(0,1)、B(0，－1)、C(1,0)，且动点P满足∴＝(x，y－1)·(x，y＋1)＝x2＋y2－1，2＝2||2＝2(1－x)2＋2(－y)2.化简整理得动点P点的轨迹方程为：x2＋y2－4x＋3＝0.第三十六页，共四十六页，2022年，8月28日(2)由(1)知P点的轨迹方程是圆：(x－2)2＋y2＝1，由于切线MN⊥DN，∴|MN|2＝|MD|2－1.∵|MN|＝|MA|，∴|MA|2＝|MD|2－1.设M(x，y)，则x2＋(y－1)2＝(x－2)2＋y2－1，化简得：y＝2x－1，即点M在直线y＝2x－1上，∴|MN|的最小值即为|MA|的最小值，最小值d＝＝第三十七页，共四十六页，2022年，8月28日第三十八页，共四十六页，2022年，8月28日1．方程x2＋y2＝1(xy<0)的曲线形状是(

)第三十九页，共四十六页，2022年，8月28日解析：∵xy<0，∴x>0，y<0或x<0，y>0.答案：C第四十页，共四十六页，2022年，8月28日2．已知点A(－2,0)、B(3,0)，动点P(x，y)满足＝x2，

则点P的轨迹是(

)A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线解析：＝(－2－x，－y)，＝(3－x，－y)，∴＝(x＋2)(x－3)＋y2＝x2，∴y2＝x＋6，表示抛物线．答案：D第四十一页，共四十六页，2022年，8月28日3．已知两定点A(－2,0)、B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于(

)A．πB．4πC．8πD．9π解析：设P(x，y)，则|PA|2＝(x＋2)2＋y2，|PB|2＝(x－1)2＋y2，又|PA|＝2|PB|，∴(x＋2)2＋y2＝4(x－1)2＋4y2，∴(x－2)2＋y2＝4，表示圆，∴S＝πr2＝4π.答案：B第四十二页，共四十六页，2022年，8月28日4．已知两定点F1(－1,0)、F2(1,0)，且|F1F2|是|PF1|与|PF2