河南省洛阳市五头附属中学2021年高三数学理上学期期末试题含解析

河南省洛阳市五头附属中学2021年高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设集合，，，且，则A．1

B．2

C．3

D．9参考答案：B2.如图所示，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，E，F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线E，F的平面分别与棱BB′、DD′交于M，N，设BM=x，x∈[0，1]，给出以下四个命题：①平面MENF⊥平面BDD′B′；②当且仅当x=时，四边形MENF的面积最小；③四边形MENF周长L=f（x），x∈[0，1]是单调函数；④四棱锥C′﹣MENF的体积V=h（x）为常函数；以上命题中假命题的序号为（）A．①④ B．② C．③ D．③④参考答案：C【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①利用面面垂直的判定定理去证明EF⊥平面BDD'B'．②四边形MENF的对角线EF是固定的，所以要使面积最小，则只需MN的长度最小即可．③判断周长的变化情况．④求出四棱锥的体积，进行判断．【解答】解：①连结BD，B'D'，则由正方体的性质可知，EF⊥平面BDD'B'，所以平面MENF⊥平面BDD'B'，所以①正确．②连结MN，因为EF⊥平面BDD'B'，所以EF⊥MN，四边形MENF的对角线EF是固定的，所以要使面积最小，则只需MN的长度最小即可，此时当M为棱的中点时，即x=时，此时MN长度最小，对应四边形MENF的面积最小．所以②正确．③因为EF⊥MN，所以四边形MENF是菱形．当x∈[0，]时，EM的长度由大变小．当x∈[，1]时，EM的长度由小变大．所以函数L=f（x）不单调．所以③错误．④连结C'E，C'M，C'N，则四棱锥则分割为两个小三棱锥，它们以C'EF为底，以M，N分别为顶点的两个小棱锥．因为三角形C'EF的面积是个常数．M，N到平面C'EF的距离是个常数，所以四棱锥C'﹣MENF的体积V=h（x）为常函数，所以④正确．所以四个命题中③假命题．所以选C．3.已知命题；命题．则下面结论正确的是A．pq是真命题

B．pq是假命题

C．q是真命题

D．p是假命题

参考答案：A【知识点】复合命题的真假对于p：取α=，则cos（π﹣α）=cosα，因此正确；对于命题，正确．由上可得：pq是真命题．故选：A．【思路点拨】p：取α=，则cos（π﹣α）=cosα，即可判断出真假；命题q：利用实数的性质可得q的真假．再利用复合命题真假的判定方法即可得出．

4.对于函数和区间，如果存在，使得，则称是函数与在区间上的“互相接近点”。现给出两个函数：①；②；③；④。则在区间上存在唯一“相互接近点”的是

（

）A.①②

B.③④

C.②④

D.①③参考答案：【知识点】函数的最值及其几何意义；命题的真假判断与应用．B3A2【答案解析】D

解析：对于①：由f（x）﹣g（x）=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，显然，当x=1时，取得最小值1，符合题意，显然只有x=1符合“相互接近点”定义，所以①符合题意；对于②：由f（x）﹣g（x）=﹣x﹣2=，则当x＞0时，|f（x）﹣g（x）|恒成立，故x＞0时不存在“相互接近点”，所以②不符合题意；对于③：令h（x）=x﹣lnx，则h′（x）=1﹣，令h′（x）＞0，则x＞1，令h′（x）＜0，得0＜x＜1，所以函数h（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）递增，所以x=1时，h（x）min=h（1）=1，故当x＞0时，存在唯一的“相互接近点”，故③符合题意；对于④：因为当x＞0时，e﹣x＞0，则e﹣x+1＞1，而此时，故f（x）﹣g（x）＞1当x＞0时恒成立，故在（0，+∞）不存在“相互接近点”，所以④不符合题意．故选D．【思路点拨】由“互相接近点”的概念可知，只要是能找到一个x0，使得|f（x0）﹣g（x0）|≤1即可，因此只需构造函数h（x）=f（x）﹣g（x），利用单调性求其最大值或最小值和1比较，则问题即可解决．5.已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2是真正三角形，则这个椭圆的离心率是（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：答案：A6.下列命题中：①若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“p∧q“为真命题；②“”是“”的必要不充分条件；③命题“?x∈R，2x＞0”的否定是“?x0∈R，”正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：C【考点】命题的真假判断与应用．【分析】利用复合命题的真假判断①的正误；利用充要条件判断②的正误；利用命题的否定判断③的正误；【解答】解：①若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“p∧q“为真命题是不正确的；②“”则“”，但是“”不一定“”，所以“”是“”的必要不充分条件；正确．③命题“?x∈R，2x＞0”的否定是“?x0∈R，”，满足命题的否定，是正确．故选：C．7.设全集U={x丨x＞0}，集合A={x丨x＞2}，则?UA等于（）A．{x|0＜x＜2}B．{x|x＜2}C．{x|x≤2}D．{x|0＜x≤2}参考答案：D略8.已知数列{xn}满足xn﹣1﹣xn=d（n∈N*，n≥2，d为常数），且x1+x2+…+x20=200，则x5+x16=（）A．10 B．20 C．30 D．40参考答案：B【考点】等差数列的性质．【分析】根据数列{xn}满足xn﹣xn﹣1=d，得到此数列为等差数列，由x1+x2+…+x20=80，利用等差数列的前n项和公式表示出前20项的和等于80，根据等差数列的性质可知项数之和相等的两项之和相等，得到10（x5+x16）等于80，即可求出x5+x16的值．【解答】解：根据题意可知数列{xn}为等差数列，则x1+x2+…+x20==10（x1+x20）=10（x5+x16）=200，所以x5+x16=20．故选：B．9.已知i为虚数单位，若=y+2i，x，y∈R，则复数x+yi=

A．2+i

B．-2－i

C．l－2i

D．1+2i参考答案：B略10.已知函数在实数集R上具有下列性质：①是偶函数，②，③当<3时，<0，则、、的大小关系为（

）A.>>

B.>>C.>>

D.>>参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.以下四个命题中：

①为了解600名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k为30；

②直线y=kx与圆恒有公共点；

③在某项测量中，测量结果服从正态分布N(2，)(>0)．若在(-∞，1)内取值的概率为0．15，则在(2，3)内取值的概率为0．7；

④若双曲线的渐近线方程为，则k=1．

其中正确命题的序号是

．参考答案：②12.函数f（x）=+lg（3x+1）的定义域是

．参考答案：（﹣，1）【考点】对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】由分母中根式内部的代数式大于0，对数式的真数大于0联立不等式组求解x的取值集合得答案．【解答】解：由，解得：﹣．∴函数f（x）=+lg（3x+1）的定义域是（﹣，1）．故答案为：（﹣，1）．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查了不等式组的解法，是基础题．13.四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD且PA=4，则PC与底面ABCD所成角的正切值为

▲

．参考答案：略14.某初中校共有学生1200名，各年级男、女生人数如右表，已知在全校学生中随机抽取l名，抽到八年级女生的概率是0.18，现用分层抽样的方法在全校抽取200名学生，则在九年级应抽取

名学生.参考答案：略15.我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理（组暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．“势”即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处裁得两几何体的裁面积恒等，那么这两个几何体的体积相等，类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个矩形，且当实数t取[0，4]上的任意值时，直线y=t被图1和图2所截得的线段始终相等，则图1的面积为．参考答案：8【考点】函数模型的选择与应用．【分析】根据祖暅原理，可得图1的面积=矩形的面积，即可得出结论．【解答】解：根据祖暅原理，可得图1的面积为4×2=8．故答案为8．16.已知，则的最小值为

▲

；参考答案：12略17.若，则

．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）圆C的方程是（x＋2）2+（y+1）2=R2，轴被圆截得的弦长为。（1）求圆的方程；（2）直线：y=-x+b交圆C于，且AC⊥CB,求直线的方程.参考答案：19.（本小题满分10分）如图,AB是⊙O的直径,弦BD、CA的延长线相交于点E,EF垂直BA的延长线于点F.求证:(1);

(2)AB2=BE?BD-AE?AC.参考答案：(1)连结AD因为AB为圆的直径,所以∠ADB=90°,又EF⊥AB,∠EFA=90°则A、D、E、F四点共圆∴∠DEA=∠DFA-------------------------------5分(2)由(1)知,BD?BE=BA?BF又△ABC∽△AEF∴即:AB?AF=AE?AC∴BE?BD-AE?AC=BA?BF-AB?AF=AB(BF-AF)=AB2

-------------10分

20.如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB=AA1，∠BAA1=∠BAC=60°，点O是线段AB的中点．（Ⅰ）证明：BC1∥平面OA1C；（Ⅱ）若AB=2，A1C=，求二面角A﹣BC﹣A1的余弦值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）连接OC，OA1，A1B，以O为原点，OA、OA1、OC所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明BC1∥平面OA1C．（Ⅱ）求出平面BCA1的法向量和平面ABC的法向量，利用向量法能求出二面角A﹣BC﹣A1的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）连接OC，OA1，A1B．∵CA=CB，∴OC⊥AB．∵CA=AB=AA1，∠BAA1=∠BAC=60°，故△AA1B、△ABC都为等边三角形，∴OA1⊥AB，CO⊥AB，∴OA、OA1、OC两两垂直，以O为原点，OA、OA1、OC所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设CA=CB=AA1=2，则B（﹣1，0，0），C1（﹣1，，），O（0，0，0），A1（0，，0），C（0，0，），=（0，），=（0，），=（0，0，），设平面OA1C的法向量=（1，0，0），∵=0，且BC1?平面OA1C，∴BC1∥平面OA1C．解：（Ⅱ）∵AB=2，A1C=，∴B（﹣1，0，0），C（0，0，），A1（0，），=（1，0，），=（1，），设平面BCA1的法向量=（x，y，z），则，取x=，得，平面ABC的法向量=（0，0，1），设二面角A﹣BC﹣A1的平面角为θ，则cosθ===．∴二面角A﹣BC﹣A1的余弦值为．21.（本小题满分14分）

数列{}中，，且满足，。（1）求数列{}的通项公式；（2）设，求；（3）设是否存在最大的整数m，使得对任意，均有成立？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由。参考答案：（1）由题意，，为等差数列，

…………1分设公差为，由题意,得，

…………3分.

.…………4分（2）若，

…………5分当

…………6分当时，.

………8分故

…………9分(3).

…………10分得

…………12分若对任意成立，即对任意成立，单调递增，当时,取得最小值.

…………13分的最大整数值是7.即存在最大整数使对任意，均有

…………14分22.某普通高中为了解本校高三年级学生数学学习情况，对一模考试数学成绩进行分析，从中抽取了n名学生的成绩作为样本进行统计（该校全体学生的成绩均在[60,150]），按下列分组[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100)，[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)，[140,150]作出频率分布直方图，如图1；样本中分数在[70,90)内的所有数据的茎叶图如图2：根据往年录取数据划出预录分数线，分数区间与可能被录取院校层次如表．份数[60,80)[80,120)[120,150]可能被录取院校层次专科本科自招（1）求n的值及频率分布直方图中的x,y值；（2）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为概率，若在该校高三年级学生中任取2人，求此2人都不能