2022年八年级数学下《勾股定理全章复习与巩固（基础）》专项练习题-带解析

八年级数学下-专题:17.18勾股定理全章复习与巩固（基础篇）（专项练习）

一、单选题

1.如图，直线/上有三个正方形，若C的面积分别为5和11,则b的面积为

（）

A.4B.6C.16D.55

2.在中，若NC=90。，ZC=3,8C=4,则点c到直线俯的距离为（）

A.3B.4C.5D.2.4

3.《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高丈，末

折抵地，问折者高几何？”意思是:一•根竹子,原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将

竹子折断,其竹梢恰好抵地,抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？（）

4.已知线段AB,按如下步骤作图:①作射线AC，使NC_LAB；②作ZBAC的平分线AD；（§）

以点A为圆心，AB长为半径作弧，交于点£;④过点E作EPL4B于点P,则

AP:AB=（）

A.1：石B.1:2C.1：6D.1：&

5.如图，口"SC中，4。8=90。,/。=8,"=6,将口4^沿小翻折，使点/与点6重合，则

位的长为（）

1

第1页共20页

7

A.8B.2C.4D.4

6.下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）

A.4,5,6B.1.5,2,2.5C.2,3,4D.1,五,3

7.如图，每个小正方形的边长为1"、B、，是小正方形的顶点，则N46C的度数为（）

A.90°B.60°C.45°D.30°

8.下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（）

A.3,4,5B.2,3,4C.4,6,7D.5,11,12

9.如图所示,如果将矩形纸沿虚线①对折后,沿虚线②剪开,剪出一个直角三角形,展开后得

到一个等腰三角形，则展开后的等腰三角形周长是（）

A.12B.18C.2+V10D.2+2如

10.下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是（）

D.1,应，G

A.1,2,3B.2,3,4C.4,5,6

二、填空题

11.如图.在LMBC中，NC=90。，/。平分NG48,于£若8=3,8。=5,则BE的

长为—

2

第2页共20页

D

E

12.《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在勾股章中记载了一道“折竹抵地”

问题：”今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折着高几何？”翻译成数学问题是:如图所示,

在△ABC中，ZACB=90°,AC+AB=10,BC=3,求AC的长，若设AC=x,则可列方程为

13.在火灯Z8C中，NC=90。，若，8-4C=2,BC=8,则的长是.

14.若直角三角形其中两条边的长分别为3,4,则该直角三角形斜边上的高的长为

15.若实数就〃满足阿T冲7^40,且涧”恰好是直角三角形的两条边,则该直角三角

形的斜边长为_____.

16.如图,某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向

航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于点A,5处，且

相距20海里,如果知道甲船沿北偏西40°方向航行,则乙船沿方向航行.

17.如图，在直角坐标系中，以点"*/）为端点的四条射线ACtAD,4E分别过点

80,1）,点C0，3）,点。（4,4）,点后（5,2）,

则ABACNDAE（填“>”“=”“<”中的

3

第3页共20页

一个).

18.把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如

图2,图3所示的正方形,则图1中菱形的面积为.

19.如图，将一根25cm长的细木棒放入长、宽、高分别为8cm、6cm和loGcm的长方体无

盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是一an.

20.如图，在RtAABC中,E是斜边AB的中点,若AB=10,则CE=

三、解答题

21.如凰在△4%、中，〃为4c边的中点,且DBVBC,BC=4,⑺=5.

(1)求的的长；

⑵在△加「中，求比边上高的长.

4

第4页共20页

B

22.如图，四边形4BS为一个矩形纸片，幺3=3,BC=2,动点p自刀点出发沿刀。方

向运动至C点后停止.&＜刀尸以直线"为轴翻折，点刀落到点A的位置.设加=/

尸与原纸片重叠部分的面积为V.

(1)当x为何值时,直线皿过点°?

(2)当x为何值时，直线皿过3C的中点E?

(3)求出V与x的函数关系式.

23.如图,要在木里县某林场东西方向的两地之间修一条公路MN,已知C点周围200米范围

内为原始森林保护区,在MN上的点A处测得C在A的北偏东450方向上,从A向东走600

米到达B处,测得C在点B的北偏西60°方向上.

(l)MN是否穿过原始森林保护区，为什么？(参考数据：6-1.732)

(2)若修路工程顺利进行,要使修路工程比原计划提前5天完成,需将原定的工作效率提高

25%,则原计划完成这项工程需要多少天？

24.如图,某测量小组为了测量山BC的高度,在地面A处测得山顶B的仰角45。，然后沿着

坡度为i=1：G的坡面人口走了200米达到I)处,此时在D处测得山顶B的仰角为60°,求山

高BC(结果保留根号).

5

第5页共20页

2022年八年级数学下《勾股定理全章复习与巩固（基础）》专项练习题

参考答案

1.C

【解析】

【分析】

运用正方形边长相等,结合全等三角形和勾股定理来求解即可.

【详解】

解：•.：、b、c都是正方形，

：.AC=CD,//必=90°;

■：2AC/4DC-AC//BAC=9Q：

:.NBAC=4DCE,

除NCE9=90°,AC-CD,

:.△ACB^XDCE、

：.AB-CE,BODE\

在Rt丛ABCZ,由勾股定理得:4?=//+及?=4/+炉，

即56=5a+5^11+5=16,

【点拨】此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，结合图形求解,对图形的理解

能力要比较强.

2.D

【解析】

【分析】

根据题意画出图形,然后作CDLABT点、D,根据勾股定理可以求得M7的长,然后根据面积法,可

以求得成的长.

【详解】

解:作a9_L46于点D,如右图所示，

6

第6页共20页

B

VZ^6®=900，心3,小4,

:+BC?=5,

ACBCABCD

••・k=-

5CD

-3-x--4-=------

；.22,

解得CD=2.4,

故选:D.

【点拨】本题考查勾股定理、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形,

利用勾股定理和面积法解答.

3.B

【解析】

【分析】

竹子折断后刚好构成一直角三角形,设竹子折断处离地面x尺,则斜边为（10-x）尺.利用勾

股定理解题即可.

【详解】

解:设竹子折断处离地面x尺,则斜边为°。一X）尺，

根据勾股定理得：x2+32=（l°f）2,

解得：x=4.55.

所以,原处还有4.55尺高的竹子.

故选:反

【点拨】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形,从而运

用勾股定理解题.

4.D

【解析】

【分析】

由题意易得/阴任45°,AB=AE,进而可得是等腰直角三角形,然后根据等腰直角三角

形的性质可求解.

【详解】

解：；AC1AB

7

第7页共20页

,•,NC/8=90。，

・・・力〃平分/94C,

・・・/的伊45°,

■:EP1AB,

・・・△/%是等腰直角三角形，

:.A六PE,

.・.AE=yjAP2+PE2=五AP、

,:AB-AE,

•AB=y/2AP

••，

AP-.AB=\\>[2■

故选D.

【点拨】本题主要考查等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理及角平分线的定义，熟练掌

握等腰直角•:角形的性质与判定、勾股定理及角平分线的定义是解题的关键.

5.D

【解析】

【分析】

先在〃〃比'中利用勾股定理计算出力庐10,再利用折叠的性质得到A斤BE,AFBIA5,设A4x,

则CE=AOA^-x,B4x,在灯△反■中根据勾股定理可得到/=62+（8-62,解得X可得CE.

【详解】

解：•；//小90。，心8,陷6,

：.AB=^AC~+BC'=10,

,/△/（庞沿〃翻折，使点A与点夕重合，

・"后""/做=5力生5,

设心x,则C及AOAE-B-x,BE-x,

在Rt丛BCE中

,:B/=BG+C艮

25

=6耳（8-力2,解得14,

O257

O--------

:.C序4=4,

故选:D.

【点拨】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图象全等，即对应角相等,对应边相等.也考查

了勾股定理.

8

第8页共20页

6.B

【解析】

【分析】

由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可.

【详解】

A、42+52=41W62,不可以构成直角三角形，故本选项错误；

B、1.52+22=6.25=2.5^,可以构成直角三角形，故本选项正确；

C、22+32=13W42,不可以构成直角三角形，故本选项错误；

仄'+(巧)=3”32,不可以构成直角三角形,故本选项错误.

故选:B

【点拨】本题主要考查了勾股定理的逆定理,熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键.

7.C

【解析】

【分析】

根据勾股定理即可得到AB,BC,小的长度,进行判断即可.

【详解】

解:连接4C；如图：

根据勾股定理可以得到：4小小石"比丽.

(V5)2+(x/5)2=(\/10)2.

...△47。是等腰直角三角形.

除45°.

故选C.

【点拨】考点:勾股定理.

8.A

【解析】

【分析】

利用勾股定理的逆定理:如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就

是直角三角形.最长边所对的角为直角.由此判定即可.

9

第9页共20页

【详解】

A、：32+42=54

...三条线段能组成直角三角形,故A选项正确；

B、V22+32^42,

...三条线段不能组成直角三角形，故B选项错误；

C、V42+62^72,

...三条线段不能组成直角三角形,故C选项错误；

D、:52+112/122,

三条线段不能组成直角三角形,故D选项错误；

故选:A.

【点拨】考查勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握如果三角形两条边的平方和等于第三边

的平方,那么这个三角形就是直角三角形.

9.D

【解析】

【分析】

按照图的示意对折,裁剪后得到的是直角三角形,虚线①为矩形的对称轴，依据对称轴的性质

虚线①平分矩形的长，即可得到沿虚线②裁下的直角三角形的短直角边为10+2-4=1,虚线

②为斜边,据勾股定理可得虚线②为丽，据等腰三角形底边的高平分底边的性质可以得到,

展开后的等腰三角形的底边为2,故得到等腰三角形的周长.

【详解】

根据题意,三角形的底边为2（10+2-4）=2,腰的平方为32+12=10,

...等腰三角形的腰为亚；

二等腰三角形的周长为：2+2布.

故选D.

10.D

【解析】

【详解】

试题分析:A.F+22。32,不能组成直角三角形,故错误；

B.22+3?*4?,不能组成直角三角形,故错误；

C.4?+5?*62,不能组成直角三角形，故错误；

D.『+（/）2=（&）］能够组成直角三角形，故正确.

故选D.

考点：勾股定理的逆定理.

10

第10页共20页

11.4

【解析】

【分析】

证明三角形全等,再利用勾股定理即可求出.

【详解】

解：由题意：力。平分NC/5,DEL4B于E,

；.NC4D=NEAD，ZAED=90°，

又丁AD为公共边，

UACD^AED(AAS)

:.CD=DE=3

在R/OOE8中，80=5,由勾股定理得：

BE=\lBD?-DE2=正4=4

故答案是：4.

【点拨】本题考查了三角形全等及勾股定理，解题的关键是:通过全等找到边之间的关系，再

利用勾股定理进行计算可得.

222

12X+3=(10-X)

【解析】

【分析】

设AC=x,则AB=10-x,再由/C?+SC?=AB2即可歹ij出方程.

【详解】

解：•；/C=x，且NC+/8=10,

.S=10f

在RSABC中，由勾股定理有：/C2+8C2=/81

即丁+32=(10一》)；

故可列出的方程为：，+32=(10-》)-,

故答案为：/+3J(10-x)2

【点拨】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解决本题的关键.

13.17

【解析】

【分析】

在RtAABC中，根据勾股定理列出方程即可求解.

【详解】

11

第11页共20页

解：,在RtAABC中，ZC=90°,AB-AC=2,BC=8,

.,.AC2+BC2=AB2,

即（AB-2）2+82=AB2,

解得AB=17.

故答案为：17.

【点拨】本题考查了勾股定理，解答的关键是熟练掌握勾股定理的定义及其在直角三角形中

的表示形式.

3手

14.2.4或4

【解析】

【分析】

分两种情况:直角三角形的两直角边为3、4或直角三角形一条直角边为3,斜边为4,首先根

据勾股定理即可求第三边的长度，再根据三角形的面积即可解题.

【详解】

若直角三角形的两直角边为3、4,则斜边长为户手=5,

设直角三角形斜边上的高为A

1-1-

•・’一x3x4=-x5力

22

•••h=2.4•

若直角三角形一条直角边为3,斜边为4,则另一条直角边为由手=不

设直角三角形斜边上的高为A

—x3xV?=—x4A

22i

,3不

h=-----

4.

故答案为：2.4或4.

【点拨】本题考查了勾股定理和直角三角形的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

15.5或4.

【解析】

【分析】

利用非负数的性质求出减〃，再分情况求解即可.

【详解】

12

第12页共20页

..•5T,=0"4=0,

1.m=3开4

①当刑”是直角边时，

则该直角三角形的斜边=庐彳=5,

②当〃=4是斜边时，则斜边为4,

故答案为5或4.

【点拨】本题考查非负数的性质,勾股定理等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中

考常考题型.

16.北偏东50°（或东偏北40°）

【解析】

【分析】

由题意易得AP=12海里,PB=16海里，"PN=40°,则有AP2+BP2=，所以/仍?=90°,进

而可得ZBPN=50°,然后问题可求解.

【详解】

解：由题意得：/尸=1x12=12海里,眸1X16=16海电4PN=40°,“8=20海里，

2

,•,AP+BP'=400=AB-，

力的90°,

刖=50。,

乙船沿北偏东50°（或东偏北40°）方向航行；

故答案为北偏东50°（或东偏北40°）.

【点拨】本题主要考查勾股定理的逆定理及方位角，熟练掌握勾股定理的逆定理及方位角是

解题的关键.

17.=

【解析】

【分析】

连接DE,判断△4反、和△4外■是等腰直角三.角形，即可得到NBAC=NDAE=45。.

【详解】

解:连接偌如图

13

第13页共20页

•・占/（3,1）3c（1,3）,，/（4,4）,，,E（5,2）

,/rA，A*\，Av»，，?»v»，

由勾股定理与网格问题,则

AB=BC=2，ZABC=90°，

...△/%是等腰直角三角形；

■■AE=DE=>j22+l2=V5AD=^32+l2=V10

*，，

・・・AE2+DE2=AD\

,-,ZAED=90°，

・・・△力原是等腰直角三角形；

.・/BAC=/DAE=45。.

故答案为:=.

【点拨】本题考查了等腰直角三角形的判定，勾股定理，勾股定理的逆定理，解题的关键是熟

练掌握掌握所学的知识，正确判断和是等腰直角三角形.

18.12

【解析】

【分析】

Jx+y=5卜=3

由菱形的性质得出OA=OC,0*0D,AC1BD,设OA=x,OB=y,由题意得：卜一丁=1，解得：L=2,

得出力已2fl4=6,»2仍=4,即可得出菱形的面积.

【详解】

解:如图1所示：

14

第14页共20页

D

B

图1

•・,四边形4〃缪是菱形，

：.0忙0€、0氏OD"C1BD、

设OA=x,0B=y,

卜+y=5Jx=3

由题意得：1x-y=i,解得：l尸2,

：.A(=2OA=6,盼2觥4,

-^CxBD=-x6x4=12

.•.菱形/%的面积=22；

故答案为12.

【点拨】本题考查了菱形的性质、正方形的性质、二元一次方程组的应用；熟练掌握正方形

和菱形的性质，由题意列出方程组是解题的关键.

19.5

【解析】

【详解】

由题意知:盒子底面对角长为J6?+'

=10cm,

盒子的对角线长加+(1网=20cm,

细木棒长25cm,故细木棒露在盒外面的最短长度是:25-20=5cm.

20.5

【解析】

【详解】

试题分析:根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得CE=5AB=5.

考点：直角三角形斜边上的中线.

21.(1)加=3;(2)」/边上高的长为6.

【解析】

【分析】

(1)直接利用勾股定理得出劭的长即可；

(2)利用三角形中位线定理得出小万/£即可得到结论.

15

第15页共20页

【详解】

解：(1)：DBVBC,小4,C女5

:.BD=后二^=3;

(2)延长级过点4作/反Lb延长线于点£

"：DBLBC,AEA.BC

：.AE//DB

•..〃为〃1边的中点

工

:.盼5AE

：.AE=&

即比边上高的长为6.

【点拨】本题考查勾股定理;三角形中位线定理.

2^-42^-2

22.⑴当x=3时，直线ADi过点C(2)当x=3时，直线AD1过BC的中点E(3)当

x2+4

0VxW2时,y=x;当2<xW3时,y=2x

【解析】

【详解】

试题分析：(1)根据折叠得出AD=AD|=2,PD=PD]=x,ND=/ADF=90°,在RtAABC中，根据勾股

定理求出AC,在Rt^PCDi中，根据勾股定理得出方程,求出即可；

⑵连接PE,求出BE=CE=1,在RtAABE中，根据勾股定理求出AE,求出

ADi=AD=2,PD=PD尸x,D1E=W-2,PC=3-x,在RtAPD^和RtAPCE中，根据勾股定理得出

方程，求出即可；

⑶分为两种情况:当0<xW2时,y=x;当2VxW3时，点D1在矩形ABCD的外部,1孙交AB于

F,求出AF=PF,作PG±AB于G,设PF=AF=a,在RtAPFG中，由勾股定理得出方程(x-a)

2+22=a2,求出a即可.

试题解析：

(1)

16

第16页共20页

图1

如图1,；由题意得:ZXADP丝△ADR

.,.AD=AI)i=2,PD=PDi=x,ND=NADF=90°,

•.•直线AD1过C,

.♦.PD|_LAC,

在RtZSABC中,AC=/由;而⑪产历-2,

在RtAPCD1中，PC^PD^+CDj2,

即(3-x)2=x2+(而-2)2,

2房-4

解得：x=3,

当x=3时，直线AD］过点C;

(2)如图2,

连接PE,

•••E为BC的中点,

.,.BE=CE=1,

1

在RtAABE4,AE=VAB2+BE2=V10)

；ADI=AD=2,PD=PDi=x,

..用正=而-2,PC=3-x,

在RtAPI)^和RtAPCE中，

x2+(而-2)2=(3-x)2+12,

17

第17页共20页

2022年八年级数学下《勾股定理全章复习与巩固(基础)》专项练习题

2加-2

解得:x=3,

2^-2

...当x=3时，直线ADj过BC的中点E;

(3)如图3,

DPC

当0<xW2时

当2<xW3时，点D,在矩形ABCD的外部,PD,交AB于F,

VAB/7CD,

.*.Z1=Z2,

：/l=N3(根据折叠)，

二/2=/3,

，AF=PF,

作PGJ_AB于C,

设PF=AF=a,

由题意得:AG=DP=x,FG=x-a,

在RtAPFG中,由勾股定理得:(x-a)2+22=a2,

1?+4

解得：a=2x,

所以y=22x=2x,

18

第18页共20页

j?+4

综合上述，当0<xW2时,y=x;当2<xW3时,y=2x.

考点：1、勾股定理,2、折叠的性质,3、矩形的性质,4、分类推理思想

23.（1）.不会穿过森林保护区.理由见解析；（2）原计划完成这项工程需要25天.

【解析】

【详解】

试题分析：（D要求MN是否穿过原始森林保护区，也就是求C