人教版九年级数学下讲义

第二十六章反比例函数

第一节反比例函数的图像和性质

一、课标导航

课标内容课标要求目标层次

了解反比例函数的意义，能画出反比例函数的图像，理解反比例

★

反比例函数的函数的性质

图像及性质能根据已知条件确定反比例函数的解析式，能用反比例函数的知

★★

识解决有关问题

二'核心纲领

1.反比例函数

⑴定义：一般地，形如y=Ka为常数，原0）的函数称为反比例函数，其中X是自变量,

X

y是函数.

注：①自变量x在分母上，指数为1.

②比例系数厚0.

③自变量x的取值为一切非零实数，函数值的取值范围是y，0.

④反比例函数的其他形式：衍k（原0）或尸丘」（原0）.

⑵图像：反比例函数的图像是双曲线，也称双曲线旷=4（原0）

X

⑶性质（如下表所示）

k

反比例函数y=—(k#))

X

L的符号k>0k<0

)

图像

---------->0

OX

图像分布的象限第一、三象限第二、四象限

性质

y随x变化的趋势在每个象限内，y随x的增大而减在每个象限内，y随x的增大而

小（y随x的减小而增大）增大（y随x的减小而减小）

注：⑴y随x变化的情况必须指出“在每个象限内”或“在每一分支上”这一条件.

⑵）=七a为常数，原0）中自变量/o,函数值归o,所以双曲线不经过原点，两个分支

X

逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交.

2.待定系数法求反比例函数的解析式

只需图像上一个点的坐标即可求出k.

3.反比例函数的图像的对称性

⑴中心对称：对称中心是原点.

⑵轴对称：对称轴是直线y=x和直线y=一x.

v>2

点A与C,点5与。分别关于原点对称，所以四边形A6CD为

平行四边形，从而S四边形ABCD=4SMOB

①$=S2；

②S四边形尸的值为定值；

:③当M为AP的中点，则N必为P8的中点；

Bx④当M为AP的n等分点时，则N必为PB的〃等分点.

5.数学思想

⑴数形结合；⑵分类讨论.

本节重点讲解：一个定义，一个性质，一个对称性，一个几何意义.

三、全能突破

基础演练

1.如果y是，"的反比例函数，皿是x的正比例函数，那么y是》的（)

A.反比例函数B.正比例函数C.一次函数D.反比例或正比

例函数

2.若反比例函数》=（2〃，-1）”'2-2的图像在第二、四象限，则用的值是（）

A.-1或1B.小于L的任意实数C,-1

D.不能确定

2

3.如图26-1-1所示，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴,

.2+2.+1

点。在反比例函数＞=----------的图像上.若点A的坐标为（-2,2）则Z的值为（）

x

A.1B.-3C.4D.1或-3

m—\

4.若函数y=为反比例函数，则机=.

xm

5.三个反比例函数y”以，为的图像的一部分如图26-1-2所示，则由，比，角的大小关系为

x

图26-1-2

k-2

6.反比例函数y=——的图像一个分支经过第一象限，对于给出的下列说法:

①常数上的取值范围是1>2；②另一个分支在第三象限；

③在函数图像上取点A(a\,b\)和点8(°2，左)，当。|>。2时，则历<匕2；

④在函数图像的某一分支上取点4(a”bi)和点8(他，历)，当0>他时，则"〈历；

⑤函数的图像是中心对称图形但不是轴对称图形.

⑥一元二次方程x2—(2k—I)x+R—1=0无实数根.

其中正确的是(在横线上填出正确的序号)

7.已知)="+丫2，而yi与x+1成反比例，”与『成正比例，并且时，产2；A=0时，y=2.

求y与尤的函数关系式.

k

8.如图26-1-3所示，定义：若双曲线y=-(k>0)与它的其中一条对称轴)=x相交于A、

8两点，则线段AB的长度为双曲线〉=A(k>0)的对径.

⑴求双曲线y=-的对径;

⑵若双曲线y=V(k>0)的对径为10a,求大的值;

k

⑶仿照上述定义，定义双曲线y=—(k<0)的对径.

图26-1-3

能力提升

9.已知二次函数产加+bx+c的图像如图26-1-4所示，那么一次函数y=bx+c和反比例函数

y=3在同一平面直角坐标系中的图像大致是（）

X

10.下列选项中，阴影部分面积最小的是（）

11.根据图26-1-5（a）所示的程序，得到了y与x的函数图像如图26-1-5（b）,过点用作

2

PQ〃x轴交图像于点P、Q,连接OP、。。.则以下结论：①x<0时，y=-；②AOP。的面

x

积为定值；③x>0时，y随x的增大而增大：④MG2PM；⑤/POQ可以等于90。.

其中正确的结论是（）

A.①②④B.②④⑤C.③④⑤D.②③⑤

I输入非城

(b

图26-1-5

12.⑴正比例函数严加依#0）和反比例函数y=勺伏2对）的一个交点为（1,-2）,则另一个交

X

点为.

（2）直线y=ax与双曲线y=—交于A,必）、B（乙,%）两点，则例为一3x2y1二

x

13.如图26-1-6所示，在直角坐标系中，正方形的中心在原点。，且正方形的一组对边与x

轴平行，点P（3a,心是反比例函数y=々A>0）的图像上与正方形的一个交点，若图中

X

阴影部分的面积等于9,则这个反比例函数的解析式为.

14.如图26-1-7所示，点A、B是函数y=x与的图像的两个交点，作AC/x轴于C,

x

作BD2x轴于D,则四边形ABCD的面积为.

15.如图26-1-8所示，己知双曲线y=K（&>0）经过直角三角形。AB斜边。8的中点。

X

与直角边AB相交于点C,若AOBC的面积为6,则1<=.

16.如图26-1-9所示，正方形Q4BC的面积是4,点B在反比例函数丁=人心>0/>0）的

图像上.若点R是该反比例函数图像上异于点8的任意一点，过点R分别作x轴、y轴的垂

线，垂足为M、N,从矩形OMRN的面积中减去其与正方形0ABe重合部分的面积，记剩

余部分的面积为S,则当5=机（机为常数，且0（加＜4）时，反比例函数解析式为

点R的坐标是（用含加的代数式表示）.

17.如图26-1-10所示，在平行四边形AOBC中，对角线交与点E,双曲线丁=人(%>0)经

x

过A、E两点,若平行四边形AO8C的面积为/8,则仁.

图26-1-9

18.如图26-1-11所示，Z^AOB为等边三角形，点B的坐标为(-2,0),过点C(-2,0)作

直线1交AO于D,交AB于E,点E在某反比例函数图像上，当4ADE和△DCO的面积

相等时，那么该反比例函数解析式为.

19.(1)两个反比例函数y=』、y=9在第一象限内的图像如图26-1-12所示，点

XX

P「P,、P、.....鸟oi3在反比例函数y=9的图像上，它们的横坐标分别是

X

X］、X2、X3、…、x2()13,纵坐标分别是1、3、5、…共20/3个连续奇数，过点分别作)，

轴的平行线与的图像交点依次是。|(西，M)、。2(%2，%)、。3卜，打).....

。2013(12013'>2013)'贝”>2013=----------

Q

(2)如图26-1-13所示，在函数y=-(x>0)的图像上有点4、P,、P、、…、Pll+I,

x

点6的横坐标为2,且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是2,过点

々、舄、鸟....P“、E用分别作X轴、)，轴的垂线段，如图所示，将图中阴影部分的面

积从左至右依次记为号、S?、S3.....S„,则S|,S..(用含n

的代数式表示)

图26-1-11

20.(1)①如图26-1-14(a)所示，一个正方形的一个顶点在函数y=>0)的图像上，

x

则点耳的坐标是(，—).

②如图26-1-14(b)所示，若有两个正方形的顶点打、P,都在函数y=’(x>0)的图像上,

x

则点£的坐标是(，一).

(2)如图26-1-14(c)所示，若将两个正方形改为两个等腰直角三角形，直角顶点在函数

y=t(x>0)的图像上，斜边。44都在X轴上，

X

①求点的坐标；②求点尸2的坐标.

4Fx

(3)如图26-1-14(d)所示，若有两个等边三角形的顶点都在函数y=*(x>0)的图像

X

上，点A、a在x轴上，直接写出点八的坐标.

(a)(1>)(<­)(11)

图26-1-14

21.(1)探究：如图26-1-15(a)所示，已知448C和的面积相等，试判断AB与C。

的位置关系，并说明理由.

(2)应用：①如图26-1-15(b)所示，点M、N在反比例函数了=幺后＞0)图像上，过点

x

M作ME工)，轴，过点N作NF工x轴，垂足分别为E、F,试证明：MN〃EF.

②若①中其它条件不变，只改变点M、N的位置，如图26-1-15(c)所示，请判断MN与

E尸是否平行，直接写出结论。

(3)拓展：如图26-1-15(d)所示，点M、N在反比例函数y=2(%＞0)的图像上，过

点M作ME/y轴，过点N作NFJx轴，垂足分别是E、F,交反比例函数y=(葭＞0)

X

的图像于点G、H,与GH是否平行？并说明理由.

图26-1-15

—一（电考张搔------1

•••••••••»••••••••

22.（1）（2012•荆门）已知：多项式x2-kx+l是一个完全平方式，则反比例函数y=上工的解

X

析式为（）

A.y=AB.y=--C.y=1或y=--D.y=2或y="-

XXXXXX

2

（2）.（2012•佳木斯）在平面直角坐标系中，反比例函数y=W_卫3图象的两个分支分别在

X

（）

A.第一、三象限B.第二、四象限C.第一、二象限D.第三、四象限

23.（2013•江西南昌）如图26-1-16所示，，直线y=x+a-2与双曲线y=W交于A、B两点，则

x

当线段AB的长度取最小值时，a的值为（）

A.0B.1C.2D.5

24.（2013•北京）如图26-1-17所示，，在平面直角坐标系xoy中，已知直线/：t=

双曲线y=1。在/上取点Ai，过点Ai作X轴的垂线交双曲线于点Bi，过点日作y轴

x

的垂线交/于点A2,请继续操作并探究：过点A2作X轴的垂线交双曲线于点B2,过点

B2作y轴的垂线交/于点A3，…，这样依次得到/上的点A”A»A3,An,...»

记点An的横坐标为明,若。1=2,则。2=，。2013=：若要将上

述操作无限次地进行下去，则生不熊里的值是

图26-1-16

图26-1-17

.----------(MQft---------1

25.如图26-1-18所示，点P是反比例函数丁=与卜<0)图像上的

X

点,用垂直于点点。的坐标为〃,0),PC交y轴于点氏连接4仇

已知川=石.

(1火的值为.

⑵若点M(a,勿是该反比例函数图像上的点,且满足4BC,

则a的取值范围是.图26-1-18

2

26.如图26-1-19所示，正方形A8/6的顶点与、鸟在反比例函数y=*(x>0)的图像

上，顶点B1分别在x轴和y轴的正半轴上，再在其右侧作正方形£鸟4鸟,顶点尸3在

反比例函数y=f2(x>0)的图像上，顶点A?在工轴的正半轴上，则点R的坐标

x

为.

图26-1-19

第二节反比例函数的综合应用

一、课标导航

课标内容课标要求目标层次

反比例函数的应用反比例函数的知识解决问题★★

综合运用

二、核心纲要

1.反比例函数与实际问题

2.反比例函数与一次函数的综合

3.反比例函数与二次函数的综合

4.反比例函数与几何的综合

本节重点讲解：反比例函数的综合应用

三、全能突破

1.如图26-2-1所示，反比例函数>=一的图像与一次函数y=kx+b的图像交于点/W、N,

X

已知点

M的坐标为（1,3）,点N的纵坐标为-1,根据图像信息可得关于x的方程％=%X+匕的

X

解为（）

A.-3,1B.-3,3C.-1,1D.3,-1

2

2.如图26・2-2所示，函数必=x—l和函数为=一的图像相交于点乂(2,m),N(-1,

X

n),若

力>力，则x的取值范围是（

A.x<l或0<x<2B.x<-l或x>2

C.-l<x<0或0<x<2D.或x>2

给出下列命题及函数y=x,片*2和>=’的图像，如图26-2-3所示.

3.

X

②如果。2>4〉,，那么a>l

①如果一那么。<。<1;

aa

③如果！>/>。，那么-1<”0；

④如果那么a<-l

则正确答案是（）

A.正确的命题是①④B.正确的命题是②③④

C.正确的命题是①②D.正确的命题是③

4.阅读以下材料并填空：

问题：当x满足什么条件时，x>-

X

解：设yi=x,y2=则在同一直角坐标系中画出这两个函数的草图.如图26-2-4（o）

x

所示.

必=Xx-lx=

联立两个函数的解析式得:1解得4或彳

%=一y=11y=-1

X

，两个图像的交点为（1,1）和（-1,-1）....由图（q）可知，当-l<x<0或x>l时,

1

X>一・

X

（1）上述解题过程用的数学思想方法是.

（2）根据上述解题过程，试猜想》<工时，x的取值范围是.

X

（3）试根据上述解题方法，当x满足什么条件时，/>_1.（图26一2-4（b）为备用图）

X

图26-2-4

1k

5.如图26-2-5所示，正比例函数y=—尤的图像与反比例函数y=—(A工0)在第一象限

2x

的图像

交于A点，过点A作X轴的垂线，垂足为已知△OA/M的面积为1.

(1)求反比例函数的解析式.

(2)如果B为反比例函数在第一象限图像上的点(点B与点A不重合)，且B点的横坐

标为1,

①在x轴上求一点P,使PA+PB最小；

②在y轴上求一点Q,使QA-QB最大.

图26-2-5

一一4

6.如图26.2・6所示，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=—(X>0)的图像与一次

X

函数

y=-x+b的图像的一个交点为A(4,m).

(1)求一次函数的解析式.

(2)设一次函数y=-x+b的图像与y轴交于点8,P为一次函数y=-x+b的图像上一点，若

△OBP

的面积为5,求点P的坐标.

(3)在x轴上是否存在点P,使△AOP为等腰三角形？若存在，写出点P的坐标；若不存

在，说

明理由.

k

7.直线y=-x-2与反比例函数y=—的图像交于A、8两点，且x、y轴交于C、。两点，

x

A点的

坐标为(-3,k+4).

(1)求反比例函数的解析式.

(2)把直线AB绕点M(-1,-1)顺时针旋转到MN,使直线/WN_Lx轴，且与反比例函数

的图像

交于点M求旋转角大小及线段的长.

8.据媒体报道，近期“手足口病”可能进入发病高峰期，某校根据《学校卫生工作条例》，为

预防“手

足口病”，对教室进行“薰药消毒”.已知药物在燃烧机释放过程中，室内空气中每立方米

含药量y

（毫克）与燃烧时间x（分钟）之间的关系如图26-2-7所示（即图中线段0A和双曲线

在A点及

其右侧的部分），根据图象所示信息，解答下列问题:

（1）写出从药物释放开始，y与x之间的函数关系式及自变量的取值范围；

（2）据测定，当空气中每立方米的含药量低于2毫克时，对人体无毒害作用，那么从消

毒开始，

至少在多长时间内，师生不能进入教室？

——(WWB——

9.(1)若一次函数y=kx+l的图像绕点(0,1)旋转一定角度得到的图像与反比例函数

1g

y=一的

x

图像没有公共点，则实数k的取值范围是.

—mI

(2)如果一次函数y=mx+n(m#0)与反比例函数y=----------的图像相交于点(一，2)

x2

那么该

直线与双曲线的另一个交点为.

k

10.如图26-2-8所示，A(-1,6)是双曲线y=-(x<0)上的一点，P为y轴正半轴上一

X

点，将

A点绕P点逆时针旋转90°,恰好落在双曲线上的另一点B,则P点的坐标

为.

11.如图26-2-9所示，已知一次函数)=(加+2)』'1H和函数y=人的图像交于4B两

x

点，过

点A作AELx轴于点E,若△AOE的面积为2,P是坐标平面上的点，且以点8、。、E、

P为

图26-2-8图26-2-9

12.在平面直角坐标系xOy中，已知反比例函数y=—(人70)满足：当x<0时，y随x的

x

增大而

减小.若该反比例函数的图像与直线y=-x+都经过点P,且=则实数

13.如图26-2-10所示，过点C(1,2)分别作x轴、y轴的平行线，交直线y=-x+6于A、

B两

L

点，若反比例函数)，=2(X>0)的图像与△A8C有公共点，则k的取值范围

X

是.

_V3

14.如图26-2-11所示，M为双曲线》=——上的一点，过点M作x轴、y轴的垂线，分

X

别交直

线丫=-乂+01于点D、C两点，若直线y=-X+/W与y轴交于点A,与x轴相交于点8,

贝ljAD»BC

的值为

图26-2-10图26-2-11

15.探究与应用：

己知点P的坐标为（m,0）,在x轴上存在点Q（不与P点重合），以PQ为边作正方形

2

PQMN,使点M落在反比例函数）=一一的图像上.小明对上述问题进行了探究，发现不论

X

m取何值，符合上述条件的正方形只有两个，且一个正方形的顶点M在第四象限，另一个

正方形的顶点Mi在第二象限.

2

（1）如图26-2-12所示，若反比例函数解析式为旷=-一，P点坐标为（1,0）,图中

x

已画出一符合条件的一个正方形PQMN,请你在图中画出符合条件的另一个正方形

PQiMiNi.

（2）请你通过改变P点坐标，对直线MrM的解析式y=kx+b进行探究可得k=,

若点P

的坐标为（m,0）时，则匕=.

（3）依据（2）的规律，如果点P的坐标为（6,0）,请你直接写出点Mi和点M的坐标.

图26-2-12

16.“三等分角”是数学史上一个著名的问题，但仅用尺规不可能“三等分角”.下面是数

学家帕

普斯借助函数给出的一种"三等分锐角"的方法(如图26-2-13所示)：将给定的锐角

ZAOB

置于直角坐标系中，边。B在x轴上、边。A与函数y的图象交于点P,以P为圆

X

心、以

20P为半径作弧交图象于点R分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两直线相交于

点M,

连接。M得到/M0B,则要明白帕普斯的方法，请研究以下问题：

3

(1)设P(a,-),R(b,-),求直线0M对应的函数表达式(用含a,b的代数

ab

式表示)；

(2)分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两直线相交于点Q.请说明Q点在直线

0M上，

并据此证明ZAOB；

3

17.已知反比例函数y=K的图像经过A(-JL1).

x

(1)试确定此反比例函数的解析式.

(2)点。是坐标原点，将线段0A绕。顺时针旋转30°得到线段。B,判断点8是否

在此反比例函数的图像上，并说明理由.

(3)已知点P(m,J5/"+6)也在此反比例函数的图像上(其中m<0),过点P作x轴

的垂线，交x轴于点若线段PM上存在一点Q,使得△0QM的面积是工，设Q点的纵

2

坐标为〃，求〃2-2，5〃+9的值.

18.如图26-2-14所示，抛物线y=+ax+b过点A(-1,0),B(3,0),其对称轴与x

轴的交

k

点为C,反比例函数y=—(x>0,k为常数)的图像经过抛物线的顶点D.

X

(1)求抛物线和反比例函数的解析式.

(2)在线段DC上任取一点E,过点E作x轴平行线,交y轴于点F,交双曲线于点G,

连接OF、DG、FC、GC.

①若的面积为4,求点G的坐标;

②当DF=GC时，求直线DG的函数解析式.

19.(2013•安徽)如图26-2-15(a)所示矩形ABCD中，BC=z,CD=y,y与x满足反比

例函

数关系式如图26-2-15(b)所示，等腰直角三角形A£F的斜边EF过C点，M为EF

的中

点，则下列结论正确的是().

A..当x=3时，EC<EMB.当y=9时，EOEM

C.当z增大时，EOCE的值增大D.当y增大时，8b。尸的值不变

图26-2-15

20.(2012•杭州)在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数广无(/+x-1)的图象交

于点A

(1,%)和点B(-1,-k).

(1)当七-2时，求反比例函数的解析式；

(2)要使反比例函数和二次函数都是)，随着x的增大而增大，求A应满足的条件以及

x的取值

范围；

(3)设二次函数的图象的顶点为Q,当也人/?。是以AB为斜边的直角三角形时，求k

的值.

21.阅读理解：对于任意正实数o,b,V(y[a-4b]^0,/.a-24ab+b>Qf

：.a+b>24ab,只有当。二b时;等号成立.

结论：在a+bN2\[^(a,b均为正实数)中，若ab为定值p,则a+b22j万，只有

当a=b

时，o+b有最小值2折.

根据上述内容，回答下列问题：若m>0,只有当m=时，m+,有最小

值;

探索应用:

(1)过原点。的直线/与反比例函数y=，的图像交于P、Q两点，则线段PQ长度的

最小值

为；若点A为反比例函数>在第一象限的图像上的一动点，过点A分

别作A8

_Lx轴，AULy轴，垂足分别为8、C.则四边形。8AC周长的最小值为.

12

(2)如图26-2-16所示，已知A(-3,0),B(0,-4),点P为双曲线y=—(X>

0)上的任

意一点，过点P作PCLx轴于点C,PDJ_y轴于D.求四边形ABCD面积的最小值，并

说明此

时四边形ABCD的形状.、.▲

图26-2-16

k

22.在平面直角坐标系xOy中，A,8两点在函数Q：y=」•(x>0)的图像上，其中ki>O.ACl.y

X

轴于点C,BD_Lx轴于点D,且AC=1.

(1)若h=2,则A。的长为,△80D的面积为.

(2)如图26-2-17(a)所示，若点B的横坐标为幻，且h>1,当AO=AB时，求心的

值.

k

(3)如图26-2-17(b)所示，0C=4,BE_Ly轴于点E,函数Cz：：>'=—(x>0)的

X

图像分

别与线段8E,BD交于点M,N,其中0<k2<h.将△。/WN的面积记为Si，△BMN的

面积

记为52，若S=5-S2,求5与公的函数关系式以及5是最大值.

(a)(b)

图26-2-17

第二十七章相似三角形

第一节相似三角形的性质和判定

一、课标导航

课标内容课标要求目标层次

了解两个三角形相似的概念★

相似三角形的

会利用相似三角形的性质和判定进行简单的推理和计算，会利

性质和判定★★

用三角形的相似解决一些实际问题

二、核心纲要

1'比例的性质

（1）基本性质：ad=be

bd

/、iIacbd

（2）反比性质：—=—=>—=—

bdac

,、KUUHacab

（3）更比性质：一=—=>一=—

bdcd

/、人uaca+bc+d

（4）合比性质：一=—=>----=-----

bdbd

,、八rUHaca-bc-d

（5）分比性质：一=—=>----=-----

bdbd

/、4AMiUHacm八.八、a+c-\---\-ma

(6)等比性质：一二—二・・•=—(b+d-\----F〃WO)=>---------------------------=—

bdnb+dT----vnb

2.比例线段的相关概念

(1)两条线段的比：两条线段的长度的比叫做这两条线段的比.

(2)成比例线段：在四条线段〃、b、C、d中，如果线段4与人的比等于C与d的比，那么

这四条线段。、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段，记作：4=£或a:h=c:d.

bd

注：线段的单位要统一.

(3)比例中项：在线段4、b、C中，若巴=2,则称6是“、C的比例中项.

bc

(4)黄金分割点：在线段A5上，点。把线段A5分成两条线段AC和3c(AOBC),若

—,即AC2=AB-BC,则称线段A8被点C黄金分割，点C叫做线段的黄

ABAC

苴二!"ABa0.618AB.

金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.其中AC=

2

注：线段的黄金分割点有两个.

3.相似图形：形状相同的图形叫相似图形.

4.相似三角形

（1）相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形.

（2）相似三角形的表示方法：用符号“s”表示，读作“相似于”.

（3）相似三角形的相似比：相似三角形的对应边的比叫做相似比.

（4）相似三角形的性质

①相似三角形的对应角相等；

②相似三角形的对应边成比例；

③相似三角形的对应高的比等于相似比；

④相似三角形的周长比等于相似比；

⑤相似三角形的面积比等于相似比的平方.

（5）平行线分线段成比例定理

①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如下图所示：lA//l2//l3.

ABDEABDEBCEF

则nl——=——，——=——，——=——....

BCEFACDFACDF

②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.

（6）相似三角形的判定定理

①预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角

形与原三角形相似.

②相似三角形的判定定理

判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角

形相似.简述为：两个角对应相等，两个三角形相似.

判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等,

那么这两个三角形相似.简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似.

判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三

角形相似.简述为：三边对应成比例，两个三角形相似.

（7）直角三角形相似

①判定定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直

角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.

②直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直

角三角形也相似.如下图所示，在RSABC中，ZBCA=90°,CO是斜边AB上的高，则有

如下结论：

AACDsACBD=2=空,即=

CDBD

ArAH

△ACDsAABC=——=—,即

ABAC

ADB

RD

△ABCsxCBD———=——，BPBC2=BDAB.

ABBC

5.位似

（1）定义：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行

（或共线），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称

为位似比.

注：①两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形.

②两个位似图形的位似中心只有一个.

③两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧.

④位似比等于相似比.

（2）性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离比等于位似比（相似比）.

6.常见的基本相似图形（如下图所示）

（1）“A”字型、反“A”字型（斜“A”字型）；（2）“8”字型、反“8”字型（蝴蝶