四维闵氏空间的坐标变换

其次讲狭义相对论高校物理专题讲座主讲人冯杰2/17/20231其次讲狭义相对论

2.1牛顿相对性原理伽利略变换1、表述对于任何惯性系，牛顿定律都成立对于不同的惯性系，力学基本定律的形式是一样的在任何惯性系视察，同一力学现象将按同样的形式发生和演化——力学相对性原理牛顿的确定时空观——时间和空间是分别的牛顿力学的相对性原理,在宏观、低速的范围内,是与试验结果相一样的。但在高速运动状况下则不适用。.2、意义一、牛顿相对性原理2/17/20232二、伽利略变换1、坐标变换S’系相对于S系以匀速v沿x轴运动t’=t=0，O’与O重合2/17/202332、速度变换S’系相对于S系以匀速v沿x轴运动t’=t=0，O’与O重合2/17/202343、加速度变换S’系相对于S系以匀速v沿x轴运动t’=t=0，O’与O重合

在两相互作匀速直线运动的惯性系中,牛顿运动定律具有相同的形式.2/17/202351、对电磁现象的探讨表明:电磁现象所遵从的麦克斯韦方程组不听从伽利略变换.2、真空中的光速三、牛顿相对性原理—伽利略变换的问题3、追光速4、迎光速

真空中的光速2/17/202362.2爱因斯坦相对性原理伽利略变换不论光源或观测者的运动状态如何，观测者测得的光速都等于c。1、相对性原理物理定律在全部惯性系中都具有相同的表达形式.2、光速不变原理一狭义相对论的基本原理试验表明：真空中的光速与光源（光行差试验）或观测者的运动状态（迈克尔逊—莫雷试验）无关。2/17/20237★伽利略变换与狭义相对论的基本原理不符。★狭义相对论的基本原理与试验事实相符合。二、两条基本原理是狭义相对论的基础即追光、或迎光，其光速不满足★关键概念：相对性和不变性2/17/202382.3同时性的相对性与时间延缓一、同时性的相对性1、静S系中观测，事务1先发生，闪光先到达A点；光同时到达A和B不,光先到达A12志向的闪光试验动系静系留意：在同一惯性系中照旧存在统一的“同时性”；2/17/202392、时间的量度是相对的★S′系相对于S系的速度越大，在S系中所测得的沿相对速度方向配置的两个事务之间的时间间隔越长；★对不同参考系，沿相对速度方向配置的同样两个事务之间的时间间隔是不同的——S系认为动系S'后方的事务A'先发生；★即，时间的量度是相对的。光同时到达A和B不,光先到达A12志向的闪光试验动系静系2/17/202310由得当时，有●同时性不同时的简洁证明2/17/2023113、沿垂直于相对运动方向上发生的两个事务的同时性是确定的——无论动系还是静系！S′系：光同时到达A和BS系：光同时到达A和B2/17/202312二、时间延缓1、动S′系A′有一闪光光源，发光和接收的时间间隔在S′系中测量发光和接收的时间间隔●固有时：同一地点先后发生的两个事务之间的时间间隔●固有时最短●得固有时2/17/2023132、静系S中测量动A′发光和接收的时间间隔在S系中测量同一发光和接收的时间间隔★动A′移动★光速不变★解得运动时间2/17/202314●运动钟的固有时间隔3、时间延缓●静系钟的运动时间间隔●动S′的时间延缓——动S′系钟的固有时间变慢了即，运动的一秒(固有时)相当于静止同步钟的好几秒！或●在S系和S′系都是惯性系的状况下，时间延缓是相对的。2/17/202315xyz4、孪生子佯缪运动的一秒相当于静止同步钟的好几秒2/17/202316三、孪生子佯缪与孪生子效应1、孪生子佯缪2、孪生子效应在惯性参照系中，时间延缓是一种相对效应，孪生子兄弟一样年龄！在非惯性参照系中，时间延缓是一种确定效应，孪生子兄弟的年龄不一样！2/17/202317假如飞船返回地球，则在来回过程中有加速度，飞船就不是惯性系了。这一问题的严格求解要用到广义相对论，广义相对论指出：加速场中的时间延缓是一种确定效应。计算结果是，兄弟相见时哥哥比弟弟年轻。这种现象，被称为孪生子效应。时间延缓效应是狭义相对论的结果，它要求飞船和地球同为惯性系。要想保持飞船和地球同为惯性系，哥哥和弟弟就只能永别，不行能面对面地比较谁年轻。这就是通常所说的孪生子佯谬（twinparadox）。2/17/2023181971年，美国空军用两组Cs（铯）原子钟做试验。发觉绕地球一周的运动钟变慢了203±10ns，而按广义相对论预言运动钟变慢184±23ns，在误差范围内理论值和试验值一样，验证了孪生子效应。2/17/202319童年、少年、青年和老年的爱因斯坦2/17/2023201、假设有三个参考系，系A为地球静系，系B为高速动系，系C为静系，但与A、B相距30光年★系B没有运动之前，三个系都是静系(惯性系)，（假设）可以校准时间，假设三个参考系有三个同龄的少年;A、B、C三个系的钟，起先的时间是同步的2/17/2023212、系B起先加速，A、C二个系时间照旧同步(静系)，但是，系B与A、C二个系时间不会同步了;B加速，A、C时间同步，但B与A、C时间不同步2/17/202322★设系B（S′系）在系B自己的很短时间内加速到速度为

v=0.995c时，则，从系B（S′系）的角度看，

A、C二个系（都是静S系）的时间分别是：★因为系B火箭（S′系）加速时间很短，火箭运动距离有限所以，A、B系（都是静K系）的时间都近似为零，即系A看B火箭的时间：B看A2/17/202323★因为系B火箭（S′系）加速时间很短，火箭运动距离有限，所以，A、B系（都是静K系）的时间都近似为零：

★即S′系（动系B火箭）某一时刻对应与S系

（A、C二个静系）的不同刻：系C看B火箭的时间：B看C2/17/2023243、即S′系（动系B火箭）某一时刻对应于S系

（A、C二个静系）的不同时刻：★系B（S′系）某时刻对应于A系（静S系）的时刻是：★系B（S′系）某时刻对应于C系（静S系）的时刻是：★应当有（1）=（2）！2/17/202325★从系B（S′系）的某时刻考察，前方远处C系（静S系）的钟必比后方近处B系（静S系）的钟超前，★B的速度v越大，前方远处C系（静S系）的钟必比后方近处B系火箭（静S系）的钟超前越多，2/17/202326★B的速度v越大，前方远处C系（静S系）的钟必比后方近处B系（静S系）的钟超前越多，如图所示。C系（前方静S系）的钟超前A系（后静S系）的钟2/17/2023274、当动系B（S′系）到达C系旁边时，系B的钟已经到3年，系C的钟已经到30年，系A的钟如何？★从A系—C系考察，系A的钟也已经过了30年=29.7年+0.3年，因为

A系—C系是静系，是同步的，如图所示。从A系—C系考察，A系、C系同步2/17/202328★为什么LAC=30光年，系B火箭的钟只过了3年？因为从系B看来：L′AC要缩短10倍，如图所示。从A系—C系考察30光年，B系只有3光年2/17/202329★从B系火箭(动S′系)系考察，系A的钟只过了0.3年，因系B系只过了3年(B系自己的钟)，如图所示。从B系考察，A系作匀速运动，A系钟也慢。时间延缓是相对的2/17/2023304、当动系B（S′系）到达C系旁边时，从系C看，应当是系B的钟到了3年，系C的钟已经到了30年从B系—C系考察，B系3年、C系30年2/17/202331★从B系—C系考察，当B系加速后，虽然有30光年要走，但由于B系加速后是匀速运动，所以从系B看，C系动，30光年缩短为3光年。所以系B钟走了3年。（留意：光年是距离！年是时间！）从B系—C系考察，B系3年、C系30年2/17/202332★虽然从系B看，C系动，30光年缩短为3光年，即系B钟走3年，系B看C动，C

只需走0.3光年，所以，系B看C的钟已经到了30年。（而C看B动，动B钟走3年，C

自己已经走了30光年了。）从B系—C系考察，B系3年、C系30年2/17/2023336、当动系B（S′系）在C系旁边掉头一原速率飞回地球时，系B的速度有+v过渡到-v，地球A的钟已经指示59.7年了★由于掉头时间不长，系B火箭的钟还是指示3年，旁边系C的钟还是指示30年，而地球A的钟已经指示59.7年了，为什么？2/17/202334★当系B掉头完成后，从系B的考察，地球系A在系B的运动前方，系A应当比系C的钟要超前29.7年，而此刻动系B认为C系的钟指示30年，所以，地球A钟应当比系B的钟超前29.7年！动系B：地球A的钟已经指示59.7年了2/17/202335★系B火箭在掉头的过程中，从系B的考察，地球系A钟的超前时间是从0.3年变到59.7年！★即，始终从系B的考察，相当于系B到达C时，A钟为0.3年减速时A钟超前C钟29.7+加速时A钟又超前C钟29.7年，总超前时间是2×29.7年=59.4年！其物理意义是：从0.3年变到59.7年！★从系B的考察，系B来回各3年，共6年；此过程（系B火箭加速之后与掉头之前3年，系B火箭掉头加速之后3年，）地球系A钟只走0.6年，所以，地球系A钟一共走59.4+0.6年=60年。7、从动系B火箭（S′系）来计算地球A系的时间★所以，在非惯性参照系中，时间延缓是一种确定效应，孪生子兄弟的年龄不一样！2/17/202336★地球系A钟0.3年的来历：因为在系B火箭加速之后与掉头之前，B系与A系是相互匀速运动，时间延缓是相对的！所以，系B火箭到达C系时，系C火箭走3年，地球系A走0.3年！★从静系A的考察，系B火箭的掉头是减速与加速过程，是确定动系，使地球系A钟快了30+29.7年；此后，系B火箭匀速走3年(系B时间)，地球系A钟只走0.3年，共59.7+0.3年=60年。与系B火箭计算结果相同。8、从静系A地球（S系）来计算地球A系的时间★地球系A钟59.7年的来历：因为在系B掉头之后，A系要比C系超前29.7年(因为在B系看，B系返回，A系只须要时间0.3年)，而此刻C系要比B系超前30年，所以，地球系A钟快要超前（快）30+29.7年=59.7年！★或者：从静系A的考察，AC之距30光年，光子火箭B一个来回，当然须要60年！——时间延缓的确定效应源于火箭B的减速、加速与掉头——非惯性系！2/17/2023372.4长度收缩的物理意义一、测长和原长SuSAB★长度的测量和同时性的概念亲密相关在S系中运动杆AB的长度，是同时测量（t1=t2）杆的A端和B端的位置x1和x2，并由下式给出事务1：测量A端坐标x1，事务2：测量B端坐标x21、测长：同时发生的两个事务的空间位置间的距离2/17/202338●在S系和S′系都是惯性系的状况下，长度收缩是相对的例如，S′系中静止杆的长度是原长：2、原长（固有长度）3、测长(静系S中)与原长（固有长度—动系S中）的关系与测长对应的该两事务在另一参考系中的空间位置的距离。2/17/2023392.5洛仑兹变换的推导一、第一种推导方法（1）间隔的概念1、三维欧氏空间平移和旋转的不变量——距离不变性2、四维闵氏空间平移和旋转的不变量——间隔不变性（1）间隔不变性——惯性系下坐标变换不变量2/17/202340四维闵氏空间平移和旋转令得2/17/2023413、四维闵氏空间的坐标变换——洛仑兹变换★动系坐标★静系坐标2/17/2023424、四维闵氏空间的速度变换★动系坐标★静系坐标2/17/2023432/17/202344★动系速度合成★静系速度合成2/17/202345二、其次种推导方法1、在S系(静系)中测量P(x,y,z)在S系中测量★即在S系中测量

的x动应当缩短★得2/17/2023462、在S′系(动系)中测量在S′系中测量★即在S′系中测量

的x动′也应当缩短★得2/17/202347★由（1）和（2）：★得★综合以上，得洛仑兹变换2/17/2023482.6变质量的推导1、质量为M爆炸分裂