高中数学选择性必修修二第一课时 等比数列的前n项和公式

1321324.3.2第一课时

等比数列前n项公式等比数列前n项公式课标要求1.索并掌握等比数列的前和公式.2.解等比数列的通项公式与前和公式的关系.

素养要求在探索等比数列的前n项和公式的过程中，发展学生的数学运算和逻辑推理素养.新知探究在信息技术高度发展的今天，人们可以借助手机、计算机等快速地传递有关信息在此背景下，要求每一个人都要不造谣，不信谣，不传”，否则要依法承担有关法律责任.知道这其中的缘由吗？如图所示，如果一个人得到某个信息之后，就将这个信息传给个不同的好友(称为第1轮传播，每个好友收到信息后，又都传给了不同的好友(称为第2轮传播)……，依此下去，假设信息在传播的过程中都是传给不同的人，则每一轮传播后，信息传播的人数就构成了一个等比数列问题如果信息按照上述方式共传播了2轮，那么知晓这个信息的人数共有多少？提示13＋…＋

20

1321＝＝(3

－1).1/15

n－q1n－q1q1nn1nnnnn－q1n－q1q1nn1nnnnnnn.(×)n1nnn11qnn1.等比数列的前n项和公式应用公式求和，首先要判断公比是否为1，再选择公式已知量公式

首项、公比和项数，q1S＝－），≠1

首项、末项和公比，q1S＝anq，≠12.等比数列前n项和公式的函数特征a1当公比q1，设A＝，等比数列的前项和公式是＝(n－1).S是的指数型函数.当公比q1，因为a≠，所以＝，S是的正比例函数.3.错位相减法推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法；该方法一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n和，即若{}公差d≠0的等差数列，{}公比q≠1的等比数列，求数列{bc}前n项和时，可以用这种方法.拓展深化[判断]1.求等比数列的前n项和可以直接套用公式＝

a11qn1－q提示当q1，＝.2.等比数列的前n项和不可以为0×)提示可以为0比如，－，，－，1－和.3.数列{a}前n项和S＝＋b(a≠0，a≠，则数列{}定是等比数列(×)a11qna1a1提示由于等比数列的前n项和为＝＝－q.以发现b－1时，数列{}等比数4.求数列{[训练]

n

}前n项和可用错位相减法.√)2/15

8n1410282102102129102nn23696138918n1410282102102129102nn2369613891nnn1n2243192111.在等比数列{}，若a＝，a＝，该数列的前项和＝()－

1

－

129C.2－

1

D.2－

12111111解析易知公比q，则＝＝－1答案B2.设等比数列{}前项和为S，若＋＝S，则公比q＝)或－1C.－1

B.11D.解析由S＋S＝得＝S－S，即aa＋＝＋a＋a＝(a＋＋，则q6＝1q答案A[思考]1.若等比数列{}公比q不为1，其前n项和为＝Aq

＋B，则与B有什么关系？提示A－.2.等比数列{a}前n项和公式中涉a，a，，S，五个量，已知几个量方可以求其它量？提示三个.题型一等比数列前n和公式的直接应用【例1

求下列等比数列前8的和：1(1)，，，…；1a＝27，a＝，q<0.解

1(1)为a＝，＝，3/15

21256822432431931q81881∴S＝10010078824n21256822432431931q81881∴S＝10010078824n144541255所以S＝＝.11由a＝27a＝，可得＝27·q

8

.1又由q，可得q－，a1a8qa9所以S＝＝＝q1

127243640＝1813

.规律方法

求等比数列的前n项和，要确定首项，公比或首项、末项、公比，应注意公比q1是否成立【训练1

求数列{－n＋

}前00的和；777在1与之间插入n个数，组成所有项的和为的等比数列，求此数列的项数解

(1)法一

a＝(－

3

＝－1q－1[1－1100]1（1

＝0.法二数列{－1)}－11－，，…，∴S＝50×－1＝0.设此数列的公比为q易知q≠1)1则7解得1477＝，8

故此数列共有5项.，题型二等比数列前n和公式的综合应用【例2

5已知一个等比数列{}a＋＝，＋＝，求a和.a1q210解设等比数列的公比为q则a1q54/15

4132141252nn3131q1122n23n3234132141252nn3131q1122n23n323q21q1q1180154n1q2，即1q2＝.

②

①∵a≠01q

2

≠0②①得q

3

1＝81∴q，∴a＝8∴a＝×，31∴S＝＝.1【迁移1

设数列{}等比数列，其前n项和为，且＝，求此数列的公比q.解

当q1，＝＝，符合题目条当q≠1时，

a11q3＝3aq

2

.因为a≠0所以1qq23qq2q1，1解得q－.1所以此数列的公比q－.【迁移2

在等比数列{}，S＝30，＝，求S解

若q1则∶S＝∶，而事实上，S∶＝∶，故q≠1.所以

30a11q3155②

①1q两式作比，得＝，q315解得或515n从而S＝＝(5

－1)5/15

111801511n6nn1q1n11qnn＋2n111801511n6nn1q1n11qnn＋2nn1n5nnm1nnnnnn1（25na11qm5566或S＝＝1规律方法等比数列前n项和公式的运算应用等比数列的前项和公式时，首先要对公比＝或≠进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论.当q＝1时，等比数列是常数列，所以＝na；当≠1时，等比数列的前和Sa11qn有两个公式.已知，与时，用S＝比较方便；当已知，q与

na1anq时，用S＝比较方便【

训

练

2

】等比数列{}前n项和为，公比≠1.若a＝1，且对任意的n∈N*都有a＋a＝2a，则＝()A.12B.20C.11已知是等比数列{}前n项和，若存在m∈N*，满足1＝，则数列{}公比为()－2B.2C.－3D.3

＝9，

a2mam解析a＋＝2等价于a＋aq2a＋＋因a≠0故q2q20即(qq＝0.1×[1（25]因为q1所以q－，故＝＝，故选C.设数列{}比为q若q1则＝2与题中条件矛盾，故1.a11q2m∵＝＝q

＋19∴q

＝8.1q6/15

a1qm11amnnnnnnn11n123123nnnnnna1qm11amnnnnnnn11n123123nnnnnnnnnnn1nnnnnnnna2ma1q2m∵＝＝＝8，∴m3∴q

3

＝8∴q2.答案(2)B题型三等比数列前n和公式的函数特征应用【

例

3

】数列{}前n项和＝3n－2.求{a}通项公式，并判断{a}否是等比数列.解

当n≥2时，a＝－S＝n－n－2)2·3n1－

.当n1，＝＝3121适合上式.，∴a2×3n1n≥2.法一由于a＝1a＝，＝18显然，a，a，不是等比数列，即{}等比数列.法二由等比数列{}比≠1的前项和＝An足的条件为A－，对比可知S＝n22－1故{}等比数.＝1，规律方法已知S，通过－1n≥2S－S.－

求通项a，应特别注意n2时，a＝若数列{}前n项和＝q

n

－1)，其中≠0，q≠0且q≠1，则{a}等比数列【训练3

若{}等比数列，且前n项和为＝3

1

＋，则t________.解析显然q1此时应有S＝A(q－1)1又S＝×3＋t∴t＝－.3答案－

13题型四利用错位相减法求数列的前n项和【例4

求和：S＝x＋2

＋3x3

＋…＋nxn

≠0).7/15

nnnn112n）2n12xnnn2n2222nn22232n12n22222nnnnnnn112n）2n12xnnn2n2222nn22232n12n22222nnn2n2n2n21n22n12nn1n解

当x1，S＝23…＋n

nn）；2当x≠1时，S＝＋2x2＋…nxS＝x22＋3x4…(nxnn1∴(1＝＋

＋x3

＋…＋xn

－n1＝

x1xn－nxn1

，x1xn）∴S＝－x1综上可得，Sx1xn－x≠1x≠0.规律方法一般地，如果数列{}等差数列，{}公比不为1等比数列，求数列{}前n项和时，可采用错位相减法.【训练4

求数列项和解

12设S＝＋＋…＋，1n1则有S＝＋＋…＋＋，2n111两式相减，得S－＝＋＋＋…＋－

n2n

，112nn即S＝－＝－－1

.1n∴S＝2－＝－n∈N

*).一、素养落地1.通过学习等比数列前n项和公式及其应用，提升数学运算和辑推理素养2.在等比数列的通项公式和前项和公式中，共涉及五个量：，，nq，S，其中8/15

1(54145a2nn2qa2q4422n36n12a315n1n12n1(54145a2nn2qa2q4422n36n12a315n1n12nn13331首项a和公比q为基本量，且“知三求二”.3.前n项和公式的应用中，注意前项和公式要分类讨论，即当≠和q＝1时不同的公式形式，不可忽略q1的情况.二、素养训练1.数列1，5，55，4，…的前10项和()1

510

)

B.

14

(5101

)C.

14

(－1

1D.

(5111)1510解析S＝＝1010

－1).答案B2.设等比数列{}公比q＝2，前n项为，则等于()A.2

B.4C.

152

17D.解析

a21由等比数列的定义，S＝＋a＋a＋＝＋a＋aqq2得＝＋1＋q

2

15＝答案C3.等比数列{a}，a＝，＝64，则{a}前5项的和是________.解析∵q

3

a6）＝＝，∴q2从而a＝2.∴＝＝答案624.已知等比数列{a}，a＝，q＝2，前n项和＝，则n＝________.212n解析S＝＝126即n128故n1，＝6.答案65.在等比数列{}，a＝，S＝，求和q.解

由题意，得若q，则S＝3a＝，符合题9/15

31q3333nn21（12nn1331q3333nn21（12n12342n3此时，q1＝a＝2.若q≠1则由等比数列的前n项和公式，a11q31q3得S＝＝＝，解得q－此时，a＝a22×－2)＝8.综上所述，q12q－2＝8.基础达标一、选择题1.设数列{－1)}前n项和，则等于()n[

（1n1]2

B.

（1n112C.

（1n12

（1n1D.（1[1（1n]（1n解析S＝＝答案D2.在各项都为正数的等比数列{}，首项a＝3，前3项和为21，则a＋＋等于()A.33C.84

B.72D.189解析由S＝＋＋q

2

＝21a＝3得q

2

＋q6∵，∴q2.∴a＋a＋＝2(a＋＋＝q2＝22×＝答案C3.等比数列{a}，aa＝，＝，则＋a＋a＋…＋a＝()1

B.

4n13C.

1－（4n3

1－（nD.10/15

12422.nn3n3n3411311nnnnn36an81681q1nan212422.nn3n3n3411311nnnnn36an81681q1nan2116244nn368n1解析

由aa＝1得＝，又a＝4故2＝，＋＋＋a＝

14n14

＝4n13答案B4.已知等比数列{a}前n项和为，－＝78，＝，设b＝log，那么数列{}的前10项和为)A.log

B.

692C.50

解析由－＝78得(

3

－1)78又＝a＋＋2

)＝39解得＝＝，故a＝3b＝n所以数{}10和为答案D5.已知{a}首项为1的等比数列，是其前n项和，且9＝S，则数列的前5项和等于)

15或5

31B.或C.

3116

15D.91q3解析设数列{}比为，显然≠，由已知得＝，解得q2∴数列首项，为公比的等比数列，前和为

31＝.1答案C二、填空题7636.等比数列{a}各项均为实数，其前n和为，已知S＝，S＝，则＝________.解析由题意设数列{}项为a，公比(q1)11/15

a11q31q41q448n＋1nnnn1na11q31q41q448n＋1nnnn1nnn11n13nnnt12213321tn44tnn221nn则

＝解得a11q663＝，

，1所以a＝a7×232.答案327.已知正项数列{a}足a

1

－6a＝aa若＝2，则数列{}前n项和＝________.解析∵a－a，＋∴a－)(a＋)＝0.＋＋∵a>0∴a＝3a＋又a＝2∴{}项为2公比3等比数列，213n∴S＝＝

n

－1.答案3n－18.若等比数列{}前项和为S＝解析法一a＝S＋t，a＝S－S＝3，a＝－＝m则a2a，所以9mmt)，m即m－4，故＝－4.

n－

m＋t(其中m，t是常数)，则＝法二S＝

n

1t·4

n

＋t，1因为{}比数列，故＝－t，则＝－答案－4三、解答题9.在等比数列{}，a－＝2，且2a为和a的等差中项，求数列{}首项、公比及前n和.解

设数列{}比q≠12/15

11132nnnnn23nnnnn1n11113123111132nnnnn23nnnnn1n111131231nnnn1nnnnnnnna12由已知可得3a1a1q2所以

q124q3，

①②解②得q3＝由于aq＝，因此q1合题意，应舍去故公比q3首项＝1.a11qn1×3n所以数列{}nS＝＝＝(n∈q1

*

10.已知数列{}前项和为，数列差为的等差数列，且＝3a＝5.求数列{}通项公式；设b＝a·3

n

，求数列{}前n项和T.解

(1)列

1等差数列，∴

n

＝a＋n1可得S＝(a＋－，a＋a＝2(a＋，a＋＋＝a＋2)且a＝3a＝5.得a＝1.∴＝n.∴n≥2时，a＝S－S＝－

2

－n1)2

＝2n＝1也成立)∴a＝2n1.b＝a·3nn1)·3n∴数列{}项T＝＋×3

＋5×3

3

…＋(2n1)×3

n

，∴3T＝3

＋3×3

3

＋…－×3

n

＋(2n

n

，T32(333n1)×3

×

93n）31

(21)×3n1可得T＝＋(－1)×3n.能力提升13/15

n11n…nn1nnnn11n…nn1nnnnnn＋1nnnnnnnnn1nn12221nnnn4n1nn12n3nn320214202032021数列a，－，a－a，…，a－a，…是首项为1，公比为2的等比数列，那么an

＝________.解析a－a＝a－

n12

n

，即

a2a1，a3a222anan2n1.各式相加得a－a＝2…＋21n2故a＝a＋n22－1(n∈*答案2

n

－112.已知数列{}前项和为，＝t，点(S，a)在直线y＝3＋1上.当实数t为何值时，数列{}等比数列？在(的结