第一节多元函数的基本概念

第一节多元函数的基本概念第一页，共三十页，2022年，8月28日预备知识多元函数的极限第九章多元函数微分法

多元函数的连续性第一节上页下页返回结束多元函数的基本概念多元函数的概念第二页，共三十页，2022年，8月28日1.邻域一、预备知识设P0(

x0，y0)

是xoy平面上的一个点，δ是某一正数，与点P0(x0，y0)的距离小于δ的点P（x，y）的全体，称为点P0（x0，y0）的邻域，记为U(P0,δ)，即上页下页返回结束第三页，共三十页，2022年，8月28日2.区域（1）内点和开集设E是平面上的一个点集，P是平面上的一个点。如果存在点P的某一邻域U(P)⊂E，则称P为E的内点.E的内点属于E.如果属于点集E的点都是内点，则称E为开集.上页下页返回结束第四页，共三十页，2022年，8月28日（2）边界点和边界如果点P的任一个邻域内既有属于E的点，也有不属于E的点（点P本身可以属于E，也可以不属于E），则称P为E的边界点.E的边界点的全体为E的边界.上页下页返回结束第五页，共三十页，2022年，8月28日说明：E的边界点可能属于E，也可能不属于E.例如,对于集合E的边界为其中边界点都不属于E，而边界点都属于E.上页下页返回结束第六页，共三十页，2022年，8月28日D（3）连通设D是点集，如果对于D内任何两点，都可用折线连接起来，且该折线上的点都属于D，则称点集D是连通的。（4）开区域和闭区域连通的开集称为区域或开区域．开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域．上页下页返回结束第七页，共三十页，2022年，8月28日例如，开区域闭区域上页下页返回结束第八页，共三十页，2022年，8月28日

整个平面

点集

是开集，

是最大的开区域,

也是最大的闭区域；但非区域.oE⊂U（O，r），其中O是坐标原点，则称E为有界集.否则称E为无界集.（5）有界集与无界集对于平面点集E

,若存在某一正数

r,使得上页下页返回结束第九页，共三十页，2022年，8月28日是有界闭区域；是无界开区域．例如，上页下页返回结束第十页，共三十页，2022年，8月28日（6）聚点内点一定是聚点；说明：边界点一定是聚点；设E是平面上的一个点集，P是平面上的一个点，如果点P的任何一个邻域内总有无限多个点属于点集E，则称P为E

的聚点。点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E．上页下页返回结束第十一页，共三十页，2022年，8月28日3.n维空间设n为取定的一个自然数，我们用Rn表示n元有序数组的全体所构成的集合，称其为n维空间，即上页下页返回结束第十二页，共三十页，2022年，8月28日从而可定义n维空间中的领域、内点、边界点、区域、聚点等概念．下面给出

n维空间中两点间距离公式的定义.特殊地当时，便为数轴、平面、空间两点间的距离．设为n维空间中两点，定义这两点的距离公式为定义：上页下页返回结束第十三页，共三十页，2022年，8月28日二、多元函数的概念引例:圆柱体的体积

长方体的质量

三角形面积的海伦公式记密度为d上页下页返回结束第十四页，共三十页，2022年，8月28日设D是R2的一个非空子集，若存在对应法则f

，点集

D称为函数的定义域

;

数集称为函数的值域.则称f为定义在

D

上的

二元函数,记作上页下页返回结束对任意的,总有唯一确定的z值与之对应，定义x,y称为自变量,z

称为因变量;第十五页，共三十页，2022年，8月28日例如，二元函数定义域为圆域

2.二元函数

z=f(x,y),(x,y)D图形为中心在原点的上半球面.的图形一般为空间曲面

.上页下页返回结束注：

1.类似可定义三元函数以及三元以上的函数.二元及二元以上的函数统称为多元函数.第十六页，共三十页，2022年，8月28日例1

求的定义域．解所求定义域为上页下页返回结束第十七页，共三十页，2022年，8月28日三、二元函数的极限定义：

为D的聚点，若D中的点P(x,y)按任意方式趋于P0时，上页下页返回结束函数f(x,y)总趋向于某个确定的数值A，则称A为函数时的极限（二重极限），f(x,y)当或或设二元函数f(P)=f(x,y)的定义域为D，P0

(x0,y0)定义(略)记作第十八页，共三十页，2022年，8月28日上页下页返回结束注：1.

上述二重极限存在与否与f(x,y)在P0

(x0,y0)是否有定义无关.表示点P

以任何方式趋向于时函数的极限值都等于A.选择一条路径，使得极限不存在；故验证二重极限不存在，方法有二：选择不同路径，使得极限不相等.

2.第十九页，共三十页，2022年，8月28日解

沿曲线不存在.取极限故原极限不存在.例1.

验证极限上页下页返回结束第二十页，共三十页，2022年，8月28日取P(x,y)沿直线y=kx3

趋于点(0,0),则有在点(0,0)的极限.k

值不同，极限值不同!在(0,0)点极限不存在.例2.

讨论函数上页下页返回结束解：第二十一页，共三十页，2022年，8月28日二元函数极限的四则运算法则、夹逼准则等均与一元函数类似，可借助一元函数求极限的方法求一些简单的二元函数的极限.例4.

求极限：解：原式上页下页返回结束例3.

求极限：解：（注：不能用取特殊路径来求极限值！）第二十二页，共三十页，2022年，8月28日解

原式例5.求极限上页下页返回结束有理化注：

二元函数求极限不能用洛比达法则.第二十三页，共三十页，2022年，8月28日例6.函数解：由夹逼准则，得，求第二十四页，共三十页，2022年，8月28日四、二元函数的连续性设二元函数f(P)=f(x,y)的定义域为

D,如果则称函数f(x,y)在点P0

(x0,y0)连续.若f(x,y)在点上页下页返回结束定义：P0

(x0,y0)不连续,则称P(x0,y0)为函数的间断点.第二十五页，共三十页，2022年，8月28日例如,函数在点(0,0)极限不存在,又如,函数上间断.故(0,0)为其间断点.在圆周上页下页返回结束见例2注：二元函数的间断点可能为孤立点或一条曲线.第二十六页，共三十页，2022年，8月28日上页下页返回结束区域上连续函数的图形是一张没有点洞，也没有裂缝的连续曲面.如果函数在D

上各点处都连续,则称此函数在D上连续.定理

一切多元初等函数在定义区域内连续.第二十七页，共三十页，2022年，8月28日性质1（有界性与最大最小值定理）闭区域上多元连续函数的性质:上页下页返回结束在有界闭区域D上的多元连续函数，必在D上有界，且能取得它的最大值和最小值.性质2（介值定理）在有界闭区域D上的多元连续函数必取得介于最大值和