第二节一阶线性微分方程

第二节一阶线性微分方程第一页，共二十五页，2022年，8月28日一、可分离变量的微分方程形如(1)的方程称为可分离变量的微分方程，其中f(x)和g(y)都是连续函数．例:第二页，共二十五页，2022年，8月28日这叫做分离变量。就是原方程的通解．

上式两边积分，得到

微分方程的解可以用隐函数的形式表示第三页，共二十五页，2022年，8月28日

若存在y0，使g(y0)=0，一般而言，这种解会在分离变量时丢失，且可能不含于通解中。应注意补上这些可能丢失的解．

这时常数函数y=y0也是方程(1)的解．第四页，共二十五页，2022年，8月28日例1解当y≠0时，方程可改写为

两边积分，所以原方程的通解为

（c为任意常数）

此外，y=0也是该方程的解．

注：解y=0没有包含在通解中。得到第五页，共二十五页，2022年，8月28日例2解当y≠0时，方程可改写为

两边积分，或得到第六页，共二十五页，2022年，8月28日此外y=0也是方程的解．其中c为任意常数.(2)若允许c=0

，则此解也含于上式中．所以方程的通解为

第七页，共二十五页，2022年，8月28日例3解两边积分由初值条件得所以方程满足所给初值条件的特解为:得方程的通解为第八页，共二十五页，2022年，8月28日例４解得方程的通解为得所以方程的通解为:求解Logistic方程两边积分第九页，共二十五页，2022年，8月28日二、齐次微分方程

形如(3)的微分方程称为齐次微分方程．例如:第十页，共二十五页，2022年，8月28日代入

分离变量两边积分，得求解方法：便得通解。第十一页，共二十五页，2022年，8月28日例5解原方程可以改写成原方程变为当u≠0时分离变量得第十二页，共二十五页，2022年，8月28日得即两边积分当u＝0时，y=0也是方程的解。第十三页，共二十五页，2022年，8月28日(4)两边积分，得代回原变量得原方程的通解为此外u=0时，y=0(x≠0)也原方程的解.例5解第十四页，共二十五页，2022年，8月28日三、一阶线性微分方程

形如的方程称为一阶线性微分方程，称它为一阶齐次线性微分方程，否则，称它为一阶非齐次线性微分方程．

(5)的求解法：常数变易法(5)(6)称它为非齐次微分方程(5)对应的齐次线性微分方程．第十五页，共二十五页，2022年，8月28日例2已求得方程(6)的通解为

(7)显然，如果（7）中的c恒保持为常数，则它一定不是（6）的解。(8)的通解，它的导数为为此，我们将c换成x的未知函数c(x)，设想方程（5）有形如第十六页，共二十五页，2022年，8月28日(9)将(8),(9)代入方程（5）得(8)得第十七页，共二十五页，2022年，8月28日两边积分，得将它代回到(8)式(10)得即得方程(5)的通解为

上述这种将对应的齐次线性微分方程通解中的任意常数c换成未知函数c(x)求非齐次线性微分方程通解的方法，称为常数变易法．第十八页，共二十五页，2022年，8月28日例6解两边积分对应的齐次线性微分方程为分离变量得齐次线性微分方程的通解为设非齐次线性微分方程的通解为第十九页，共二十五页，2022年，8月28日例6设非齐次线性微分方程的通解为代入原非齐次线性微分方程第二十页，共二十五页，2022年，8月28日例6设非齐次线性微分方程的通解为于是非齐次线性微分方程的通解为第二十一页，共二十五页，2022年，8月28日例6也可以直接利用通解公式（10）求解根据公式(10)第二十二页，共二十五页，2022年，8月28日所以原方程的通解为第二十三页，共二十五页，2022年，8月28日例7解根据公