第一节集合与函数

第一节集合与函数第一页，共五十六页，2022年，8月28日前言上册（一元函数）极限导数、微分积分微分方程求解下册（多元函数）极限偏导数、全微分重积分无穷级数（空间解析几何）第二页，共五十六页，2022年，8月28日极限（高等数学的基本方法）导数（特殊极限）定积分（特殊极限）不定积分一元函数微积分结构互为逆运算计算方法第三页，共五十六页，2022年，8月28日第一章函数与极限第四页，共五十六页，2022年，8月28日第一节映射与函数

集合二函数三函数的性质(MappingandFunction)四函数的运算及初等函数第五页，共五十六页，2022年，8月28日

微积分是一门以变量为研究对象、以极限方法作为研究工具的数学学科，应用极限方法研究各类变化率问题和几何学中曲线的切线问题，就产生了微分学；应用极限方法研究诸如曲边梯形的面积等涉及到微小量无穷积累的问题，就产生了积分学。英国数学家牛顿和德国数学家莱布尼兹同时发现了微积分，微积分研究的主要对象就是函数。第六页，共五十六页，2022年，8月28日第七页，共五十六页，2022年，8月28日设是任意两个集合,任取组成一个有序对以这样的有序对的全体组成的记为集合称为集合与集合的直积,且如即为面上全体点的集合,常记作两集合间的直积或笛卡尔乘积第八页，共五十六页，2022年，8月28日区间设且开区间闭区间半开区间第九页，共五十六页，2022年，8月28日无限区间特别地第十页，共五十六页，2022年，8月28日邻域定义设与是两个实数,且数集称为点的邻域.记为其中,叫做该邻域的半径.点叫做该邻域的中心,第十一页，共五十六页，2022年，8月28日记为即点的去心的邻域,以为中心的任何开区间均是点的邻域,记为).(aU第十二页，共五十六页，2022年，8月28日函数的定义反函数反函数与直接函数之间关系基本初等函数复合函数函数的性质单值与多值有界性单调性奇偶性周期性初等函数函数（Function)第十三页，共五十六页，2022年，8月28日函数概念定义设和是两个变量,是一个给定的数集.如果对于每个数变量按照一定的法则总有确定的数值和它对应,则称是的函数,记作因变量自变量其中,数集称为函数的定义域,记为即对按照对应法则总有确定的值与之对应,称为函数在点处的函数值.第十四页，共五十六页，2022年，8月28日因变量与自变量的这种依赖关系通常称为函数关系.函数值全体组成的集合称为函数的值域,记为或即注:构成函数的要素为:定义域与对应法则第十五页，共五十六页，2022年，8月28日定义域的确定:对实际问题,根据问题的实际意义确定;对抽象函数表达式,约定:定义域是使算式有意义的一切实数组成的集合,这种定义域又称为函数的自然定义域.例如,第十六页，共五十六页，2022年，8月28日函数的表示法:表格法、图形法、公式法(解析法).函数的图形:坐标平面上的点集称为函数的图形.从函数的定义可见,自变量在定义域内任取一个数值,对应的函数值总是只有一个,这种函数称为单值函数.第十七页，共五十六页，2022年，8月28日单值函数与多值函数多值函数:例如,圆的方程在区间上不能确定是的单值函数.对多值函数,只要附加一些条件,就可以化为单值函数,这样得到的单值函数称为多值函数的单值分支.如对上例,在附加条件或后,可得到下面两个单值分支或第十八页，共五十六页，2022年，8月28日例1求函数义域.的定第十九页，共五十六页，2022年，8月28日函数的表示法根据函数的解析表达式的形式不同,函数常见以下三种:显函数函数由的解析表达式直接表示.例如隐函数关系由方程来确定.例如,函数的自变量与因变量的对应第二十页，共五十六页，2022年，8月28日在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.第二十一页，共五十六页，2022年，8月28日

(1)符号函数几个特殊的分段函数举例1-1xyo第二十二页，共五十六页，2022年，8月28日(2)取整函数y=[x][x]表示不超过的最大整数

12345-2-4-4-3-2-1

4321-1-3xyo阶梯曲线第二十三页，共五十六页，2022年，8月28日有理数点无理数点•1xyo(3)狄利克雷函数第二十四页，共五十六页，2022年，8月28日(4)取最值函数yxoyxo第二十五页，共五十六页，2022年，8月28日函数的有界性设函数的定义域为数集若使得恒有成立,则称函数在上有上界若使得恒有成立,则称函数在上有下界第二十六页，共五十六页，2022年，8月28日M-Myxoy=f(x)X有界无界M-MyxoX第二十七页，共五十六页，2022年，8月28日函数的有界性有下界.在上有界在上既有上界又例如,在内,恒有或故函数有界,且是它的上界,是它的下界.第二十八页，共五十六页，2022年，8月28日例2证明函数在上是有界的;函数在上是无界的.第二十九页，共五十六页，2022年，8月28日xyoxyo函数的单调性第三十页，共五十六页，2022年，8月28日偶函数yxox-xyxox-x奇函数函数的奇偶性第三十一页，共五十六页，2022年，8月28日例3判断函数的奇偶性.第三十二页，共五十六页，2022年，8月28日（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.函数的周期性第三十三页，共五十六页，2022年，8月28日例4设当是有理数时当是无理数时(狄利克雷函数)求并讨论其性质.第三十四页，共五十六页，2022年，8月28日例5若对其定义域上的一切恒有则称对称于证明:则是以为周期的周期函数.对称于及若第三十五页，共五十六页，2022年，8月28日幂函数、指数函数与对数函数1.幂函数(是常数).(1)情形;(2)情形;2.指数函数(是常数,且),其中以为底数3.对数函数(是常数,且),的指数函数记为其中以为底数的对数函数简记为叫做自然对数函数,第三十六页，共五十六页，2022年，8月28日4.三角函数正弦函数余弦函数正切函数余切函数其中自变量以弧度作单位来表示.此外,尚有正割函数余割函数第三十七页，共五十六页，2022年，8月28日DWDW直接函数与反函数第三十八页，共五十六页，2022年，8月28日求反函数：直接函数反函数互为反函数第三十九页，共五十六页，2022年，8月28日

直接函数与反函数的图形关于直线对称.第四十页，共五十六页，2022年，8月28日5.反三角函数反正弦函数第四十一页，共五十六页，2022年，8月28日反余弦函数第四十二页，共五十六页，2022年，8月28日反正切函数第四十三页，共五十六页，2022年，8月28日反余切函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数第四十四页，共五十六页，2022年，8月28日复合函数引例设定义设函数的定义域为而函数的值域为若则称函数为的复合函数.注:其中自变量,中间变量,因变量(1)函数与函数构成的复合函数即通常记为第四十五页，共五十六页，2022年，8月28日复合函数(2)不是任何两个函数都可以复合成一个复合函例如数的.(3)复合函数可以由两个以上的函数经过复合构例如成的.第四十六页，共五十六页，2022年，8月28日例6设求第四十七页，共五十六页，2022年，8月28日例7将下列函数分解成基本初等函数的复合:第四十八页，共五十六页，2022年，8月28日例8设求第四十九页，共五十六页，2022年，8月28日函数的运算设函数的定义域依次则我们可以定义这两个函数的下列运算:和(差)积商第五十页，共五十六页，2022年，8月28日例9设函数的定义域为证明必存在上的偶函数及奇函数使得第五十一页，共五十六页，2022年，8月28日初等函数幂函数指数函数对数函数三角函数反三角函数以上五类函数统称为基本初等函数.由常数和基本初等函数有限次的函数复合步骤经过有限次的四则运算和所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.第五十二页，共五十六页，2022年，8月28日注意