二项式定理题型及解题方法

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共14

二项式定理题型及解题方法二项式定题型及解题法【学目标【要梳理要点：二式定1。定义(a)

n

0n

n

C

1n

n

rn

nb

rCn

n

nN

*,

(a)

n的二C

rn

n

r

Tr+1r+1Tr

C

rn

b

r

r，2,2．二项式(n的开式特点1r+1为Crn次数na降nb0a次数和均为n;3.两个常用二项开式①(a

C

a

a

r

r

an

r

n

b

N

*(1)

x

x

r

x

r

要点、二展开的通公式Tr

Crn-rrr）n是Cb要点释：

rn第2页

共14

项Cranbr和(nnra+b)

二项式定理题型及解题方法n

rn

na

r

,和b（2)a+b

nn

Tr

rCrar

bb要点：二式系及其质1.杨辉三角二项开式推导年(a)

n当n依1(a

1(a)

2……1(a)(a)

3314641(a)(a)

51016151项式数的也角而且除1以(中anr

r(a+b)展n中nbr

(a)()

()这n个括号r个r，即ar

()

的展式中项的项式数C、nn

具有下性："的CCn二项式系数在前半部分逐渐增大在中n.数Cn

，

,为n

即C

第3页

共14

n二项式定理题型及解题方法nn.C0C4135nn要点释：项Crabr的

C

rn

Crabr(aTr

r

C

r

a

b

r

r

(rCrn3。(a)

展开中pbqcr

的系求法,,r

的整且()

)]

r

()

c

r

r

C

a

bc

r(a)

a

b

c

为32C5

10!要点释：,利用二.要点：二式定的应1.求展开式的指的项特定（或系).2.利用赋值进行有关数和a、bf()nx2afn

x

则af(1))02n

n则013f(1)f）a024ff13

()n

n3.二项定理明整问题余数求法3

n

n能64(

*

4.有关不等问题,可应用二项式第4页

共14

023555222245552252二项式定理题型及023555222245552252(缩)(放大(1x)nx②)n

n

x

；(：2)5。进行近计算

的次幂,)|x|:x)

n

nx；(1)

n

x

【典例题

0；类型一、

求二展开的特项或定项数例x

:

)5

5

3331(2x)3(2)xxx33)(4x32x32322

5

x

2

x8x

32x

[5

3

5

5

3

4

25

(4

3

3

2

35

(4

3

2

3

45

(4

3

)(

4

55

5

]

(1024

x12

5760

9

4320

6

3

243)2

243x83210

的,是举一三：第5页

共14

6632—rr6632—rr-r2xx.

12xx6xx

x3

[C

06

)

6

16

5

26

)

4

36

(2)

3

46

(2)

2

56

(2)

66

]

13

(64x

6

192

5

x

4

x

3

60x

2

例．试求：3的展5x6xxr＋1

＝Cr(3)5(

x2

rrCr15r－5，解得－

2

r5

x

Crx)r＋1

)x

r

－1）C

r

x

r－3故(

4

项,所,举一三:

r()x

x

3

x

3的系数Tr

r9

2

9

)x

r

r

9

rr

x

3为C5C49x

3为5

59

第6页

共14

(()99102x2x1r21024C(()99102x2x1r21024C10685T9101020xx9(

3

)

15

4项。

52

3415

(

)315

156

52

r

x)33x39r2r()()rrx

9

rr

T6

（2)(3

)

9

项T95

x

T5x6

9

152

x

31例．x2的展2x

项为rx)1010

1

r

,就xTr

rx2)10

1

r5rr2

令20rZ，2，4时r2T

45x2T4x87

5

105x

45256

1x2的展项；12x105x151032

x举一三:第7页

共14

(n(n(r5254

二项式定理题型及解题方法得8r+1T

r

cr8

r

16r4

是r=0Tx

类型、

二项之积三项展开题例．(1)

2

(1)

5

中x3的.)

2

x3，1为x为,x

为x

r

rn

r.(1(1)5(1x2

5

x)

5的通

kx(55

k

1

x

3，3

x

x

为x时,为

即T3

25

x

2

x

2

为x

为T

x

)

2的

r

2

r

r

x)

5的通式

5

C

5

x

（k0,1,2,3,4,5

)

r

而3的系为3r2rr

举一三：(1

2

5

x

】x)

5的通式

kx（k0,1,2,3,4,555第8页

共14

,所T()(,所T()(）r2r222xx11为x32xx45

3为为2

15

x

1

中x3为x）54x

．x))4＝x（1-2)(x24r23

＝4例。8x5看成,解

28rr

'

k

krkr

kr

r

,.kkk5

为C

：)8]8(1)1)7828

)

6

2

)

2

38

)

5

2

)

3

78

2

)

7

88

(x

2

)

8

x

5

28=(1+x+x2（1+x+x

88个52其余11个x这种方式共8

16

1，其余个3186

x恰51有5

xC

高考,举一三：

所3－62

10

x

4

pr

Cr(px)rrxr)

r

第9页

共14

rrrrr812nn二项rrrrr812nn）的C(rr

Cr10

r

r。≤10.rrr4

4

C

3

C1

p

p

21045(p

)210

510

4

类型：有二项系数性质算的题例。

71－2x)7

）r+1

①②

r!(7)!r!(7)!

rr

(r1)!(7(r1)!(71)!

rr

，1r

16r313r

即4r3

(1－2x7T和T5C4C357C6C177T4(xx5

4

rrrr举一三：x)

10,Tr

12r(n()r()()

r

x

n第10页

共14页

nnn433，577二nnn433，5772∴rn5n,

n

2285210C1055

n14N

+.

为CCn

n!n!2n!nn5!(2n=147.时，

14

)3432

5347

35aT2

4

4类型、利赋值进行有关和。例。17+ax+ax2x7，07+）a+a+a；(3+a+a|.1715702令，则a+a+a+a=―103467a+a―a+a+a―a77030（x=9a所a=0=13a157

2

得a06

7a,aa，a,a小于024第11页

共14页

0246二项式定理题型及解题方法0246｜+｜+|=+a+a+a―0746137:7a｜+|a0707=2187。7

.根据题目要求般令x=0令可得举一三:知x)7xx2

x

）12

）a(3)|a|71301

当(1)(1a027∴a012

7

当时aa012

7令02

7

令a467

②得：a)37

15

12

：,，a,a,均为135702)042

7

|aaa|070123

7a))6137举一三:

：

n

1n

2

n

2n

2

n

2

C

nn

3

n

】

C

1

2

2

C

3)

n01第12页共14页

n

n

二项式定理题型及解题方法当时,的值02令012

2

n

2(22

∴2

n

n类型、项式理的合运例8.求3

n

（N

）64.3n化2)

n

(3

2

)

n

n

0n

n

1n

n

nn

2

nn

nn3

n