第三章导数及其应用

导数及其应用第三章导数及其应用课堂练习一、选择题1.函数的单调递增区间是 ()A.B.(0,3)C.(1,4)D.答案D2.已知直线y=x+1与曲线相切，则α的值为()A.1B.2C.-1D.-答案B3.已知函数在R上满足，则曲线在点处的切线方程是()A.B.C.D.答案A4.若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于 ()A．或B．或C．或D．或答案A5.设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为 ()A．B．C．D．答案A6.曲线在点处的切线方程为()A.B.C.D.答案B7.若函数的导函数在区间上是增函数，则函数在区间上的图象可能是 ()yabyababaoxoxybaoxyoxybA．B．C．D．答案:A8.若满足2x+=5,满足2x+2(x－1)=5,+＝ ()A.B.3C.D.4答案C9.设函数则 ()A在区间内均有零点。B在区间内均无零点。C在区间内有零点，在区间内无零点。D在区间内无零点，在区间内有零点。二、填空题10.若函数在处取极值，则答案311.若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是.解析解析由题意该函数的定义域，由。因为存在垂直于轴的切线，故此时斜率为，问题转化为范围内导函数存在零点。解法1（图像法）再将之转化为与存在交点。当不符合题意，当时，如图1，数形结合可得显然没有交点，当如图2，此时正好有一个交点，故有应填或是。解法2（分离变量法）上述也可等价于方程在内有解，显然可得12.函数的单调减区间为.解析考查利用导数判断函数的单调性。，由得单调减区间为。亦可填写闭区间或半开半闭区间。13.在平面直角坐标系中，点P在曲线上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为.答案:14.若曲线存在垂直于轴的切线，则实数取值范围是_____________.答案15.设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为,令，则的值为.答案-216.设是已知平面上所有向量的集合，对于映射，记的象为。若映射满足：对所有及任意实数都有，则称为平面上的线性变换。现有下列命题：①设是平面上的线性变换，，则②若是平面上的单位向量，对，则是平面上的线性变换；③对，则是平面上的线性变换；④设是平面上的线性变换，，则对任意实数均有。其中的真命题是（写出所有真命题的编号）答案①③④17.曲线在点（0,1）处的切线方程为。答案三、解答题18.设函数在两个极值点，且（I）求满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点的区域；(II)证明：分析（I）这一问主要考查了二次函数根的分布及线性规划作可行域的能力。大部分考生有思路并能够得分。由题意知方程有两个根则有故有右图中阴影部分即是满足这些条件的点的区域。(II)这一问考生不易得分，有一定的区分度。主要原因是含字母较多，不易找到突破口。此题主要利用消元的手段，消去目标中的，（如果消会较繁琐）再利用的范围，并借助（I）中的约束条件得进而求解，有较强的技巧性。解析由题意有．．．．．．．．．．．．①又．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②消去可得．又，且19.已知函数．（I）若函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率是，求的值；（II）若函数在区间上不单调，求的取值范围．解析（Ⅰ）由题意得又，解得，或（Ⅱ）函数在区间不单调，等价于导函数在既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数即函数在上存在零点，根据零点存在定理，有，即：整理得：，解得20.设函数.（Ⅰ）若曲线在点处与直线相切，求的值；（Ⅱ）求函数的单调区间与极值点.解析本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．（Ⅰ）,∵曲线在点处与直线相切，∴（Ⅱ）∵,当时，，函数在上单调递增，此时函数没有极值点.当时，由，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，∴此时是的极大值点，是的极小值点.21.设函数（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）若函数在区间内单调递增，求的取值范围.解（Ⅰ）,曲线在点处的切线方程为.（Ⅱ）由，得，若，则当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，若，则当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若，则当且仅当，即时，函数内单调递增，若，则当且仅当，即时，函数内单调递增，综上可知，函数内单调递增时，的取值范围是.22.已知函数,其中（1）当满足什么条件时,取得极值?（2）已知,且在区间上单调递增,试用表示出的取值范围.解:(1)由已知得,令,得,要取得极值,方程必须有解,所以△,即,此时方程的根为,,所以当时,x(-∞,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+∞)f’(x)＋0－0＋f(x)增函数极大值减函数极小值增函数所以在x1,x2处分别取得极大值和极小值.当时,x(-∞,x2)x2(x2,x1)x1(x1,+∞)f’(x)－0＋0－f(x)减函数极小值增函数极大值减函数所以在x1,x2处分别取得极大值和极小值.综上,当满足时,取得极值.(2)要使在区间上单调递增,需使在上恒成立.即恒成立,所以设,,令得或(舍去),当时,,当时,单调增函数;当时,单调减函数,所以当时,取得最大,最大值为.所以当时,,此时在区间恒成立,所以在区间上单调递增,当时最大,最大值为,所以综上,当时,;当时,22.设函数，其中常数a>1(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)若当x≥0时，f(x)>0恒成立，求a的取值范围。解析（I）由知，当时，，故在区间是增函数；当时，，故在区间是减函数；当时，，故在区间是增函数。综上，当时，在区间和是增函数，在区间是减函数。（II）由（I）知，当时，在或处取得最小值。由假设知即解得1<a<6故的取值范围是（1，6）23.已知二次函数的导函数的图像与直线平行，且在处取得极小值．设．（1）若曲线上的点到点的距离的最小值为，求的值；（2）如何取值时，函数存在零点，并求出零点．解析（1）依题可设()，则；又的图像与直线平行，，设，则当且仅当时，取得最小值，即取得最小值当时，解得当时，解得（2）由()，得当时，方程有一解，函数有一零点；当时，方程有二解，若，，函数有两个零点，即；若，，函数有两个零点，即；当时，方程有一解,,函数有一零点综上，当时,函数有一零点；当()，或（）时，函数有两个零点；当时，函数有一零点.24.已知函数，讨论的单调性.本小题主要考查函数的定义域、利用导数等知识研究函数的单调性，考查分类讨论的思想方法和运算求解的能力。本小题满分12分。解析的定义域是(0,+),设,二次方程的判别式.当，即时，对一切都有,此时在上是增函数。①当,即时，仅对有,对其余的都有,此时在上也是增函数。当，即时，方程有两个不同的实根,,.+0_0+单调递增极大单调递减极小单调递增此时在上单调递增,在是上单调递减,在上单调递增.25.已知函数，a＞0，（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）设a=3，求在区间{1，}上值域。期中e=2.71828…是自然对数的底数。【思路】由求导可判断得单调性，同时要注意对参数的讨论，即不能漏掉，也不能重复。第二问就根据第一问中所涉及到的单调性来求函数在上的值域。解析(1)由于令①当,即时,恒成立.在(－∞,0)及(0,＋∞)上都是增函数.②当,即时由得或或或又由得综上①当时,在上都是增函数.②当时,在上是减函数,在上都是增函数.(2)当时,由(1)知在上是减函数.在上是增函数.又函数在上的值域为26.设函数．（1）对于任意实数，恒成立，求的最大值；（2）若方程有且仅有一个实根，求的取值范围．解析(1),因为,,即恒成立,所以,得，即的最大值为(2)因为当时,;当时,;当时,;所以当时,取极大值;当时,取极小值;故当或时,方程仅有一个实根.解得或.27.设函数(1)求函数的单调区间；(1)若，求不等式的解集．解析(1),由,得.因为当时,；当时,；当时,；所以的单调增区间是:；单调减区间是:.(2)由,得：.故：当时,解集是：；当时，解集是：；当时,解集是：.28.设函数（Ⅰ）当曲线处的切线斜率（Ⅱ）求函数的单调区间与极值；（Ⅲ）已知函数有三个互不相同的零点0，，且。若对任意的，恒成立，求m的取值范围。答案（1）1（2）在和内减函数，在内增函数。函数在处取得极大值，且=函数在处取得极小值，且=解析解析当所以曲线处的切线斜率为1.（2）解析，令，得到因为当x变化时，的变化情况如下表：+0-0+极小值极大值在和内减函数，在内增函数。函数在处取得极大值，且=函数在处取得极小值，且=（3）解析由题设，所以方程=0由两个相异的实根，故，且，解得因为若，而，不合题意若则对任意的有则又，所以函数在的最小值为0，于是对任意的，恒成立的充要条件是,解得综上，m的取值范围是30.在R上定义运算（b、c为实常数）。记，，.令.如果函数在处有极什,试确定b、c的值；求曲线上斜率为c的切线与该曲线的公共点；记的最大值为.若对任意的b、c恒成立，试示的最大值。当得对称轴x=b位于区间之外此时由①若于是①若，则，于是综上，对任意的b、c都有而当，时，在区间上的最大值故对任意的b，c恒成立的k的最大值为31.已知函数的图象在与轴交点处的切线方程是。（I）求函数的解析式；（II）设函数，若的极值存在，求实数的取值范围以及函数取得极值时对应的自变量的值.解析（I）由已知,切点为(2,0),故有,即……①又，由已知得……②联立①②，解得.所以函数的解析式为…………………4分（II）因为令当函数有极值时，则，方程有实数解，由，得.①当时，有实数，在左右两侧均有，故函数无极值②当时，有两个实数根情况如下表：+0-0+↗极大值↘极小值↗所以在时，函数有极值；当时，有极大值；当时，有极小值；…………………12分32.设函数有两个极值点，且（I）求的取值范围，并讨论的单调性；（II）证明：解:（I）令，其对称轴为。由题意知是方程的两个均大于的不相等的实根，其充要条件为，得⑴当时，在内为增函数；⑵当时，在内为减函数；⑶当时，在内为增函数；（II）由（I），设，则⑴当时，在单调递增；⑵当时，，在单调递减。故．33.已知函数的导函数的图象关于直线x=2对称.（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）若在处取得最小值，记此极小值为，求的定义域和值域。解:（Ⅰ）.因为函数的图象关于直线x=2对称，所以，于是（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，.（ⅰ）当c12时，，此时无极值。（ii）当c<12时，有两个互异实根,.不妨设＜，则＜2＜.当x＜时，，在区间内为增函数；当＜x＜时，，在区间内为减函数;当时，，在区间内为增函数.所以在处取极大值，在处取极小值.因此，当且仅当时，函数在处存在唯一极小值，所以.于是的定义域为.由得.于是.当时，所以函数在区间内是减函数，故的值域为35.已知函数,且(1)试用含的代数式表示b,并求的单调区间；（2）令,设函数在处取得极值，记点M(,)，N(,)，P(),,请仔细观察曲线在点P处的切线与线段MP的位置变化趋势，并解释以下问题：（I）若对任意的m(,x)，线段MP与曲线f(x)均有异于M,P的公共点，试确定t的最小值，并证明你的结论；（II）若存在点Q(n,f(n)),xn<m,使得线段PQ与曲线f(x)有异于P、Q的公共点，请直接写出m的取值范围（不必给出求解过程）解法一:(Ⅰ)依题意,得由.从而令①当a>1时,当x变化时，与的变化情况如下表：x+－+单调递增单调递减单调递增由此得，函数的单调增区间为和，单调减区间为。②当时，此时有恒成立，且仅在处，故函数的单调增区间为R③当时，同理可得，函数的单调增区间为和，单调减区间为综上：当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为；当时，函数的单调增区间为R；当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为.(Ⅱ)由得令得由（1）得增区间为和，单调减区间为，所以函数在处取得极值，故M（）N（）。观察的图象，有如下现象：①当m从-1（不含-1）变化到3时，线段MP的斜率与曲线在点P处切线的斜率之差Kmp-的值由正连续变为负。②线段MP与曲线是否有异于H，P的公共点与Kmp－的m正负有着密切的关联；③Kmp－=0对应的位置可能是临界点，故推测：满足Kmp－的m就是所求的t最小值，下面给出证明并确定的t最小值.曲线在点处的切线斜率；线段MP的斜率Kmp当Kmp－=0时，解得直线MP的方程为令当时，在上只有一个零点，可判断函数在上单调递增，在上单调递减，又，所以在上没有零点，即线段MP与曲线没有异于M，P的公共点。当时，.所以存在使得即当MP与曲线有异于M,P的公共点综上，t的最小值为2.（2）类似（1）于中的观察，可得m的取值范围为解法二：（1）同解法一.（2）由得，令，得由（1）得的单调增区间为和，单调减区间为，所以函数在处取得极值。故M().N()(Ⅰ)直线MP的方程为由得线段MP与曲线有异于M,P的公共点等价于上述方程在(－1,m)上有根,即函数上有零点.因为函数为三次函数,所以至多有三个零点,两个极值点.又.因此,在上有零点等价于在内恰有一个极大值点和一个极小值点,即内有两不相等的实数根.等价于即又因为,所以m的取值范围为(2,3)从而满足题设条件的r的最小值为2.36.设，且曲线y＝f（x）在x＝1处的切线与x轴平行。(2)求a的值，并讨论f（x）的单调性；(1)证明：当解析（Ⅰ）.有条件知，，故.………2分于是.故当时，＜0；当时，＞0.从而在，单调减少，在单调增加.………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知在单调增加，故在的最大值为，最小值为.从而对任意，，有.………10分而当时，.从而………12分37.已知函数f(x)=x－ax+(a－1)，。（1）讨论函数的单调性；（2）证明：若，则对任意x，x，xx，有。解析(1)的定义域为。2分（i）若即,则故在单调增加。(ii)若,而,故,则当时，;当及时，故在单调减少，在单调增加。(iii)若,即,同理可得在单调减少，在单调增加.(II)考虑函数则由于1<a<5,故，即g(x)在(4,+∞)单调增加，从而当时有，即，故，当时，有·········12分38.已知函数（1）如，求的单调区间；（1）若在单调增加，在单调减少，证明＜6.（21）解析（Ⅰ）当时，，故当当从而单调减少.(Ⅱ)由条件得：从而因为所以将右边展开，与左边比较系数得，故又由此可得于是39.已知函数求的单调区间；若在处取得极值，直线y=my与的图象有三个不同的交点，求m的取值范围。解析（1）当时，对，有当时，的单调增区间为当时，由解得或；由解得，当时，的单调增区间为；的单调减区间为。（2）因为在处取得极大值，所以所以由解得。由（1）中的单调性可知，在处取得极大值，在处取得极小值。因为直线与函数的图象有三个不同的交点，又，，结合的单调性可知，的取值范围是。40.已知函数，其中若在x=1处取得极值，求a的值；求的单调区间；（Ⅲ）若的最小值为1，求a的取值范围。解（Ⅰ）∵在x=1处取得极值，∴解得（Ⅱ）∵∴①当时，在区间∴的单调增区间为②当时，由∴（Ⅲ）当时，由（Ⅱ）①知，当时，由（Ⅱ）②知，在处取得最小值综上可知，若得最小值为1，则a的取值范围是41.已知函数的图象在与轴交点处的切线方程是。（I）求函数的解析式；（II）设函数，若的极值存在，求实数的取值范围以及函数取得极值时对应的自变量的值.解析（I）由已知,切点为(2,0),故有,即……①又，由已知得……②联立①②，解得.所以函数的解析式为…………………4分（II）因为令当函数有极值时，则，方程有实数解，由，得.①当时，有实数，在左右两侧均有，故函数无极值②当时，有两个实数根情况如下表：+0-0+↗极大值↘极小值↗所以在时，函数有极值；当时，有极大值；当时，有极小值；…………………12分42.已知关于x的函数f(x)＝＋bx2＋cx＋bc,其导函数为f+(x).令g(x)＝∣f+(x)∣,记函数g(x)在区间[-1、1]上的最大值为M.(Ⅰ)如果函数f(x)在x＝1处有极值-，试确定b、c的值：（Ⅱ）若∣b∣>1,证明对任意的c,都有M>2:(Ⅲ)若M≧K对任意的b、c恒成立，试求k的最大值。本小题主要考察函数、函数的导数和不等式等基础知识，考察综合运用数学知识进行推理论证的能力和份额类讨论的思想（满分14分）（I）解析，由在处有极值可得解得或若，则，此时没有极值；若，则当变化时，，的变化情况如下表：10+0极小值极大值当时，有极大值，故，即为所求。（Ⅱ）证法1：当时，函数的对称轴位于区间之外。在上的最值在两端点处取得故应是和中较大的一个即证法2（反证法）：因为，所以函数的对称轴位于区间之外，在上的最值在两端点处取得。故应是和中较大的一个假设，则将上述两式相加得：，导致矛盾，（Ⅲ）解法1：（1）当时，由（Ⅱ）可知；（2）当时，函数）的对称轴位于区间内，此时由有①若则，于是②若，则于是综上，对任意的、都有而当时，在区间上的最大值故对任意的、恒成立的的最大值为。解法2：（1）当时，由（Ⅱ）可知；（2）当时，函数的对称轴位于区间内，此时，即下同解法143.已知函数.设，求函数的极值；若，且当时，12a恒成立，试确定的取值范围.请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。（21）解析（Ⅰ）当a=1时，对函数求导数，得令列表讨论的变化情况：（-1，3）3+0—0+极大值6极小值-26所以，的极大值是，极小值是（Ⅱ）的图像是一条开口向上的抛物线，关于x=a对称.若上是增函数，从而上的最小值是最大值是由于是有由所以若a>1,则不恒成立.所以使恒成立的a的取值范围是44.已知函数其中(1)当时，求曲线处的切线的斜率；(2)当时，求函数的单调区间与极值。本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。满分12分。（I）解析（II）以下分两种情况讨论。（1）＞，则＜.当变化时，的变化情况如下表：+0—0+↗极大值↘极小值↗（2）＜，则＞，当变化时，的变化情况如下表：+0—0+↗极大值↘极小值↗45.已知函数。（I）求函数的定义域，并判断的单调性；（II）若（III）当（为自然对数的底数）时，设，若函数的极值存在，求实数的取值范围以及函数的极值。本小题主要考查函数、数列的极限、导数应用等基础知识、考查分类整合思想、推理和运算能力。解析（Ⅰ）由题意知当当当….（4分）（Ⅱ）因为由函数定义域知>0,因为n是正整数，故0<a<1.所以（Ⅲ）令当m=0时，有实根，在点左右两侧均有故无极值当时，有两个实根当x变化时，、的变化情况如下表所示：+0-0+↗极大值↘极小值↗的极大值为，的极小值为当时，在定义域内有一个实根，同上可得的极大值为综上所述，时，函数有极值；当时的极大值为，的极小值为当时，的极大值为46.已知函数且（I）试用含的代数式表示；（Ⅱ）求的单调区间；（Ⅲ）令，设函数在处取得极值，记点，证明：线段与曲线存在异于、的公共点；（I）依题意，得由得（Ⅱ）由（I）得（故令，则或①当时，当变化时，与的变化情况如下表：+—+单调递增单调递减单调递增由此得，函数的单调增区间为和，单调减区间为②由时，，此时，恒成立，且仅在处，故函数的单调区间为R③当时，，同理可得函数的单调增区间为和，单调减区间为综上：当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为；当时，函数的单调增区间为R；当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为（Ⅲ）当时，得由，得由（Ⅱ）得的单调增区间为和，单调减区间为所以函数在处取得极值。故所以直线的方程为由得令易得，而的图像在内是一条连续不断的曲线，故在内存在零点，这表明线段与曲线有异于的公共点（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若函数，讨论的单调性．解（Ⅰ）因又在x=0处取得极限值，故从而由曲线y=在（1，f（1））处的切线与直线相互垂直可知该切线斜率为2，即（Ⅱ）由（Ⅰ）知，令（1）当（2）当K=1时，g（x）在R上为增函数（3）方程有两个不相等实根当函数当时，故上为减函数时，故上为增函数48.已知为偶函数，曲线过点，．（Ⅰ）求曲线有斜率为0的切线，求实数的取值范围；（Ⅱ）若当时函数取得极值，确定的单调区间．解:（Ⅰ）为偶函数,故即有解得又曲线过点,得有从而,曲线有斜率为0的切线，故有有实数解.即有实数解.此时有解得所以实数的取值范围:（Ⅱ）因时函数取得极值,故有即,解得又令,得当时,,故在上为增函数当时,,故在上为减函数当时,,故在上为增函数课后作业一、选择题1.设曲线在点处的切线与直线垂直，则 （）A．2 B． C． D．答案D2.若上是减函数，则的取值范围是（）A. B. C. D.答案C3.已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是 （）答案D4.设P为曲线C：上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为 （）A． B． C． D．答案A5.已知对任意实数，有，且时，，则时 （）A． B．C． D．答案B6.曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 （）A． Ｂ． Ｃ． Ｄ．答案D7.已知二次函数的导数为，，对于任意实数都有，则的最小值为 （）A． B． C． D．答案C8.设在内单调递增，，则是的 （）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件答案B9.已知与是定义在上的连续函数，如果与仅当时的函数值为0，且，那么下列情形不可能出现的是 （）A．0是的极大值，也是的极大值B．0是的极小值，也是的极小值C．0是的极大值，但不是的极值D．0是的极小值，但不是的极值答案C10.函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点 （）A．1个B．2个 C．3个D．4个答案A二、填空题11设曲线在点处的切线与直线垂直，则．答案212.直线是曲线的一条切线，则实数b＝．2BCAyx12BCAyx1O3456123414.如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，则2；．（用数字作答） 答案－214.函数的单调递增区间是＿＿＿＿．答案15.已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，则．答案3216.已知函数的图象在点处的切线方程是，则．答案317.函数在区间上的最小值是．答案18.曲线在点处的切线方程是．答案19.半径为r的圆的面积S(r)＝r2,周长C(r)=2r，若将r看作(0，＋∞)上的变量，则＝2r①，①式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为R的球，若将R看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于eq\o\ac(○,1)的式子：②②式可以用语言叙述为：。答案V球＝，又故eq\o\ac(○,2)式可填，用语言叙述为“球的体积函数的导数等于球的表面积函数。”20.曲线y=x3在点(1,1)处的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为__________。答案8/3三、解答题21.已知函数，．（Ⅰ）讨论函数的单调区间；（Ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围．解析（1）求导：当时，，，在上递增当，求得两根为即在递增，递减，递增（2），且解得：22.已知函数，求导函数，并确定的单调区间．解析．令，得．当，即时，的变化情况如下表：0当，即时，的变化情况如下表：0所以，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在 上单调递减．当，即时，，所以函数在上单调递减，在上单调递减．23.已知函数（），其中．（Ⅰ）当时，讨论函数的单调性；（Ⅱ）若函数仅在处有极值，求的取值范围；（Ⅲ）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围．本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的最大值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．满分14分．（Ⅰ）解析．当时，．令，解得，，．当变化时，，的变化情况如下表：02－0＋0－0＋↘极小值↗极大值↘极小值↗所以在，内是增函数，在，内是减函数．（Ⅱ）解析，显然不是方程的根．24.设函数，已知是奇函数。（Ⅰ）求、的值。（Ⅱ）求的单调区间与极值。解（Ⅰ）∵，∴.从而＝是一个奇函数，所以得，由奇函数定义得；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从而，由此可知，和是函数是单调递增区间；是函数是单调递减区间；在时，取得极大值，极大值为，在时，取得极小值，极小值为。25.用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?解设容器的高为x，容器的体积为V，1分则V=(90-2x)(48-2x)x,(0<V<24) 5分=4x3-276x2+4320x∵V′=12x2-552x+4320…… 7分由V′=12x2-552x+4320=0得x1=10，x2=36∵x<10时，V′>0,10<x<36时，V′<0,x>36时，V′>0,所以,当x=10,V有极大值V(10)=1960…………………10分又V(0)=0,V(24)=0,……………………11分所以当x=10,V有最大值V(10)=1960…………………12分补充习题一一、选择题1.右图是函数f(x)=x2+ax+b的部分图象，则函数的零点所在的区间是 （）A． B．C． D．答案C2.已知函数是定义在R上的奇函数，且当时不等式成立，若，，则的大小关系是 （）A． B． C． D．答案C3.下列图像中有一个是函数的导数的图像，则 （）A. B. C. D.或答案 B－244.图中,阴影部分的面积是－24A.16 B.18C.20 D.22答案B二、填空题－2xyO5.已知函数f(x)的定义域为[－2，+∞)，部分对应值如下表,为f(x)的导函数，函数的图象如右图所示，若两正数a，b满足，则的取值范围是．－2xyO答案6.设函数(c＜0)单调递增区间是.答案三、解答题7.已知函数，其中为实数.(Ⅰ)若在处取得的极值为，求的值;（Ⅱ）若在区间上为减函数，且，求的取值范围.解(Ⅰ)由题设可知:且，………………2分即，解得………………4分（Ⅱ），………………5分又在上为减函数，对恒成立，………………6分即对恒成立.且，………………10分即，的取值范围是………………12分8.设函数（1）求函数的极大值；（2）若时，恒有成立（其中是函数的导函数），试确定实数a的取值范围．解（1）∵，且，………………1分当时，得；当时，得；∴的单调递增区间为；的单调递减区间为和．…………………3分故当时，有极大值，其极大值为．…4分（2）∵，当时，，∴在区间内是单调递减．…………6分∴．∵，∴此时，．…………9分当时，．∵，∴即……11分此时，．……………13分综上可知，实数的取值范围为．…………………14分补充习题二1.已知函数，若的单调减区间恰为（0，4）。（I）求的值：（Ⅱ）若对任意的，关于的方程总有实数解，求实数的取值范围。解：（1）又（Ⅱ）时时且8分解得2.已知函数（1）若时，函数在其定义域内是增函数，求b的取值范围；（2）在（1）的结论下，设函数，求函数的最3.已知，．（Ⅰ）当时，求证：在上是减函数；（Ⅱ）如果对不等式恒成立，求实数的取值范围．解：（Ⅰ）当时， ∵ ∴在上是减函数 （Ⅱ）∵不等式恒成立即不等式恒成立∴不等式恒成立 当时，不恒成立 当时，不等式恒成立 即∴ 当时，不等式不恒成立综上所述，的取值范围是 4.已知函数(Ⅰ)求的值域；(Ⅱ)设，函数．若对任意，总存在，使，求实数的取值范围．解：（Ⅰ）， 令，得或． 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减， 而， 当时，的值域是．(Ⅱ)设函数在上的值域是A，若对任意．总存在1,使，．．①当时，， 函数在上单调递减． ，当时，不满足；②当时，，令，得或(舍去)（i）时，的变化如下表：02-0+0．，解得．(ii)当时， 函数在上单调递减．，当时，不满．综上可知，实数的取值范围是．5.已知函数（I）若是的极值点，求在上的最小值和最大值；（Ⅱ）若上是增函数，求实数的取值范围。解：（I）有极大值点，极小值点。此时在上是减函数，在上是增函数。在上的最小值是-18，最大值是-6