2021年云南省昆明市中考数学考前信心卷及答案解析

2021年云南省昆明市中考数学考前信心卷

一．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

l.(3分）已知la1=3,lh1=2,la-hl=h-a,则a-b=_.

2.(3分）分解因式：4a2b-b=.

3.(3分）如图，货轮0在航行过程中，发现灯塔A在它的南偏东60°的方向上．同时，

在它的北偏东30°发现了客轮8.则乙AOB的度数为＝

F北

西东

EA

G

D南

x+2

4.(3分）已知分式，当x=l时，分式无意义，则a=

x2-4x+a

5.(3分）已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为l，如图所示，把正方形放置

在正六边形外，使OK边与AB边重合，按下列步骤操作：

将正方形在正六边形外绕点B逆时针旋转，使ON边与BC边重合，完成第一次旋转；

再绕点C逆时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；此时点0经过路径的

长为．若按此方式旋转，共完成六次，在这个过程中点B,0之间距离的最大值

是

D

F,c

MIIN

6.(3分）如图所示，南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中出现的三角形状的数阵，又称

为“杨辉三角形＂．该三角形中的数据排列有蓿一定的规律，按此规律排列下去，第100

行的左边第3个数是.

第1页共22页

第1行1

第2行11

第3行121

第4行1331

第5行14641

第6行15101051

......

二．选择题（共8小题，满分32分，每小题4分）

7.(4分）如图是由产6个宪全相同的小正方体组成的几何体，其俯视图为（)

A且B二C.d3D.巳

8.(4分）下列命题是真命题的是（)

A.中位数就是一组数据中最中间的一个数

8.一组数据的众数可以不唯一

C.一组数据的标准差就是这组数据的方差的平方根

D.已知a、b、e是Rt6ABC的三条边，则a2+b2=c2

1

9.(4分）已知sina=－，求a.若以科学计算器计算且结果以“度，分，秒”为单位，最

3

后应该按键（)

A.ACB.2ndFC.MODED.DMS

JO.(4分）下列运算正确的是（)

1

A.(

-2-)3=-x5B.示－—＝2y2xy(y尹O)

C.2'1x+3/y=5尽D.-6a6+2a2=-3a4

11.(4分）把不等式组rzx+3>1的解集表示在数轴上，正确的是（)

x-3:::;0

l...II[)

A.-10123

B.-10123

第2页共22页

~

c~

D.-10123

12.(4分）某学校食堂需采购部分餐桌，现有A、B两个商家，A商家每张餐桌的售价比B

商家的优惠l3元．若该校花费2万元采购款在B商家购买餐桌的张数等千花费1.8万元

采购款在A商家购买餐桌的张数，则A商家每张餐桌的售价为()

A.117元B.118元C.119元D.120元

13.(4分）已知y=ci2'+bx+c(a=l=O)的阳象如图所示，对称轴为直线x=2.若XI,XZ是

一元二次方程a2-+bx+c=O(a=l=O)的两个根，且xi<x2,-I<xi<O,则下列说法正确

的是（)

y~,x=2

i345X

A.X什x2<0B.4<x2<5C.b2-4ac<OD.ab>O

14.(4分）如图，已知在丛ABC中，A8=14,BC=l2,AC=lO,D是AC上一点，过点D

画一条直线l,把6ABC分成两部分，使其中的一个三角形与6ABC相似，这样的直线

有几条（)

A

B

A2

B.3C.3或4D.4

三．解答题（共9小题，满分70分）

1

15.(5分）计算：-2红（一）乌(TT一森）°+炉刁元．

3

l6.（6分）如图，点C在线段BD上，且AB上BD,DE上BD,AC上CE,BC=DE.求证：

AB=CD.

第3页共22页

A

Bc

17.C7分）“停课不停学”．突如其来的新冠肺炎疫情让网络学习成为了今年春天一道别样

的风梨隔离的是身体，温暖的是人心．“幸得有你，山河无恙＂．在钟南山、白衣天使

等人众志成城下，战胜了疫情．在春暖花开，万物复苏之际，某校为了解九年级学生居

家网络学习情况，以便进行有针对性的教学安排，特对他们的网络学习时长（单位：小

时）进行统计．现随机抽取20名学生的数据进行分析：

收集数据：4.5,6,5.5,6.5,6.5,5.5,7,6,7.5,8,6.5,8,7.5,5.5,6.5,7,6.5,

6,6.5,5

整理数据：

时长x（小时）4<x:s;;s5<x~66<x::;;77<x~8

2a8

人数

分析数据：4

项目平均数中位数众数

[数据t6.4+6.5+bJ

应用数据：

（］）填空：a=,b-

(2)补全频数直方图；

(3)若九年级共有1000人参与了网络学习，请估计学习时长在5<x:::;;7小时的人数．

门日

1

6时间（lJ的观

l8(7分)亮都想去看"垃圾分类"宣传演出,1旦只有张入场券于是他1,、]

.卿,

第4页共22页

设计了一个“配紫色”游戏：A,8是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积

相等的几个扇形．同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出

了蓝色，那么可以配成紫色．若配成紫色，则小颖去观看，否则小亮去观看．这个游戏

对双方公平吗？请说明理由．

A盘B盘

19.(8分）正在新建中的石马中学休闲广场的地面约640n产，现要铺贴地板砖．

(1)所需地板砖的块数n与每块地板砖的面积S有怎样的函数关系？

(2)为了使地面装饰美观，决定使用蓝、白两种颜色的地板砖组合成蓝白相间的图案，

每块地板砖的规格为80X80cm2蓝、白两种地板砖的使用比例为I.:3,则需这两种地板

砖各多少块？

20.(8分）在Rtf:::.ABC中，乙C=90°.

(1)按要求尺规作图，保留作图痕迹

创乍乙ABC平分线交AC于F点，

＠）作BF的垂直平分线交AB于M,以MB为半径作圆OM;

(2)在(I)所作图形中，证明OM与边AC相切；

(3)在(1)所作图形中，若乙CFB＝乙CBA,BC=3,求OM的半径．

C

A

.B

21.(9分）如图，某中学数学活动小组在学习了“利用三角函数测高”后，选定测芷小河

对岸一幢建筑物BC的高度，他们先在斜坡上的D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．且

D离地而的高度DE=5m．坡底EA=30m，然后在A处割得建筑物顶端B的仰角是60°'

点E,A,C在同一水平线上，求建筑物BC的高．（结果用含有根号的式子表示）

第5页共22页

B

.,，多·,

俨．多成

q

，乡，-

,,

畛多,',

/,

,0~。

,

,,拿6

E

22.(8分）已知二次涵数y=2-+bx-3Cb是常数）

(1)若抛物线经过点A(-1,0)，求该抛物线的解析式和顶点坐标；

(2)P(m,n)为抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点为P'，当点尸落在该

抛物线上时，求m的值；

(3)在－l::S:x::S:2范围内，二次函数有最小值是－6,求b的值．

23.(12分）如图将正方形ABCD绕点A顺时针旋转角度a(0°<a<90°)得到正方形

ABICDI.

CI)如图LB'C'与AC交千点M,C'D'与AD所在直线交千点N，若MNIIB'D',

求a:

(2)如图2,C'B'与CD交千点Q,延长C'B'与BC交千点P,当a=30°时．

O求乙DAQ的度数；

＠若AB=6，求PQ的长度．

BBp

C'

AA

D'

图1图2

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2021年云南省昆明市中考数学考前信心卷

参考答案与试题解析

一．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

l.(3分）巳知la1=3,lb1=2,la-bl=b-a,则a-b=-------=--1或－5.

【解答】解：·:lal=3,lbl=2,

:.a=土3,b=土2;

又因为la-bl=b-a,

当a=-3,b=2时，a-b=-5;

当a=-3,b=-2时，a-b=-1.

故a-b的值为一1或－5.

故答案为：-l或－5.

2.(3分）分解因式：4忒妒b=b(2a+l)(2a-1)

【解答】解：原式＝b(4a2-1)=b(2a+I)(2a-I),

故答案为：b(2a+l)(2a-1)

3.(3分）如图，货轮0在航行过程中，发现灯塔A在它的南偏东60°的方向上．同时，

在它的北偏东30°发现了客轮B.则乙AOB的度数为＝90°.

F

北

西东

EA

G

D南

【解答】解：乙AOB=180°-60°-30°=90°.

故答案为：90°.

西

G

A

D南

x+2

4.(3分）已知分式，当x=l时，分式无意义，则”=___]_.

x2-4x+a

第7页共22页

1+23

【解答】解：把x=l代入得：＝—一，

1-4+aa-3

此时分式无意义，

:.a-3=0,

解得a=3.

故答案为：3.

5.(3分）已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为l，如图所示，把正方形放置

在正六边形外，使OK边与AB边重合，按下列步骤操作：

将正方形在正六边形外绕点B逆时针旋转，使ON边与BC边重合，完成第一次旋转；

再绕点C逆时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；此时点0经过路径的

5

长为71_.若按此方式旋转，共完成六次，在这个过程中点B,0之间距离的最大值

—6

是—迈＋乔＿

D

F,c

如图点0的运动轨迹如虚线所示，

150

第二次旋转时，点0的位置为O',BO'＝郘X2X1XTC＝扫

在运动过程中，点B,0间的距离d的最大值为线段BK=BD+DK=.fi+../3

5

故答案为：一兀；迈＋召

6

第8页共22页

．，＇，＇

k

".、i}`

之

.、

俨

,','`

、.

、.

.,·

..

';

.:'

:'.

'o,

,4

•

•

.,

··'

,

.'

6.(3分）如图所示，南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中出现的三角形状的数阵，又称

为“杨辉三角形＂．该三角形中的数据排列有着一定的规律，按此规律排列下去，第100

行的左边第3个数是4851.

第第第第第第/子子一丁

12345611'1'1'1'1'.l

131

l21

丁一丁一丁一1311

14641

l510。51

......

【解答】解：观察数字的变化发现：

1x2

第3行的左边第3个数是1＝一一，2

2x3

第4行的左边第3个数是3＝一一，2

4x3

第5行的左边第3个数是6＝一一，2

4x5

第6行的左边第3个数是10=,

2

98X99

所以第100行的左边第3个数是=4851.

2

故答案为：4851.

二．选择题（共8小题，满分32分，每小题4分）

7.(4分）如图是由6个完全相同的小正方体组成的几何体，其俯视图为（

第9页共22页

产

A且B勹c.丿D.巳

【解答】解：从上面看第一排是三个小正方形，第二排右边是一个小正方形，

故选：B.

8.(4分）下列命题是真命题的是()

A.中位数就是一组数据中最中间的一个数

B.一组数据的众数可以不唯一

C.一组数据的标准差就是这组数据的方差的平方根

D.已知a、b、e是Rt6ABC的三条边，则忒＋b2=c2

【解答】解：A、中位数就是一组数据中最中间的一个数或着是中间两个数的平均数，故

错误；

B、一组数据的众数可以不唯一，故正确；

C、一组数据的方差与极差没有关系，故此选项错误；

D、已知a、b、c是Rt6ABC的三条边，当乙C=90°,则忒＋b2＝产，故此选项错误；

故选：8.

1

9.

(4分）已知sina=-3，求a.若以科学计算器计算且结果以“度，分，秒”为单位，最

后应该按键（)

A.ACB.2ndFC.MODED.DMS

【解答】解：若以科学计算器计算且结果以“度，分，秒”为单位，最后应该按DMS,

故选：D.

10.(4分）下列运算正确的是（)

1

A.(-2-)3=-x5B..,\,y2..:..—=2xy(y气O)

2y

C.2寂＋3p=5窝D.-6a6-=-2a2=-3a4

【解答】解：A、（－2-)3=－炸，故此选项错误；

1

B、xy勾3(y刍0)，故此选项错误；

2y

--—=

第10页共22页

C、2石＋3Jy,无法计算，故此选项错误；

D、-6a672a2=-3a4，故此选项正确

故选：D.

11.(4分）把不等式组rzx+3>1的解集表示在数轴上，正确的是（)

x-3::;0

l...[ii)

A.-10123

B.-10123

夏．．．l>

c.-1。23

D.-10123

【解答】解：{2x+3>1G)

X-3$0@

由G)得x>-1，由＠）得x::s;:3,

故此不等式组的解集为－I<x::s;:3,

在数轴上的表示如选项B所示．

故选：B.

12.(4分）某学校食堂需采购部分餐桌，现有A、B两个商家，A商家每张餐桌的售价比B

商家的优惠l3元．若该校花费2万元采购款在B商家购买餐桌的张数等于花费l,．8万元

采购款在A商家购买餐桌的张数，则A商家每张餐桌的售价为（)

A.117元B.118元C.119元D.120元

【解答】解：设A商家每张餐桌的售价为x元，则B商家每张餐桌的售价为(x+l3)，根

据题意列方程得：

2000018000

X+l3X

解得：x=ll7,

经检验：x=ll7是原方程的解．

故选：A.

13.(4分）已知y=ax7-+bx+c(a-=l=O)的阳象如图所示，对称轴为直线x=2.若XI,X2是

一元二次方程ax7-+bx+c=O(a-=l=O)的两个根，且XI<人'.2,-l<x,<O,则下列说法正确

第11页共22页

、

的是(丿

y

1x=2

5x

A.x1+x2<0B.4<入'.2＜5C.b2-4ac<OD.ab>O

【解答】解：•:x1,X2是一元二次方程a入?+bx+c=O的两个根，

:.x,、x2是抱物线与x轴交点的横坐标，

？抛物线的对称轴为直线x=2,

X1+Xz

..2,即x什x2=4>0，故选项A错误；

2

·:x1<X2,-1<x1<O,

:.-1<4-x2<0,

解得：4<x2<5,故选项B正确；

？抛物线与x轴有两个交点，

：成－4ac>O，故选项C错误；

了抛物线开口向下，

:.a<O,

？抛物线的对称轴为直线x=2,

b

2a=2,

.'.b=-4a>O,

:.ab<O，故选项D错误；

故选：B.

14.(4分）如图，已知在丛ABC中，AB=14,BC=t2,AC=lO,D是AC上一点，过点D

画一条直线l，把丛ABC分成两部分，使其中的一个三角形与心ABC相似，这样的直线

有几条（)

第12页共22页

A

BA

2

B.3C.3或4D.4

【解答】解：如图所示：当DFIIBC时，则6AFD=6ABC,

_•,

A,,

,

,

,.夕＇｀

B,..C

NM

当乙ADE＝乙B时，则6ADEU,!::.ABC,

当DNIIAB时，则6CDNu,f:::.CAB,

当乙CDM=LB时，则丛CDM=6CBA.

这样的直线可以画4条．

故选：D.

三．解答题（共9小题，满分70分）

1

15.(5分）计算：-22+（一）2+(TT一污）°十三．

3

【解答】解：原式＝-4+9+1-5

=1.

16.(6分）如图，点C在线段BD上，且AB..lBD,DE..lBD,AC..lCE,BC=DE.求证：

AB=CD.

,E

A

BC

【解答】证明：?AB上BD,ED上BD,AC上CE,

：．乙ACE＝乙ABC＝乙CDE=90°,

第13页共22页

：．乙ACB＋乙ECD=90°,乙ECD＋乙CED=90°,

：．乙ACB＝乙CED.

在6ABC和6CDE中，

贮B嘉LCED,

LABC=LCDE

.'.6ABC竺6CDE(ASA),

.'.AB=CD.

17.C7分）“停课不停学”．突如其来的新冠肺炎疫情让网络学习成为了今年春天一道别样

的风景．隔离的是身体，温暖的是人心．“幸得有你，山河无恙＂．在钟南山、白衣天使

等人众志成城下，战胜了疫情．在春暖花开，万物复苏之际，某校为了解九年级学生居

家网络学习情况，以便进行有针对性的教学安排，特对他们的网络学习时长（单位：小

时）进行统计．现随机抽取20名学生的数据进行分析：

收集数据：4.5,6,5.5,6.5,6.5,5.5,7,6,7.5,8,6.5,8,7.5,5.5,6.5,7,6.5,

6,6.5,5

整理数据：

时长x（小时）4<x~55<x<66<x~77<x~8

人数284

a

归数数据

厂—」厂」二／丿

项数目据

平均数中位数众数--

6.46.5b

亘据

(I)填空：a=6,b=6.5:

(2)补全频数直方图；

(3)若九年级共有勹1000人参与了网络学习，请估计学习时长在5<x~7小时的人数．

6时间(lJ吵

第14页共22页

【解答】解：（1)由总人数是20人可得在5<x<6的人数是20-2-8-4=6（人），所

以a=6,

根据数据显示，6.5出现的次数最多，所以这组数据的众数b=6.5;

故答案为：6,6.5;

(2)由(j)得a=6.

频数分布直方图补充如下：

勹

6时间(lJ虳

(3)由图可知，学习时长在S<x~7小时的人数所占的百分比＝号祜x100%=70%,

:.1ooox70%=7oo（人）．

：．学习时长在S<x~7小时的人数是700人．

18.(7分）小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，千是他们

设计了一个“配紫色”游戏：A,B是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积

相等的几个扇形．同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出

了蓝色，那么可以配成紫色．若配成紫色，则小颖去观看，否则小亮去观看．这个游戏

对双方公平吗？请说明理由．

A盘B盘

【解答】解：这个游戏公平，理由如下：

用列表法表示所有可能出现的结果如下：

第15页共22页

\蓝蓝红

蓝了皿了上＃.a:a..a:a.了蓝红

红红蓝红蓝红红

共有6种可能出现的结果，其中配成紫色的有3种，配不成紫色的有3种，

31

:.P（小颖）＝i=歹＇

31

P（小究）=-6=--,2

因此游戏是公平．

19.(8分）正在新建中的石马中学休闲广场的地面约640m2,现要铺贴地板砖．

Cl)所需地板砖的块数n与每块地板砖的面积S有怎样的函数关系？

(2)为了使地面装饰美观，决定使用蓝、白两种颜色的地板砖组合成蓝白相间的图案，

每块地板砖的规格为80X80c，沪蓝、白两种地板砖的使用比例为1:3,则需这两种地板

砖各多少块？

【解答】解：（1)？所需地板砖的块数n＝广场地面的总面积-每块地板砖的面积S,

640

••n=飞;-;

(2)当S=80X80cm2=6400cm2=0.64m2时，

640

n=声＝1000,

设用蓝色地板砖x块，则白色地板砖3x块，

依据题意得出：x+3x=IOOO,

解得：x=250,

故需要蓝色地板砖250块，臼色地板砖750块．

20.(8分）在Rt丛ABC中，乙C=90°.

(I)按要求尺规作图，保留作图痕迹

心乍乙ABC平分线交AC千F点，

＠）作BF的垂直平分线交AB于M,以MB为半径作圆OM;

(2)在(1)所作图形中，证明OM与边AC相切；

(3)在(1)所作图形中，若乙CFB＝乙CBA,BC=3,求OM的半径

第16页共22页

c

A屯

【解答】解：（l)如图所示＠BF即为所求；

C

三·......,..

•,./．木

A飞，参'\··lB

泛．M

＠如图所示OM为所求；

(2)证明：·:M在BF的垂直平分线上，

.'.MF=MB,

:．乙MBF=LMFB,

又？BF平分乙ABC,

：．乙MBF＝乙CBF,

：．乙CBF＝乙MFB,

:.MF/IBC,

．．．乙C=90°,

:.FM上AC,

:.QM与边AC相切；

(3)·:乙CFB＝乙CBA,

:.LA＝乙CBF,

:.乙A＝乙CBF＝乙ABF,

:.乙A=30°,

·:BC=3,

．二AB=6,

设OM的半径为X,

:.MF=MB=x,则AM=2x,

第17页共22页

·:MB+AM=AB,

.'.3x=6,

:.x=2,

:.QM的半径为2.

21.(9分）如图，某中学数学活动小组在学习了“利用三角函数测高”后，选定测量小河

对岸一幢建筑物BC的高度，他们先在斜坡上的D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．且

D离地面的高度DE=5m．坡底EA=30m，然后在A处测得建筑物顶端B的仰角是60°'

点E,A,C在同一水平线上，求建筑物BC的高．（结果用含有根号的式子表示）

B·

孕．，＇.,,'

,.',

,

夕乡

售。

召

,,

,6。

,,`

EA

【解答】解：过点D作DH上BC千点H，如图所示：

,·,B

D,，一动,'

烦伲．一一．－-－，．，一',____!!.

E干§9?

则四边形DHCE是矩形，DH=EC,DE=HC=5,

设建筑物BC的高度为xm,则BH=(x-5)m,

在RtD.DHB中，乙BDH=30°,

:.DH=石（x-5),AC=EC-EA=范（X-5)-30,

BC

在Rt丛ACB中，乙BAC=60°,tan乙BAC=~AC'

•X=$

岳(x-5)-30

15+30范

解得：x=2'

15+30范

答：建筑物BC的高为m.

2

22.(8分）已知二次函数y=x2+bx-3(b是常数）

(1)若抛物线经过点A(-1,0)，求该抛物线的解析式和顶点坐标；

第18页共22页

(2)P(m,n)为抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点为P'，当点P'落在该

抛物线上时，求m的值；

(3)在－l~x~2范围内，二次函数有最小值是－6,求b的值．

【解答】解：（1)？抛物线经过点A(-l,0),

:.(-1)2-b-3=O,

解得，b=-2,

则抛物线的解析式为y=2--2x-3;

y=2--2x-3=(x-l)2+4,

:．顶点坐标为(I,-4);

(2)由题意得，点尸的坐标为(-m,-n),

则m2+mb-3=n,m2-mb-3=-n,

两式相加得，2ni2=6,

解得，m＝土,/3;

b-12-b2

(3)＠当－1$一~$2,即－咚眨2时，=-6,

4

整理得，b2=12,

解得，